Grup Faktor / Grup Kuosien

1. Proses Pembentukan Grup Faktor / Grup Kuosien

Diberikan subgrup normal H di dalam grup (G, *). Koset-koset kiri H dihimpun dalam himpunan berikut:

G/H = {aᵢH | aᵢ ∈ G, i ∈ I}

dengan I himpunan indeks. Pada himpunan G/H didefinisikan operasi sebagai berikut:

aᵢH * aⱼH = (aᵢ * aⱼ)H

untuk sebarang aᵢH, aⱼH ∈ G/H. Himpunan (G/H, *) membentuk grup.

Bukti:

• Ketertutupan

Ambil sebarang aH, bH ∈ G/H; a, b ∈ G; H ◁ G.

aH * bH = (a * b)H, karena a*b ∈ G, maka (a * b)H ∈ G/H.

• Asosiatif

Ambil sebarang aH, bH, cH ∈ G/H; a, b, c ∈ G; H ◁ G.

(aH * bH) * cH = (a * b)H * cH = ((a * b)*c)H = (a*(b * c))H = aH * (bH * cH).

• Identitas

Perhatikan bahwa e elemen identitas di G dan koset eH adalah elemen netral di G/H, karena untuk setiap koset kiri aᵢH ∈ G/H berlaku

eH * aᵢH = (e * aᵢ)H = aᵢH.

• Invers

Untuk setiap a ∈ G, inversnya yaitu a⁻¹ juga berada di G. Koset a⁻¹H merupakan invers koset aH karena

aH * a⁻¹H = (a * a⁻¹)H = eH.

Jadi terbukti bahwa G/H merupakan grup. □

2. Definisi Grup Faktor / Grup Kuosien

Diberikan grup (G,*) dan subgrup normal H di G. Himpunan

G/H = {gH | g ∈ G}

yang dilengkapi dengan operasi * disebut grup faktor (boleh juga grup kuosien) G oleh H.

Operasi antar koset pada G/H itu mempunyai makna bahwa operasi dua koset aᵢH dan aⱼH menghasilkan koset yang memuat hasil operasi aᵢ dan aⱼ, yaitu (aᵢ * aⱼ)H. Selanjutnya elemen-elemen atau kelas-kelas di dalam grup faktor G/H dinotasikan sebagai [a] = aH, jadi G/H = {[a] | a ∈ G}.

Sangat mudah dimengerti bahwa o(G/H) = |G/H| = |G:H| = o(G) ÷ o(H).

Sebagai contoh perhatikan (3ℤ, +) yang merupakan subgrup dari (ℤ, +), dimana 3ℤ memiliki 3 koset kiri berbeda; yaitu 0 + 3ℤ, 1 + 3ℤ, dan 2 + 3ℤ.

Sehingga diperoleh grup faktor ℤ oleh 3ℤ, yaitu ℤ/3ℤ = {0 + 3ℤ, 1 + 3ℤ, 2 + 3ℤ}.

Berikut ini tabel hasil penjumlahan di ℤ/3ℤ:

	0 + 3ℤ	1 + 3ℤ	2 + 3ℤ
0 + 3ℤ	0 + 3ℤ	1 + 3ℤ	2 + 3ℤ
1 + 3ℤ	1 + 3ℤ	2 + 3ℤ	0 + 3ℤ
2 + 3ℤ	2 + 3ℤ	0 + 3ℤ	1 + 3ℤ

3. Sifat-Sifat Grup Faktor

A. Grup komutatif membentuk grup faktor yang siklik terhadap pemusatnya

Diberikan grup G dan C(G) adalah pemusat grup G. Jika G/C(G) adalah grup siklik, maka G merupakan grup komutatif.

Bukti:

Sudah dibuktikan bahwa pemusat grup C(G) merupakan subgrup normal. Misalkan pembangun G/C(G) adalah gC(G), dengan kata lain G/C(G) = 

ab = gᵏd₁gˡd₂ = gᵏgˡd₁d₂ = gᵏ⁺ˡd₁d₂ = gˡgᵏd₁d₂ = gˡd₂gᵏd₁ = ba. □

B. Pembentukan grup faktor yang komutatif

Diketahui H adalah subgrup di G. Jika x² ∈ H untuk semua x ∈ G, maka H adalah subgrup normal di G dan G/H adalah grup komutatif.

