ANOVA-2 Faktor: Uji Lanjut Komparasi Ganda

Analisis variansi (ANOVA) dua faktor menguji efek utama dan interaksi, tetapi tidak menunjukkan perlakuan mana yang paling signifikan. Jika hipotesis nol (H0) ditolak, berarti ada efek yang tidak sama, tetapi tidak menunjukkan efek mana yang paling signifikan. Untuk mengetahui efek paling signifikan, perlu dilakukan uji lanjut Anava Dua Jalan atau uji Komparasi Ganda. Terdapat empat macam komparasi pada uji lanjut ANOVA Dua Faktor:

(i) Komparasi ganda rerata baris ke-i dan baris ke-j.

(ii) Komparasi ganda rerata kolom ke-i dan kolom ke-j.

(iii) Komparasi ganda rerata sel ke-ij dan sel ke-kj (antar sel ditinjau dari kolom ke-j).

(iv) Komparasi ganda rerata sel ke-ij dan sel ke-ik (antar sel ditinjau dari baris ke-i).

Komparasi (i) dan (ii) adalah komparasi antar baris dan antar kolom. Komparasi (iii) dan (iv) adalah komparasi terkait interaksi. Uji lanjut Anava Dua Jalan menggunakan metode Scheffe untuk uji komparasi ganda, baik sel sama maupun sel tidak sama.

1. Komparasi Rerata Antar Baris

Uji komparasi rerata antar baris dimaksudkan untuk menguji lanjutan efek antar baris sehingga diperoleh efek baris yang paling signifikan. Misalkan akan diuji komparasi antar baris ke-i dan baris ke-j, akibatnya, hipotesis nol yang diuji pada komparasi rerata antar baris adalah sebagai berikut.

H₀: μ_i* = μ_j* 

Uji Scheffe komparasi rerata antar baris sebagai berikut.

dengan

F_i*-j*: Nilai F hitung pada komparasi baris ke-i dan baris ke-j

𝑋¯_i* : Rerata baris ke-i

𝑋¯_j* : Rerata baris ke-j

RKG: Rerata kuadrat galat

n_i : Ukuran sampel baris ke-i

n_j : Ukuran sampel baris ke-j

Daerah kritis untuk uji ini adalah:

DK = {F | F > (p – 1).F_{α; p − 1; N − pq}}

p: Banyak baris

q: Banyak kolom

N: Banyak seluruh data

F_{α; p − 1; N − pq} nilai dari tabel F dengan taraf signifikansi α dan derajat kebebasan v₁ = p − 1 dan v₂ = N − pq.

2. Komparasi Rerata Antar Kolom

Uji komparasi rerata antar kolom dimaksudkan untuk menguji lanjutan efek antar kolom sehingga diperoleh efek kolom yang paling signifikan. Misalkan akan diuji komparasi antar kolom ke-i dan kolom ke-j, akibatnya, hipotesis nol yang diuji pada komparasi rerata antar kolom adalah sebagai berikut.

H₀: μ_*i = μ_*j 

Uji Scheffe komparasi rerata antar kolom sebagai berikut.

dengan

F_*i-*j: Nilai F hitung pada komparasi kolom ke-i dan kolom ke-j

𝑋¯_i* : Rerata kolom ke-i

𝑋¯_j* : Rerata kolom ke-j

RKG: Rerata kuadrat galat

n_i : Ukuran sampel kolom ke-i

n_j : Ukuran sampel kolom ke-j

Daerah kritis untuk uji ini adalah:

DK = {F | F > (q – 1).F_{α; q − 1; N − pq}}

p: Banyak baris

q: Banyak kolom

N: Banyak seluruh data

F_{α; q − 1; N − pq} nilai dari tabel F dengan taraf signifikansi α dan derajat kebebasan v₁ = q − 1 dan v₂ = N − pq.

3. Komparasi Rerata Antar Sel Pada Kolom Sama

Uji komparasi rerata antar sel pada kolom yang sama terkait dengan interaksi dimaksudkan untuk menguji lanjutan efek antar sel ditinjau dari kolom yang sama sehingga diperoleh efek sel yang paling signifikan. Misalkan akan diuji komparasi antar sel ditinjau dari kolom ke-j, akibatnya, hipotesis nol yang diuji pada komparasi rerata antar sel pada kolom yang sama adalah sebagai berikut.

