Teorema Sisa, Teorema Faktor, Mencari Akar Rasional

1. Teorema Sisa I: Pembagian dengan Fungsi Linear Sederhana

Jika f(x) dibagi oleh (x − h) maka sisa hasil baginya adalah S = f(h)

Bukti:

Misalkan f(x) dibagi oleh (x − h) dengan hasil bagi H(x) dan sisa hasil bagi S, diperoleh hubungan: 

f(x) = (x − h) × H(x) + S 

Jika x = h maka f(h) = (h − h) × H(x) + S = S , sehingga diperoleh S = f(h). ∎

Contoh:

Pembagian f(x) = 3x³ − 7x² − 13x − 8 dengan p(x) = x − 4 bersisa S = f(4)

S = f(4) = 3.4³ − 7.4² − 13.4 − 8 = 20

Jadi, sisanya adalah 20

2. Teorema Sisa II: Pembagian dengan Fungsi Linear Umum

Jika f(x) dibagi oleh (ax − h) maka sisa hasil baginya adalah S = f(h/a)

Bukti:

Misalkan kita memiliki suatu suku banyak f(x) yang dibagi dengan (ax − h). Hasil bagi dari pembagian ini adalah H(x) dan sisanya adalah S. Hubungan antara suku banyak tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:

f(x) = (ax − h).H(x) + S

Persamaan di atas dapat diubah menjadi:

f(x) = a(x − h/a).H(x) + S

Jika kita substitusikan x = h/a ke dalam persamaan di atas, maka kita akan mendapatkan:

f(h/a) = a.(h/a − h/a).H(h/a) + S

Karena (h/a − h/a) sama dengan 0, maka persamaan di atas menjadi:

f(h/a) = S ∎

Contoh:

Tentukan sisanya, jika f(x) = 2x³ + x² − 5x + 3 dibagi 2x − 1

Menurut teorema sisa, jika f(x) dibagi oleh (ax − h), maka sisa hasil baginya adalah:

S = f(h/a)

Sehingga, jika p(x) dibagi dengan (2x − 1), maka sisa hasil baginya adalah:

S = f(1/2) = 2*(1/2)³ + (1/2)² − 5*(1/2) + 3 = 1/4 + 1/4 − 5/2 + 3 = 1

Jadi, sisa pembagian dari p(x) = 2x³ + x² − 5x + 2 dibagi dengan 2x − 1 adalah 0.

3. Teorema Sisa III: Pembagian dengan Suku Banyak Umum

Misalkan f(x) dibagi P(x) dengan hasil bagi H(X) dan sisa S(x), maka diperoleh hubungan: 

f(x) = P(x) × H(x) + S(x) 

Jika f(x) berderajat n dan P(x) berderajat m, dengan m ≤ n, maka:

a. H(X) berderajat (n − m) 

b. Sisa S(x) berderajat maksimal satu derajat lebih rendah dari derajat pembagi.

Contoh: 

1. Suatu fungsi f(x) = x³ – 4x² + px + q dibagi oleh x² – 3x + 2 memberikan sisa –3x + 6. Tentukan harga p dan q!

Diketahui f(x) = x³ – 4x² + px + q dibagi oleh x² – 3x + 2 memberikan sisa –3x + 6

f(x) = (x² − 3x + 2).H(x) + (−3x + 6)

Substitusi nilai x:

Untuk mencari nilai p dan q, kita akan mensubstitusikan nilai x = 2 dan x = 1 ke dalam persamaan di atas.

Untuk x = 2:

2³ − 4.2² + 2p + q = (2² − 3.2 + 2).H(2) + (−3.2 + 6)

8 − 16 + 2p + q = 0

−8 + 2p + q = 0 (i)

Untuk x = 1:

1³ − 4.1² + p + q = (1² − 3.1 + 2).H(1) + (−3.1 + 6)

1 − 4 + p + q = 3

−3 + p + q = 3

p + q = 6 (ii)

Dari kedua persamaan yang kita peroleh, kita memiliki sistem persamaan linear dua variabel:

−2p + q = 8 (i)

p + q = 6 (ii)

Dengan menyelesaikan sistem persamaan linear ini, kita dapat menemukan nilai p dan q yang memenuhi persamaan awal, yaitu p = 2 dan q = 4.