Bukti:

Ambil sebarang g ∈ G dan h ∈ H dan perhatikan persamaan berikut:

ghg⁻¹ = (gh)²h⁻¹g⁻².

Jelas bahwa h⁻¹ ∈ H dan dari asumsi (gh)² ∈ H dan g⁻² ∈ H. Jadi ghg⁻¹ ∈ H dan terbukti H adalah subgrup normal.

Selanjutnya ambil sebarang aH, bH ∈ G/H. Dengan mengingat operasi antar koset, hal ini ekivalen dengan membuktikan abH = baH, atau (ba)⁻¹ab ∈ H. Selanjutnya perhatikan bahwa:

(ba)⁻¹ab = (a⁻¹b⁻¹)ab = (a⁻¹b⁻¹b)a = (a⁻¹a) = e.

Sudah dibuktikan bahwa e² ∈ H untuk semua e ∈ G, sehingga (a⁻¹b⁻¹b)²(bab⁻¹)ab² ∈ H yang berakibat (ba)⁻¹ab ∈ H. Terbukti aHbH = bHaH. □

C. Kenormalan subgrup yang hanya memiliki 2 koset

Diberikan H subgrup dari G. Jika |G : H| = 2, maka H adalah subgrup normal di G.

Bukti:

Andaikan ada (∃a ∈ G) ∋ a² ∉ H. Akibatnya a ∉ H, karena jika a ∈ H akan berimplikasi a² ∈ H. Lebih lanjut, koset eH = H dan aH adalah koset kiri H yang berbeda. Karena diketahui |G : H| = 2, grup faktor G/H = {H, aH} dan G = H ∪ aH. Oleh karena a² ∉ H berakibat a² ∈ aH. Jadi terdapat h ∈ H sehingga a² = ah. Tetapi hal ini berakibat a = h ∈ H, suatu kontradiksi. Jadi yang benar adalah a² ∈ H. Menurut poin (B), terbukti H merupakan subgrup normal. □

D. Kekomutatifan grup faktor oleh grup komutatif

Diketahui H adalah subgrup normal di G. Jika G adalah grup komutatif, maka G/H juga grup komutatif.

Bukti:

Ambil sebarang elemen di G/H, misalnya [a] = aH dan [b] = bH. Selanjutnya ambil sebarang ah₁ ∈ aH dan bh₂ ∈ bH, sehingga diperoleh

ah₁bh₂ = bh₂ah₁.

Jadi terbukti [a][b] = [b][a]. □

E. Kesiklisan grup faktor oleh grup siklis

Diketahui H adalah subgrup normal di G. Jika G adalah grup siklis, maka G/H juga grup siklis.

Bukti:

Diketahui grup G siklis dengan pembangun a, yaitu G = 〈a〉. Ambil sebarang elemen [p] ∈ G/H, berarti [p] = pH = aᵏH untuk suatu bilangan bulat positif k. Dari operasi koset yang didefinisikan di G/H diperoleh

[p] = pH = aᵏH = (aH)ᵏ ∈ 〈aH〉. □

F. Himpunan semua hasil operasi berhingga komutator

Misal didefinisikan himpunan semua hasil operasi berhingga komutator-komutator di dalam grup G sebagai berikut:

G' = {g₁g₂...gₙ | gᵢ merupakan komutator di G; i = 1, 2, ..., n}.

Klaim: G' tersebut merupakan subgrup normal dari G.

Bukti:

Ambil sebarang elemen g, h ∈ G', diperoleh g = g₁g₂...gₙ dan h = h₁h₂...hₘ, dengan gᵢ dan hⱼ adalah komutator, i = 1,2,...,n dan j = 1,2,...,m. Sebelumnya perhatikan bahwa invers dari komutator, yaitu (aba⁻¹b⁻¹)⁻¹ = bab⁻¹a⁻¹ juga merupakan komutator. Selanjutnya diperoleh

gh = g₁g₂...gₙh₁h₂...hₘ ∈ G'

dan

h⁻¹ = (h₁h₂...hₘ)⁻¹ = hₘ⁻¹...h₂⁻¹h₁⁻¹

yang merupakan hasil operasi komutator-komutator. Akibatnya h⁻¹ ∈ G' dan terbukti G' merupakan subgrup.