H₀: μ_ij = μ_kj 

Uji Scheffe komparasi rerata antar sel pada kolom yang sama sebagai berikut.

dengan

F_ij-kj: Nilai F hitung pada komparasi sel ke-ij dan sel ke-kj

𝑋¯_ij : Rerata sel ke-ij

𝑋¯_kj : Rerata sel ke-kj

RKG: Rerata kuadrat galat

n_ij : Ukuran sampel sel ke-ij

n_kj : Ukuran sampel sel ke-kj

Daerah kritis untuk uji ini adalah:

DK = {F | F > (pq – 1).F_{α; pq − 1; N − pq}}

p: Banyak baris

q: Banyak kolom

N: Banyak seluruh data

F_{α; pq − 1; N − pq} nilai dari tabel F dengan taraf signifikansi α dan derajat kebebasan v₁ = pq − 1 dan v₂ = N − pq.

4. Komparasi Rerata Antar Sel Pada Baris Sama

Uji komparasi rerata antar sel pada baris yang sama terkait dengan interaksi dimaksudkan untuk menguji lanjutan efek antar sel ditinjau dari baris yang sama sehingga diperoleh efek sel yang paling signifikan. Misalkan akan diuji komparasi antar sel ditinjau dari baris ke-i, akibatnya, hipotesis nol yang diuji pada komparasi rerata antar sel pada baris yang sama adalah sebagai berikut.

H₀: μ_ij = μ_ik 

Uji Scheffe komparasi rerata antar sel pada baris yang sama sebagai berikut.

dengan

F_ij-ik: Nilai F hitung pada komparasi sel ke-ij dan sel ke-ik

𝑋¯_ij : Rerata sel ke-ij

𝑋¯_ik : Rerata sel ke-ik

RKG: Rerata kuadrat galat

n_ij : Ukuran sampel sel ke-ij

n_ik : Ukuran sampel sel ke-ik

Daerah kritis untuk uji ini adalah:

DK = {F | F > (pq – 1).F_{α; pq − 1; N − pq}}

p: Banyak baris

q: Banyak kolom

N: Banyak seluruh data

F_{α; pq − 1; N − pq} nilai dari tabel F dengan taraf signifikansi α dan derajat kebebasan v₁ = pq − 1 dan v₂ = N − pq.

Contoh Soal

Seorang insinyur sedang merancang baterai untuk digunakan dalam perangkat yang akan mengalami variasi suhu ekstrem. Dia mempertimbangkan faktorial dua arah dengan bahan pelat dan suhu sebagai dua faktor, tetapi memiliki banyak pilihan yang layak untuk bahan pelat dan suhu. Misalkan tiga bahan pelat dan tiga suhu dipilih, keduanya secara acak, untuk digunakan dalam penelitian. Empat baterai diuji pada setiap kombinasi bahan pelat dan suhu, dan 36 pengujian yang dihasilkan dijalankan dalam urutan acak. Data, umur baterai yang diamati, ada dalam tabel berikut.

dalam jumlah:

Tipe material	Temperatur
	15	70	125	Total
1	539	229	230	998
2	623	479	198	1300
3	576	583	342	1501
Total	1738	1291	770	3799

A. Uji Hipotesis

1. Hipotesis

H_0A: Tipe material tidak berpengaruh terhadap daya hidup baterai

H_0B: Temperatur tidak berpengaruh terhadap daya hidup baterai

H_0AB: Tidak terdapat interaksi tipe material dengan temperatur terhadap daya hidup baterai

2. Taraf Signifikansi

α = 5% = 0,05

3. Statistik Uji

➢ Jumlah kuadrat baris

➢ Jumlah kuadrat kolom

➢ Jumlah kuadrat interaksi

➢ Jumlah kuadrat galat

➢ Rerata kuadrat baris

➢ Rerata kuadrat kolom

➢ Rerata kuadrat interaksi

➢ Rerata kuadrat galat

➢ F hitung

Jika disusun ke dalam tabel, menjadi:

SV	JK	db	RK	F hitung
Tipe Material	10683,72	2	5341,861	7,911372
Temperatur	39118,72	2	19559,36	28,96769
Interaksi	9613,778	4	2403,444	3,559535
Galat	18230,75	27	675,213
Total	77646,97	35

