ANOVA-1 Faktor Sel Sama

Anova satu faktor hanya terdapat satu variabel bebas (skala nominal) pada k populasi. Pada penelitian diambil k sampel dimana setiap sampel diambil dari populasi-populasi (pengertian populasi berbeda dengan pengertian pada metodologi penelitian) dengan setiap sampel mendapatkan perlakuannya masing-masing.

Misal akan diuji ada tidaknya pengaruh waktu mengajar (pagi, siang, dan sore) terhadap prestasi belajar → apakah waktu pagi, siang, dan sore memberikan perbedaan terhadap prestasi belajar atau tidak?

Variabel waktu (pagi, siang, sore) merupakan variabel bebas dan hanya terdapat satu variabel bebas yang bersifat nominal, sehingga terdiri dari tiga kelompok sampel, yaitu kelompok siswa yang belajar pagi, kelompok siswa yang belajar siang, dan kelompok siswa yang belajar sore.

ANOVA Satu Faktor Sel Sama merupakan mendasarkan pada ukuran setiap sampel yang sama.

1. Hipotesis Statistik

Misalkan terdapat k perlakuan. Pasangan hipotesis yang akan diuji sebagai berikut.

• Alternatif 1

H₀: Tidak terdapat pengaruh variabel bebas terhadap variabel terikat

H₁: Terdapat pengaruh variabel bebas terhadap variabel terikat

• Alternatif 2

H₀: μ₁ = μ₂ = ... = μ_k 

H₁: μ_i ≠ μ_j, (∃i ≠ j), dengan 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ k

→ Terdapat paling sedikit dua rerata yang tidak sama

• Alternatif 3 (Simbol α menunjukkan efek perlakuan)

H₀: α₁ = α₂ = ... = α_k = 0

H₁: α_i ≠ 0, ∃i, dengan 1 ≤ i ≤ k

2. Model Data

Misalkan X_ij menyatakan data ke-i dari populasi ke-j. Data X_ij dinyatakan dalam model matematis sebagai berikut:

X_ij = μ_j + ε_ij 

Keterangan:

μ_j: rata-rata populasi ke-j

ε_ij: deviasi X_ij terhadap rerata populasi/galat (error) → ε_ij = X_ij − μ_j 

Misalkan rata-rata seluruh data pada k populasi adalah μ, maka μ_j = μ + α_j dengan α_j adalah efek perlakuan ke-j.

dengan α_j menunjukkan efek perlakuan ke-j terhadap variabel terikat pada populasi ke-j. Akibatnya model data menjadi:

X_ij = μ + α_j + ε_ij 

3. Tata Letak Data

Anova Satu Faktor Sel Sama didasarkan pada ukuran dari setiap sampel yang sama. Jika terdapat 𝑘 sampel yang masing-masing berukuran 𝑛, maka terdapat sebanyak 𝑛𝑘 data amatan.

▪ Data 𝑋_𝑖𝑗 adalah data amatan ke-i pada perlakuan ke-j (sampel ke-j). 

▪ 𝑇_𝑗 adalah jumlah data amatan sampel ke-j.

▪ 𝑋¯_𝑗 adalah rerata sampel ke-j

▪ T adalah jumlah seluruh data amatan

▪ 𝑋¯ adalah rerata seluruh data amatan

4. Komputasi

Prinsip dasar Anova adalah perbandingan dua estimator independen untuk varians seluruh populasi (σ²). Estimator-estimator tersebut diperoleh dari pemisahan variansi data amatan pada seluruh sampel menjadi dua komponen:

• Estimator variansi antar komponen (Variance Between the Sample Means) → Variansi Sampel

• Estimator variansi dalam kelompok (Variance Within k Samples) → Variansi Sampel

Variansi seluruh data amatan 𝑘 sampel (ukuran 𝑛𝑘)

Jumlah kuadrat

• Jumlah kuadrat perlakuan (JKP)

Karena bentuk yang dalam kurung tidak terikat dengan i, boleh juga dituliskan:

• Jumlah kuadrat galat / sesatan (JKG / JKS)

• Jumlah kuadrat total (JKT)

Perhatikan

Ingat kembali bahwa:

Sehingga

Jadi, JKP + JKG = JKT

5. Estimator

A. Estimator Variansi Antar Kelompok 𝜎²

Jika H₀ benar, maka s₁² estimator tak bias untuk 𝜎²

Jika H₁ benar, maka s₁² jauh melebihi 𝜎² (JKP cenderung besar)