Selanjutnya diambil p ∈ G dan g = g₁g₂...gₙ ∈ G'. Perhatikan bahwa

pgp⁻¹ = pg₁g₂...gₙp⁻¹ = (pg₁p⁻¹)(pg₂p⁻¹)...(pgₙp⁻¹) (6.4)

dan karena masing-masing gᵢ adalah komutator diperoleh gᵢ = aᵢbᵢaᵢ⁻¹bᵢ⁻¹. Akibatnya

pgᵢp⁻¹ = p(aᵢbᵢaᵢ⁻¹bᵢ⁻¹)p⁻¹ = (paᵢp⁻¹)(pbᵢp⁻¹)(paᵢ⁻¹p⁻¹)(pbᵢ⁻¹p⁻¹).

Karena (paᵢp⁻¹)⁻¹ = (p⁻¹aᵢ⁻¹p⁻¹)⁻¹ = paᵢ⁻¹p⁻¹ dan hasil serupa juga diperoleh ketika aᵢ diganti bᵢ, selanjutnya diperoleh

pgᵢp⁻¹ = (paᵢp⁻¹)(pbᵢp⁻¹)(paᵢp⁻¹)⁻¹(pbᵢp⁻¹)⁻¹.

Hal ini menunjukkan bahwa pgᵢp⁻¹ juga merupakan komutator. Terbukti bahwa pgp⁻¹ merupakan hasil operasi komutator-komutator sebanyak berhingga. Terbukti pgp⁻¹ ∈ G', yaitu G' adalah subgrup normal.

Tambahan:

Jika G adalah grup komutatif, maka G' = {e}.

G. Hubungan grup faktor dan subgrup komutator

Diberikan grup G, subgrup komutator G' dan subgrup normal H di dalam G. Grup faktor G/H merupakan grup komutatif jika dan hanya jika G' ⊆ H.

Bukti:

(⇒). Diketahui G/H merupakan grup komutatif, sehingga diperoleh

(g₁H)(g₂H) = (g₂H)(g₁H)

dan berakibat g₁g₂H = g₂g₁H. Selanjutnya g₁g₂(g₂g₁)⁻¹ = g₁g₂g₁⁻¹g₂⁻¹ ∈ H. Karena g₁ dan g₂ merupakan elemen sebarang di dalam G, disimpulkan sebarang komutator di G termuat di dalam H. Jadi himpunan semua hasil operasi berhingga komutator di G termuat di dalam H atau dengan kata lain G' ⊆ H.

(⇐). Diketahui G' ⊆ H. Ambil sebarang g₁,g₂ ∈ G, diperoleh g₁g₂g₁⁻¹g₂⁻¹ ∈ H. Akibatnya g₁g₂(g₂g₁)⁻¹ ∈ H yang berarti juga g₁g₂H = g₂g₁H. Hal ini membuktikan bahwa grup faktor G/H komutatif.

H. Kriteria Grup Abel untuk Grup Faktor

Misalkan N ◁ G. Grup faktor G/N merupakan grup abel jika dan hanya jika aba⁻¹b⁻¹ ∈ N, untuk setiap a, b ∈ G.

Bukti:

(⇒) Misalkan G/N grup abel. Misalkan a, b ∈ G. Maka (Na)(Nb) = (Nb)(Na), sehingga N(ab) = N(ba). Akibatnya N(aba⁻¹b⁻¹) = N(ab)(ba)⁻¹ = N, yang berarti aba⁻¹b⁻¹ ∈ N. Jadi jika G/N grup abel, maka aba⁻¹b⁻¹ ∈ N, untuk semua a, b ∈ G.

(⇐) Misalkan aba⁻¹b⁻¹ ∈ N, untuk setiap a, b ∈ G. Ambil sebarang Np, Nq ∈ G/N. Maka pqp⁻¹q⁻¹ ∈ N, sehingga

N(pq)N(qp)⁻¹ = N(pq(qp)⁻¹) = N(pqp⁻¹q⁻¹) = N.

Akibatnya (Np)(Nq) = N(pq) = N(qp) = (Nq)(Np). Jadi jika aba⁻¹b⁻¹ ∈ N, untuk setiap a, b ∈ G, maka (Np)(Nq) = (Nq)(Np), untuk semua Np, Nq ∈ G/N, yang berarti G/N grup abel.