Estimasi Interval: Konsep Dasar dan Prosedur Umum

1. Konsep Dasar dan Bentuk Umum

Untuk menentukan estimasi interval dari θ, harus ditentukan dua nilai batas θₘᵢₙ dan θₘₐₓ sedemikian hingga

P(θₘᵢₙ ≤ θ ≤ θₘₐₓ) = 1 − α

dimana α adalah taraf signifikansi, sedangkan 1 − α adalah taraf konfidensi.

Estimasi interval untuk θ dengan taraf signifikansi α adalah θₘᵢₙ ≤ θ ≤ θₘₐₓ.

2. Prosedur Umum

A. Prosedur Umum

Misal ingin ditentukan estimasi interval untuk θ, berikut prosedurnya secara umum:

1. Tentukan estimasi titik dari θ dan distribusinya

2. Tentukan besaran pivot, yaitu besaran yang memuat θ dan θ̂ sehingga distribusinya tidak tergantung pada θ; juga tentukan distribusi dari pivot

3. Misal pivotnya adalah Q, masukkan ke bentuk umum estimasi interval, yaitu

P(a ≤ Q ≤ b) = 1 − α

4. Uraikan sehingga diperoleh bentuk

P(c ≤ θ ≤ d) = 1 − α

B. Margin of Error (E)

Khusus untuk distribusi simetris, ada istilah margin of error (E), yang mana pada bentuk

P(c ≤ θ ≤ d) = 1 − α

margin of error dirumuskan:

• E = θ − c = d − θ = ½(d − c)

• d − c = 2E

• c = θ̂ − E

• d = θ̂ + E

untuk distribusi simetris, perhitungan agak lebih mudah, dengan adanya margin of error.

C. Distribusi Simetris

Diantara distribusi yang simetris:

• Distribusi Normal, X~N(μ, σ²), simetris terhadap garis x = μ

• Distribusi Student, X~t(v), simetris terhadap garis x = 0

• Distribusi Uniform (baik diskrit maupun kontinu), simetris terhadap mediannya

dan lain-lain.

Contoh Soal

1. Misal X₁, X₂, ..., Xₙ merupakan sampel random dari VR X~N(μ, σ²), tentukan estimasi interval untuk μ.

a. Estimasi Titik

Pada pembahasan estimasi titik, kita telah mendapati bahwa μ̂ = x̄

juga x̄~N(μ, σ²/n)

b. Pivot

Pada pembahasan distribusi fungsi VR, kita telah mendapati bahwa transformasi dari X~N(μ, σ²) menjadi Y = (x − μ)/σ memiliki distribusi yang tidak tergantung pada μ, dimana Y~N(0, 1).

Lakukan cara yang sama pada x̄, diperoleh pivotnya

c. Interval Pivot

P[−z_α/2 ≤ z ≤ z_α/2] = 1 − α

d. Interval Parameter

jadi, estimasi interval untuk μ adalah

distribusinya simetris, margin of error dari μ adalah

2. Misal X₁, X₂, ..., Xₙ merupakan sampel random dari VR X yang terdistribusi normal tetapi σ² tidak diketahui, tentukan estimasi interval untuk μ.

a. Estimasi Titik

Estimasi titik untuk μ adalah x̄, akan tetapi variansi populasi tidak diketahui, sehingga tidak memungkinkan menyatakan x̄ menggunakan distribusi normal. Sebagai gantinya, gunakan distribusi t yang tidak memerlukan diketahui variansi populasi, juga distribusi t akan semakin mendekati distribusi normal tergantung dari banyaknya sampel.

x̄~t(n − 1).

b. Pivot

Untuk ini, pivotnya adalah dengan menggunakan variansi sampel sebagai ganti dari variansi populasi.

c. Interval Pivot
P[−t_α/2;n-1 ≤ t ≤ t_α/2;n-1] = 1 − α

d. Interval Parameter

jadi, estimasi interval untuk μ adalah

distribusinya simetris, margin of error dari μ adalah

3. Misal X₁₁, X₁₂, ..., X₁_n1 merupakan sampel random dari VR X₁~N(μ₁, σ₁²), dan X₂₁, X₂₂, ..., X₂_n2 merupakan sampel random dari VR X₂~N(μ₂, σ₂²), tentukan estimasi interval untuk μ₁ − μ₂.

a. Estimasi Titik

Estimasi titik untuk μ₁ adalah x̄₁ dan untuk μ₂ adalah x̄₂, sehingga estimasi titik untuk μ₁ − μ₂ adalah

x̄₁ − x̄₂.

Untuk menentukan distribusinya, tentukan fungsi pembangkit momen

b. Pivot

Karena berdistribusi normal dan variansi diketahui, gunakan bilangan baku sebagai pivot.

c. Interval Pivot

P[−z_α/2 ≤ z ≤ z_α/2] = 1 − α

d. Interval Parameter

jadi, estimasi interval untuk μ₁ − μ₂ adalah

distribusinya simetris, margin of error dari μ₁ − μ₂ adalah

4. Misal X₁₁, X₁₂, ..., X₁_n1 merupakan sampel random dari VR X₁ yang berdistribusi normal, dan X₂₁, X₂₂, ..., X₂_n2 merupakan sampel random dari VR X₂ yang berdistribusi normal, sedangkan variansi dari masing-masing tidak diketahui tentukan estimasi interval untuk μ₁ − μ₂.

a. Estimasi Titik

Estimasi titik untuk μ₁ adalah x̄₁ dan untuk μ₂ adalah x̄₂, sehingga estimasi titik untuk μ₁ − μ₂ adalah

x̄₁ − x̄₂.

akan tetapi variansi masing-masing populasi tidak diketahui, sehingga tidak memungkinkan menyatakan x̄₁ − x̄₂ menggunakan distribusi normal. Sebagai gantinya, gunakan distribusi t yang tidak memerlukan diketahui variansi populasi, juga distribusi t akan semakin mendekati distribusi normal tergantung dari banyaknya sampel.

(x̄₁ − x̄₂)~t(n₁ + n₂ − 2)

b. Pivot

Untuk ini, pivotnya adalah dengan menggunakan variansi sampel sebagai ganti dari variansi populasi.

c. Interval Pivot

P[−t_{α/2;n₁ + n₂ − 2} ≤ t ≤ t_{α/2;n₁ + n₂ − 2}] = 1 − α

d. Interval Parameter

jadi, estimasi interval untuk μ₁ − μ₂ adalah

distribusinya simetris, margin of error dari μ₁ − μ₂ adalah