Grup Abel / Grup Komutatif

1. Definisi dan Contoh

A. Definisi Grup Abel

Grup (G, *) dengan operasi * pada G bersifat komutatif disebut grup Abel.

Penamaan ini disandarkan pada seorang matematikawan dari Norwegia, yaitu Niels Henrik Abel (1802 - 1829).

B. Contoh-Contoh

Berikut ini beberapa contoh:

1. Himpunan-himpunan ℤ, ℚ, dan ℝ terhadap operasi penjumlahan membentuk grup Abel.

2. Himpunan {–1, 1}, ℚ\{0}, dan ℝ\{0} terhadap operasi perkalian membentuk grup Abel.

3. Subgrup rotasi dari grup dihedral membentuk grup Abel.

4. {e} membentuk grup Abel.

2. Komutator dan Pemusat

A. Komutator

Diberikan a, b ∈ G. Kita definisikan komutator dari a dan b, ditulis [a, b], sebagai aba⁻¹b⁻¹.

Dengan pengertian ini, G adalah grup Abel jika dan hanya jika (∀a, b ∈ G). [a, b] = e.

Perlu diketahui bahwa himpunan semua komutator tidak selalu membentuk subgrup, karena hasil kali dua komutator belum tentu komutator.

B. Pemusat

Diberikan p ∈ G. Kita definisikan pemusat dari p, ditulis C(p), sebagai {a ∈ G | pa = ap}.

Dengan mengiriskan semua pemusat dari semua elemen di G, diperoleh subgrup yang disebut sebagai pusat dari G, ditulis C(G).

C(G) = {g ∈ G | gh = hg, ∀h ∈ G}, dan C(G) merupakan grup Abel.

3. Keabelan Khusus

A. Keabelan menurut pusat

Grup G grup abel jika dan hanya jika C(G) = G.

Bukti:

Implikasi ke kiri dengan mudah kita peroleh mengingat bahwa C(G) adalah grup abel. Sekarang misalkan G grup abel dan g ∈ G. Maka ga = ag, untuk semua a ∈ G. Dari definisi C(G) kita peroleh bahwa g ∈ C(G). Jadi, G ⊆ C(G) dan dengan demikian C(G) = G. ■

B. Grup Simetri

Untuk n > 2, grup simetri Sₙ bukan grup abel.

Bukti:

Kita cukup menunjukkan bahwa terdapat dua unsur a, b ∈ Sₙ yang memenuhi ab ≠ ba. Karena n > 2, kita dapat mengambil a = (1 2) dan b = (1 2 3) di Sₙ. Maka

ab = (1 2)(1 2 3) = (1 2)(2 3 1) = (1 2)(2 1)(2 3) = (1 2)(1 2)(2 3) = (2 3),

sedangkan

ba = (1 2 3)(1 2) = (1 3)(1 2)(1 2) = (1 3).

Ini berarti ab ≠ ba. Jadi, Sₙ bukan grup abel untuk n > 2. ■

C. Himpunan Kuasa

Misal H himpunan tak kosong. Himpunan kuasa dari H, ditulis 2^H, adalah himpunan semua subset dari H.

Klaim: Operasi selisih simetris, disimbolkan ∆, membentuk grup Abel.

Bukti:

(i) Bukti bahwa ∆ komutatif

Ambil sebarang A, B ∈ 2^H.

A ∆ B = (A \ B) ∪ (B \ A) = (B \ A) ∪ (A \ B) = B ∆ A.

(ii) Bukti bahwa (2^H , ∆) membentuk grup

• Ketertutupan

Ambil sebarang A, B ∈ 2^H. Berarti A, B ⊆ H.

Sedangkan A ∆ B = (A \ B) ∪ (B \ A) ⊆ A ∪ B ⊆ H.

Jadi, A ∆ B ⊆ H, dengan kata lain A ∆ B ∈ 2^H.

• Asosiatif

Ambil sebarang A, B, C ∈ 2^H.

Berikut ini tabel kebenaran dari keanggotaan x pada A, B, dan C:

x ∈ A	x ∈ B	x ∈ C	x ∈ (A ∆ B)	x ∈ (A ∆ B) ∆ C	x ∈ (B ∆ C)	x ∈ A ∆ (B ∆ C)
T	T	T	F	T	F	T
T	T	F	F	F	T	F
T	F	T	T	F	T	F
T	F	F	T	T	F	T
F	T	T	T	F	F	F
F	T	F	T	T	T	T
F	F	T	F	T	T	T
F	F	F	F	F	F	F

Perhatikan bahwa x ∈ (A ∆ B) ∆ C dan x ∈ A ∆ (B ∆ C) memiliki nilai kebenaran yang sama, yang artinya kedua pernyataan tersebut ekivalen, sehingga (A ∆ B) ∆ C = A ∆ (B ∆ C).

• Identitas

Jelas bahwa ∅ ∈ 2^H. Ambil sebarang A ∈ 2^H.

A ∆ ∅ = (A \ ∅) ∪ (∅ \ A) = A ∪ ∅ = A.

• Invers

Invers dari elemen-elemen di 2^H adalah dirinya sendiri, dimana untuk sebarang A ∈ 2^H berlaku:

A ∆ A = (A \ A) ∪ (A \ A) = ∅ ∪ ∅ = ∅.

Jadi, (2^H , ∆) merupakan grup dan ∆ bersifat komutatif, sehingga (2^H , ∆) membentuk grup Abel.

4. Syarat Cukup Tertentu

A. Grup Siklis

Setiap grup siklis merupakan grup Abel.

Ambil sebarang a, b ∈ G. Dikarenakan G grup siklis, terdapat bilangan bulat n dan m sehingga a = gⁿ dan b = gᵐ.

ab = gⁿgᵐ = gⁿ⁺ᵐ = gᵐ⁺ⁿ = gᵐgⁿ = ba.

Jadi, G merupakan grup Abel.

B. Grup dengan 4 anggota

Grup dengan 4 anggota merupakan grup Abel.

Bukti:

Misalkan G grup dengan 4 elemen dan e adalah elemen identitas G. Misalkan a, b ∈ G. Jika a = b, maka ab = a² = ba. Demikian pula, jika salah satu dari a atau b adalah e, maka sifat elemen identitas memberikan ab = ba. Jika ab = e, sifat elemen invers memberikan ba = e = ab. Asumsikan bahwa e, a, dan b adalah tiga elemen G yang berbeda dan memenuhi ab ≠ e. Maka G = {e, a, b, ab}. Sekarang perhatikan ba. Dengan alasan serupa, ba ≠ a dan ba ≠ b. Jika ba = e, maka kembali ab = e, berlawanan dengan ab ≠ e. Jadi haruslah ba = ab. Dengan demikian, ab = ba, untuk semua a, b ∈ G, sehingga G grup Abel.

C. Grup Involusi

Grup yang orde setiap elemennya tidak lebih dari 2 merupakan grup Abel.

Bukti:

Elemen identitas adalah satu-satunya elemen berorde 1 dan jelas bahwa ae = a = ea untuk setiap a.

Elemen-elemen lain pasti berorde 2.

Sehingga berlaku a² = e untuk setiap a (baik a = e maupun a ≠ e).

Karena a² = e = b², dipastikan a⁻¹ = a dan b⁻¹ = b.

Karena ab ∈ G, juga (ab)² = e, diperoleh [a, b] = aba⁻¹b⁻¹ = abab = (ab)² = e.

Jadi, setiap komutator di G adalah identitas, sehingga G grup Abel.