Grup: Pengertian dan Sifat Dasar

1. Grupoid, Semigrup, Monoid, dan Grup

A. Definisi

Himpunan A yang dilengkapi dengan operasi *, dituliskan (A, *), membentuk sistem matematika. Perhatikan 4 syarat grup berikut:

(i) Tertutup, dituliskan (∀a, b ∈ A). a * b ∈ A

(ii) Asosiatif, dituliskan (∀a, b, c ∈ A). (a * b) * c = a * (b * c)

(iii) Terdapat elemen identitas, dituliskan (∃e ∈ A)(∀a ∈ A). a * e = a = e * a

(iv) Terdapat elemen invers, dituliskan (∀a ∈ A)(∃a⁻¹ ∈ A). a * a⁻¹ = e = a⁻¹ * a

Jika terpenuhi sifat tertutup, maka (A, *) membentuk Grupoid.

Jika terpenuhi sifat tertutup dan asosiatif, maka (A, *) membentuk Semigrup.

Jika terpenuhi sifat tertutup, asosiatif dan identitas; maka (A, *) membentuk Monoid.

Jika keempat syarat grup terpenuhi, maka (A, *) membentuk Grup.

Oleh karena itu, boleh juga dikatakan:

Semigrup adalah grupoid yang bersifat asosiatif.

Monoid adalah semigrup yang memiliki elemen identitas.

Grup adalah monoid yang memiliki elemen invers.

B. Contoh-Contoh

Berikut ini beberapa contoh:

1. Sistem-sistem (ℝ, +), (ℚ, +), (ℤ, +) membentuk grup. Sistem (𝕎, +) tidak membentuk grup, tetapi masih membentuk monoid. Sistem (ℕ, +) tidak membentuk monoid, tetapi masih membentuk semigrup.

2. Sistem-sistem (ℝ, ·), (ℚ, ·), (ℤ, ·), (𝕎, ·), (ℕ, ·) membentuk monoid.

3. Sistem-sistem (ℝ\{0}, ·) dan (ℚ\{0}, ·) membentuk grup.

4. Sistem (ℤₙ, +) membentuk grup, sedangkan sistem (ℤₙ, ·) tidak membentuk grup tetapi masih membentuk monoid. Kegagalan operasi perkalian di ℤₙ membentuk grup adalah adanya kelas-kelas yang tidak koprim dengan n, yang mana tidak memiliki invers.

5. Misal didefinisikan cop(ℤₙ) ⊂ ℤₙ, yang mana hanya terdiri dari kelas-kelas yang koprim dengan n. Sistem (cop(ℤₙ), ·) membentuk grup.

2. Sistem Invers

Misal sistem (A, *) membentuk monoid, berikut ini hal-hal terkait invers:

A. Definisi Subset Berinvers

Didefinisikan A⁻ ⊆ A sebagai himpunan semua anggota A yang memiliki invers terhadap operasi *.

B. Elemen Identitas

Dapat dipastikan bahwa e ∈ A⁻.

Hal ini sangat mudah dimengerti karena elemen identitas pasti memiliki invers, yaitu dirinya sendiri.

C. Elemen Invers

(i) Jika a, b ∈ A⁻; maka a⁻¹, b⁻¹, dan ab ∈ A⁻.

(ii) (a⁻¹)⁻¹ = a dan (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹.

Perhatikan

(a⁻¹)⁻¹ = (a⁻¹)⁻¹e = (a⁻¹)⁻¹(a⁻¹a) = ((a⁻¹)⁻¹a⁻¹)a = ea = a.

(ab)⁻¹ = (ab)⁻¹e = (ab)⁻¹(aa⁻¹) = (ab)⁻¹(aea⁻¹) = (ab)⁻¹(a(bb⁻¹)a⁻¹) = ((ab)⁻¹ab)(b⁻¹a⁻¹) = e(b⁻¹a⁻¹) = b⁻¹a⁻¹.

D. Pembentukan Grup

Sistem (A⁻, *) membentuk grup.

3. Sifat-Sifat Sistem Asosiatif

Misal sistem (A, *) merupakan sistem asosiatif (semigrup), berikut ini hal-hal terkait:

A. Identitas dan Invers Satu Arah

Jika terdapat identitas satu arah dan invers satu arah, maka A membentuk grup.

Bukti:

Anggaplah terdapat identitas kiri dan invers kiri, untuk membuktikan grup, cukup dengan membuktikan bahwa identitas kiri tersebut juga merupakan identitas kanan dan invers kiri tersebut juga merupakan invers kanan.

Misal e merupakan identitas kiri.

Misal a sebarang anggota A dan b merupakan invers kirinya, berlaku ba = e.

Misal juga invers kiri dari b adalah c, berlaku cb = e.