B. Estimator Variansi Dalam Kelompok 𝜎²

Estimator ini tak bias untuk 𝜎², terlepas dari H₀ atau H₁ benar.
Jika H₀ benar, maka rasio s₁² dan s₂² dinyatakan dengan Uji Fisher dengan derajat kebebasan k − 1 dan nk − k, statistik uji:

RKP: Rerata Kuadrat Perlakuan → Estimator Variansi Antar Kelompok
RKG: Rerata Kuadrat Galat → Estimator Variansi Dalam Kelompok

Formula Praktis

➢ Jumlah Kuadrat Total

Ingat kembali bahwa

Sehingga

Jadi,

➢ Jumlah Kuadrat Perlakuan

Jadi,

➢ Jumlah Kuadrat Galat

JKG = JKT − JKP

Jadi,

6. Daerah Kritis

➢ s₁² jauh melebihi 𝜎², daerah kritis untuk uji F adalah:

DK = {F | F > F_{α; k − 1; nk − k}}

dengan F_{α; k − 1; nk − k} adalah nilai F tabel dengan taraf signifikansi 𝛼 dan derajat kebebasan k − 1 (db pembilang, 𝑣₁) dan 𝑛𝑘 − 𝑘 (db penyebut, 𝑣₂)

7. Tabel ANOVA 1 Faktor Sel Sama

SV: Sumber variansi
JK: Jumlah kuadrat

JKP: Jumlah kuadrat perlakuan

JKG: Jumlah kuadrat galat

JKT: Jumlah kuadrat total

db: Derajat kebebasan

RK: Rerata kuadrat, dirumuskan RK = JK/db

RKP: Rerata kuadrat perlakuan

RKG: Rerata kuadrat galat

k: Banyak kelompok

n: Banyak anggota per kelompok

Contoh Soal

Seorang produsen kertas kantong belanja ingin meningkatkan kekuatan tarik produknya. Mereka menduga bahwa kekuatan tarik dipengaruhi oleh konsentrasi kayu keras dalam pulp. Untuk menyelidiki hal ini, mereka melakukan percobaan dengan empat tingkat konsentrasi kayu keras (5%, 10%, 15%, dan 20%). Enam spesimen uji dibuat untuk setiap tingkat konsentrasi, sehingga total ada 24 spesimen. Semua spesimen diuji secara acak pada alat uji tarik laboratorium. Data dari percobaan ini akan ditampilkan dalam tabel berikut:

Konsentrasi	Observasi						Total	Rerata
	1	2	3	4	5	6
5	7	8	15	11	9	10	60	10,00
10	12	17	13	18	19	15	94	15,67
15	14	18	19	17	16	18	102	17,00
20	19	25	22	23	18	20	127	21,17
Grand Total							383	15,96

Pengujian Hipotesis

1. Hipotesis Statistik

H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ = μ₄ 

H₁: μ_i ≠ μ_j, (∃i ≠ j), dengan 1 ≤ i ≤ 4, 1 ≤ j ≤ 4

2. Taraf Signifikansi

α = 5% = 0,05

3. Statistik Uji

➢ Jumlah kuadrat total

➢ Jumlah kuadrat perlakuan

➢ Jumlah kuadrat galat

➢ Rerata kuadrat perlakuan

➢ Rerata kuadrat galat

➢ F hitung

jika disusun ke dalam tabel, menjadi:

SV	JK	db	RK	Fhit
Perlakuan	382,7917	3	127,5972	19,60521
Galat	130,1667	20	6,5083
Total	512,9583	23

4. Daerah Kritis

DK = {F | F > F_{0,05; 3; 20}} = {F | F > 3,098391}

5. Keputusan Uji

F = 19,60521 > 3,098391 yang berarti F ∈ DK, sehingga H₀ ditolak. Ini berarti H₁ diterima yaitu terdapat paling sedikit dua rerata yang tidak sama.

6. Kesimpulan

Terdapat perbedaan pengaruh konsentrasi kayu keras terhadap kekuatan tarik.

Perhatikan bahwa kesimpulan pengujian yang dilakukan menunjukkan terdapat perbedaan efek dari keempat konsentrasi kayu keras. Akan tetapi, sejauh pengujian ANOVA Satu Faktor Sel Sama yang dilakukan belum dapat melihat diantara keempat tingkat konsentrasi tersebut yang memberikan efek paling baik, yaitu kekuatan tarik terkuat.

Permasalahan tersebut merupakan suatu ‘catatan’ untuk ANOVA Satu Faktor Sel Sama. Akibatnya untuk menjawab permasalahan tersebut diperlukan suatu uji lanjutan.