2. Jika suatu fungsi f(x) dibagi (x − 3) memiliki sisa 5 dan jika f(x) dibagi (2x − 1) memiliki sisa 5/2. Carilah sisa hasil bagi jika f(x) dibagi (x − 3)(2x − 1) = 2x² − 7x + 3.

f(x) dibagi (2x − 1) sisanya 5/2. Artinya, f(1/2) = 5/2.

f(x) dibagi (x − 3) sisanya 5. Artinya, f(3) = 5.

Pembagi baru adalah 2x² − 7x + 3 (berderajat 2). Maka, sisa bagi maksimal berderajat 1, yaitu dalam bentuk ax + b.

Persamaan Umum:

Jika f(x) dibagi 2x² − 7x + 3, hasil baginya H(x) dan sisanya ax + b, maka:

f(x) = (2x² − 7x + 3).H(x) + (ax + b)

Substitusi Nilai:

Untuk f(1/2) = 5/2: 

½a + b = 5/2 ...(i)

Untuk f(3) = 5:

3a + b = 5 ...(ii)

Menyelesaikan Sistem Persamaan:

Dari persamaan (i) dan (ii), kita dapat menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel untuk mencari nilai a dan b. Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut, diperoleh:

a = 1 dan b = 2

Jadi, jika p(x) dibagi 2x² − 7x + 3, maka sisa hasil baginya adalah ax + b = x + 2.

4. Teorema Faktor

Misalkan f(x) adalah suatu suku banyak dan (x – k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0.

Dari teorema faktor dapat dipahami bahwa saat f(k) = 0 maka (x – k) merupakan faktor dari f(x). Lalu bagaimana jika f(x) ≠ 0? Ya tentu saja kesimpulannya adalah (x – k) bukan merupakan faktor dari f(x).

Hubungan teorema faktor dengan teorema sisa adalah suatu suku banyak f(x) dibagi x – h memiliki sisa hasil bagi S = f(h) = 0, maka x – h merupakan faktor dari f(x).

5. Mencari Akar Rasional

Misalkan kita memiliki persamaan suku banyak

f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + aₙ₋₂xⁿ⁻² + ... + a₂x² + a₁x + a₀

Untuk mencari akar-akar rasional suku banyak maka maka kita harus bisa memfaktorkannya. Untuk itu ada beberapa hal yang harus kita cek.

Berikut ini ada tiga nilai akar yang bisa kita cek dengan mudah:

• Jika a₀ = 0 maka salah satu akar suku banyak adalah 0

• Jika jumlah semua koefisien suku banyak adalah 0 maka satu akar suku banyak adalah 1 (suku banyak habis dibagi x – 1)

• Jika jumlah koefisien x yang berpangkat genap sama denga jumlah koefisien x yang berpangkat ganjil maka satu akar suku banyak adalah –1 (suku banyak habis dibagi x + 1)

Jika ternyata suatu suku banyak tidak habis dibagi oleh x, x – 1, dan x + 1, yang dengan kata lain 0,  1, dan –1 bukanlah akar dari suku banyak, berikut ini cara mencari akar rasional:

• Buat semua koefisiennya bilangan bulat

• Pembilang yang memungkinkan adalah faktor-faktor dari a₀

• Penyebut yang memungkinkan adalah faktor-faktor dari aₙ

• Nilai akar bisa positif maupun negatif

Contoh:

Tentukan akar-akar dari 2𝑥⁴ − 5𝑥³ − 17𝑥² + 41𝑥 − 21 = 0

Akar-akar rasional dari suku banyak ini adalah:

• Pembilang yang memungkinkan adalah faktor-faktor dari 21, yaitu ±1, ±3, ±7, ±21

• Penyebut yang memungkinkan adalah faktor-faktor dari 2, yaitu ±1, ±2

Jumlah semua koefisiennya adalah 2 − 5 − 17 + 41 − 21 = 0, sehingga habis dibagi x − 1

2𝑥⁴ − 5𝑥³ − 17𝑥² + 41𝑥 − 21 = 0

(x − 1)(2x³ − 3x² − 20x + 21) = 0

(x − 1)²(2x² − x − 21) = 0

(x − 1)²(2x − 7)(x + 3) = 0

x = 1 ∨ x = 7/2 ∨ x = −3