Estimasi Interval: Perubahan Interval
Ingat kembali prosedur estimasi interval:
1. Tentukan estimasi titik dari θ dan distribusinya
2. Tentukan besaran pivot, yaitu besaran yang memuat θ dan θ̂ sehingga distribusinya tidak tergantung pada θ; juga tentukan distribusi dari pivot
3. Misal pivotnya adalah Q, masukkan ke bentuk umum estimasi interval, yaitu
P(a ≤ Q ≤ b) = 1 − α
4. Uraikan sehingga diperoleh bentuk
P(c ≤ θ ≤ d) = 1 − α
Terkadang dengan prosedur umum kita telah mendapatkan suatu estimasi interval, lalu ada keinginan untuk mengubah interval, ukuran sampel, taraf signifikansi/konfidensi. Untuk memperoleh hasil setelah perubahan, diperlukan manipulasi.
Beberapa zα/2 untuk α tertentu:
|
α |
zα/2 |
|
0,01 |
2,57583 |
|
0,02 |
2,32635 |
|
0,05 |
1,95996 |
|
0,10 |
1,64485 |
|
0,15 |
1,43953 |
|
0,20 |
1,28155 |
1. Misal X₁, X₂, ..., Xₙ merupakan sampel random dari VR X~N(μ, 16).
A. Tentukan estimasi interval untuk μ.
• Estimasi titik
μ̂ = x̄
x̄~N(μ, σ²/n)
• Pivot
P[−zα/2 ≤ z ≤ zα/2] = 1 − α
• Interval Parameter
distribusinya simetris, margin of error dari μ adalah
B. Tentukan ukuran sampel terkecil sehingga estimasi interval untuk μ dengan taraf konfidensi 90% adalah x̄ − 1 ≤ μ ≤ x̄ + 1.
1 − α = 90% = 0,9 ↔ α = 1 − 0,9 = 0,1; zα/2 = 1,64485
σ² = 16 ↔ σ = 4
akan ditentukan n sehingga E = 1
(1,64485).4/√n = 1
√n = (1,64485).4 = 6,5794
n = (6,5794)² = 43,2887 ≈ 44
Jadi, ukuran sampel terkecil adalah 44.
2. Misal X₁, X₂, ..., X₈₁ merupakan sampel random dari VR X~N(¾θ, 64).
A. Jika dari data sampel diperoleh nilai rata-rata = 60, Tentukan estimasi interval untuk θ dengan tingkat signifikan 5%.
• Estimasi titik
¾θ̂ = x̄ ↔ θ̂ = (4/3)x̄
x̄~N(¾θ, 64/81)
• Pivot
P[−zα/2 ≤ z ≤ zα/2] = 1 − α
• Interval Parameter
−1,74219 ≤ ¾θ − 60 ≤ 1,74219
58,25781 ≤ ¾θ ≤ 61,74219
77,67708 ≤ θ ≤ 82,32292
E = 2,32292
B. Berdasarkan hasil (A), tentukan tingkat signifikan dengan banyak sampel tidak berubah, jika estimasi intervalnya dipersempit sehingga Batas Bawah (BB) dan Batas Atas (BA) menjadi:
BB = BB + 0,8; BA = BA − 0,8
Ini berarti E = 2,32292 − 0,8 = 1,52292
zα/2 = (1,95996) × (1,52292) ÷ (2,32292) = 1,28496
α = 0,198805 = 19,88%
Jadi, tingkat signifikansi setelah perubahan batas adalah 19,88%.
C. Berdasarkan hasil (A), tentukan banyak sampel dengan tingkat signifikan tetap 5%, jika estimasi intervalnya dipersempit sehingga Batas Bawah (BB) dan Batas Atas (BA) menjadi:
BB = BB + 0,8; BA = BA − 0,8
Ini berarti E = 2,32292 − 0,8 = 1,52292
n = 81 × [(2,32292)/(1,52292)]² = 188,4514 ≈ 189
Jadi, ukuran sampel setelah perubahan batas adalah 189.
D. Berdasarkan hasil (A), jika diminta memperkecil tingkat signifikan menjadi 2% dan banyak sampel ditambah menjadi 225, tentukan estimasi intervalnya.
untuk α = 2%, zα/2 = 2,32635
E = 2,32292 × √(81/225) × (2,32635)/(1,95996) = 1,65429
78,34571 ≤ θ ≤ 81,65429
Komentar
Posting Komentar