4. Daerah Kritis dan Keputusan Uji

a. Daerah kritis untuk F_a 

DK = {F_a | F_a > F_{α; p − 1; N − pq}} = {F_a | F_a > F_{0,05; 2; 27}} = {F_a | F_a > 3,354131}

Karena F_a = 7,911 > 3,354 maka F_a ∈ DK sehingga H_0A ditolak. Ini berarti H_1A diterima.

b. Daerah kritis untuk F_b 

DK = {F_b | F_b > F_{α; q − 1; N − pq}} = {F_b | F_b > F_{0,05; 2; 27}} = {F_b | F_b > 3,354131}

Karena F_b = 28,968 > 3,354 maka F_b ∈ DK sehingga H_0B ditolak. Ini berarti H_1B diterima.

c. Daerah kritis untuk F_ab 

DK = F_ab | F_ab > F_{α; (p − 1)(q − 1); N − pq}} = {F_ab | F_ab > F_{0,05; 4; 27}} = {F_ab | F_ab > 2,727765}

Karena F_ab = 3,559 > 2,728 maka F_ab ∉ DK sehingga H_0AB diterima.

5. Kesimpulan

a. Tipe material berpengaruh terhadap daya hidup baterai. Dengan kata lain, terdapat perbedaan daya hidup baterai antara tipe material 1, 2, dan 3.

b. Temperatur berpengaruh terhadap daya hidup baterai. Dengan kata lain, terdapat perbedaan daya hidup baterai antara temperatur 15, 70, dan 125.

c. Terdapat interaksi tipe material dengan temperatur terhadap daya hidup baterai.

Untuk memudahkan komputasi pada uji lanjut, setiap sel dihitung nilai rerata sehingga diperoleh tabel rerata sebagai berikut.

	15	70	125	Rerata
1	134,75	57,25	57,5	83,1667
2	155,75	119,75	49,5	108,3333
3	144	145,75	85,5	125,0833
Rerata	144,8333	107,5833	64,1667	105,5278

B. Uji Komparasi antar Baris

1. Hipotesis

H_0;1-2: μ₁ = μ₂ 

H_0;1-3: μ₁ = μ₃ 

H_0;2-3: μ₂ = μ₃ 

2. Taraf Signifikansi

α = 5% = 0,05

3. Statistik Uji

4. Daerah Kritis

DK = {F | F > 2.F_{0,05; 2; 27}} = {F | F > 6,708262}

5. Keputusan Uji

➢ Tipe 1 vs Tipe 2

F = 5,628 < 6,708 yang berarti F ∉ DK, sehingga H₀ diterima. Ini berarti tidak terdapat perbedaan pengaruh antara tipe 1 dan tipe 2 terhadap daya hidup baterai.

➢ Tipe 1 vs Tipe 3

F = 15,613 > 6,708 yang berarti F ∈ DK, sehingga H₀ ditolak. Ini berarti H₁ diterima yaitu terdapat perbedaan pengaruh antara tipe 1 dan tipe 3 terhadap daya hidup baterai.

➢ Tipe 2 vs Tipe 3

F = 2,493 < 6,708 yang berarti F ∉ DK, sehingga H₀ diterima. Ini berarti tidak terdapat perbedaan pengaruh antara tipe 2 dan tipe 3 terhadap daya hidup baterai.

6. Kesimpulan

Terdapat perbedaan pengaruh antara tipe 1 dan tipe 3, sedangkan komparasi lain tidak signifikan perbedaannya. Menurut reratanya, tipe 3 lebih dari tipe 1, yaitu 125,08 > 83,17. Jadi, material dengan tipe 1 adalah material terbaik, dengan tipe 1 sedikit lebih baik dari tipe 2 dan secara signifikan lebih baik dari tipe 3, dan tipe 2 sedikit lebih baik dari tipe 3.

C. Uji Komparasi antar Kolom

1. Hipotesis

H_0;1-2: μ₁ = μ₂ 

H_0;1-3: μ₁ = μ₃ 

H_0;2-3: μ₂ = μ₃ 

2. Taraf Signifikansi

α = 5% = 0,05

3. Statistik Uji

4. Daerah Kritis

DK = {F | F > 2.F_{0,05; 2; 27}} = {F | F > 6,708262}

5. Keputusan Uji

➢ Temperatur 15 vs Temperatur 70

F = 12,33 > 6,708 yang berarti F ∈ DK, sehingga H₀ ditolak. Ini berarti H₁ diterima yaitu terdapat perbedaan pengaruh antara temperatur 15 dan 70 terhadap daya hidup baterai.

➢ Temperatur 15 vs Temperatur 125

F = 57,82 > 6,708 yang berarti F ∈ DK, sehingga H₀ ditolak. Ini berarti H₁ diterima yaitu terdapat perbedaan pengaruh antara temperatur 15 dan 125 terhadap daya hidup baterai.

➢ Temperatur 70 vs Temperatur 125

F = 16,75 > 6,708 yang berarti F ∈ DK, sehingga H₀ ditolak. Ini berarti H₁ diterima yaitu terdapat perbedaan pengaruh antara temperatur 70 dan 125 terhadap daya hidup baterai.

6. Kesimpulan

Terdapat perbedaan pengaruh antara temperatur 15, 70, dan 125 untuk setiap komparasi. Menurut reratanya, temperatur 15 lebih dari temperatur 70 lebih dari temperatur 125, yaitu 144,83 > 107,58 > 64,17. Jadi, temperatur 15 adalah yang terbaik pengaruhnya terhadap daya hidup baterai.

D. Uji Komparasi antar Sel pada Baris Sama

1. Hipotesis

Komparasi	H0	H1
μ11 vs μ12	μ11 = μ12	μ11 ≠ μ12
μ11 vs μ13	μ11 = μ13	μ11 ≠ μ13
μ12 vs μ13	μ12 = μ13	μ12 ≠ μ13
μ21 vs μ22	μ21 = μ22	μ21 ≠ μ22
μ21 vs μ23	μ21 = μ23	μ21 ≠ μ23
μ22 vs μ23	μ22 = μ23	μ22 ≠ μ23
μ31 vs μ32	μ31 = μ32	μ31 ≠ μ32
μ31 vs μ33	μ31 = μ33	μ31 ≠ μ33
μ32 vs μ33	μ32 = μ33	μ32 ≠ μ33

2. Taraf Signifikansi

α = 5% = 0,05

3. Statistik Uji, Daerah Kritis, dan Keputusan Uji

4. Kesimpulan

Tolak H₀ untuk μ₁₁ vs μ₁₂ dan μ₂₁ vs μ₂₃, terima H₀ untuk sisanya. Artinya untuk material tipe 1 terdapat perbedaan yang signifikan antara temperatur 15°C dengan 70°C, dengan temperatur 15°C memberikan pengaruh lebih baik dari 70°C terhadap daya hidup baterai (berdasarkan rerata), dan untuk tipe 2 terdapat perbedaan yang signifikan antara temperatur 15°C dan 125°C dengan temperatur 15°C memberikan pengaruh lebih baik dari 125°C terhadap daya hidup baterai (berdasarkan rerata), adapun sisanya tidak terdapat perbedaan pengaruh yang signifikan.

E. Uji Komparasi antar Sel pada Kolom Sama

1. Hipotesis

Komparasi	H0	H1
μ11 vs μ21	μ11 = μ21	μ11 ≠ μ21
μ11 vs μ31	μ11 = μ31	μ11 ≠ μ31
μ21 vs μ31	μ21 = μ31	μ21 ≠ μ31
μ12 vs μ22	μ12 = μ22	μ12 ≠ μ22
μ12 vs μ32	μ12 = μ32	μ12 ≠ μ32
μ22 vs μ32	μ22 = μ32	μ22 ≠ μ32
μ13 vs μ23	μ13 = μ23	μ13 ≠ μ23
μ13 vs μ33	μ13 = μ33	μ13 ≠ μ33
μ23 vs μ33	μ23 = μ33	μ23 ≠ μ33

2. Taraf Signifikansi

α = 5% = 0,05

3. Statistik Uji, Daerah Kritis, dan Keputusan Uji

4. Kesimpulan

Tolak H₀ untuk μ₁₂ vs μ₃₂, terima H₀ untuk sisanya. Artinya untuk temperatur 70°C terdapat perbedaan yang signifikan antara material tipe 1 dengan tipe 3, dengan material tipe 3 memberikan pengaruh lebih baik dari tipe 1 terhadap daya hidup baterai (berdasarkan rerata), adapun sisanya tidak terdapat perbedaan pengaruh yang signifikan.