Perhatikan

ab = e(ab) = (cb)(ab) = c(ba)b = ceb = c(eb) = cb = e. Ini berarti b juga invers kanan dari a.

Selanjutnya

ae = a(ba) = (ab)a = ea = a. Ini berarti e juga identitas kanan.

B. Ketunggalan Pra-operasi

A membentuk grup jika dan hanya jika (∀a, b ∈ A)(∃!p, q ∈ A). pa = b ∧ aq = b.

Bukti:

(i) Jika A membentuk grup maka (∀a, b ∈ A)(∃!p, q ∈ A). pa = b ∧ aq = b.

Ambil sebarang a, b ∈ A.

Pilih p = ba⁻¹, operasikan masing-masing ruas dengan a di kanan

pa = (ba⁻¹)a = b(a⁻¹a) = be = b, jelas bahwa p memenuhi.

Misal p' juga memenuhi, berlaku p'a = b = pa, operasikan masing-masing ruas dengan a⁻¹ di kanan

(p'a)a⁻¹ = (pa)a⁻¹

p'(aa⁻¹) = p(aa⁻¹)

p'e = pe

p' = p

Ini berarti p ada dan tunggal.

Selanjutnya pilih q = a⁻¹b, operasikan masing-masing ruas dengan a di kiri

aq = a(a⁻¹b) = (aa⁻¹)b = eb = b, jelas bahwa q memenuhi.

Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan bahwa q juga tunggal.

(ii) Jika (∀a, b ∈ A)(∃!p, q ∈ A). pa = b ∧ aq = b maka A membentuk grup.

Pilih a = c dan b = c, terdapat p, q ∈ A sehingga pc = c ∧ cq = c, ini berarti p merupakan identitas kiri dan q merupakan identitas kanan. Dikarenakan keberadaan masing-masing identitas satu arah mengharuskan keduanya sama, diharuskan p = q yang berarti merupakan identitas.

Selain itu, misalkan b identitas, mengakibatkan p merupakan invers kiri dari a dan q merupakan invers kanan dari a. Dikarenakan keberadaan masing-masing invers satu arah mengharuskan keduanya sama, diharuskan p = q yang berarti merupakan invers.

4. Hukum Kanselasi

A. Kanselasi Kiri

Misal G membentuk grup. Untuk setiap a, b, c ∈ A jika ca = cb maka a = b.

Bukti:

ca = cb, operasikan masing-masing ruas dengan c⁻¹ di kiri

c⁻¹(ca) = c⁻¹(cb)

(c⁻¹c)a = (c⁻¹c)b

ea = eb

a = b

B. Kanselasi Kanan

Misal G membentuk grup. Untuk setiap a, b, c ∈ A jika ac = bc maka a = b.

Bukti:

ac = bc, operasikan masing-masing ruas dengan c⁻¹ di kanan

(ac)c⁻¹ = (bc)c⁻¹

a(cc⁻¹) = b(cc⁻¹)

ae = be

a = b

C. Elemen Idempoten

Jika G membentuk grup, maka elemen yang idempoten hanyalah elemen identitas.

Bukti:

Misal a elemen idempoten, berlaku aa = a

Misal e elemen identitas, berlaku ae = a

Perhatikan

aa = a = ae, dengan hukum kanselasi, diperoleh

a = e.

Ini berarti elemen yang idempoten hanyalah elemen identitas.

5. Perpangkatan

A. Definisi Perpangkatan

Misal (G, *) merupakan grup. Misal a ∈ G dan n bilangan bulat, didefinisikan perpangkatan dari a sebagai berikut:

• aⁿ = e, untuk n = 0, sedangkan e merupakan elemen identitas.

• aⁿ = a * aⁿ⁻¹, untuk n bilangan bulat positif.

• aⁿ = (a⁻¹)⁻ⁿ, untuk n bilangan bulat negatif.

B. Sifat-Sifat Perpangkatan

• (a⁻¹)ⁿ = (aⁿ)⁻¹

• aᵐ⁺ⁿ = aᵐ * aⁿ

• aᵐⁿ = (aᵐ)ⁿ

6. Tabel Cayley

Jika (G, *) membentuk grup, maka berikut ini sifat-sifat tabel Cayley operasi *:

• Setiap sel berisikan anggota-anggota dari G (karena tertutup)

• Setiap anggota G muncul tepat satu kali di masing-masing baris dan kolom (karena ketunggalan praoperasi), termasuk elemen identitas (karena ada elemen invers)

• Ada tepat 1 kolom yang merupakan salinan dari kolom penunjuk dan tepat 1 baris yang merupakan salinan dari baris penunjuk (karena ada elemen identitas)

Catatan: Ketiga sifat ini merupakan syarat perlu untuk grup, belum menjadi syarat cukup. Untuk mengecek grup, masih harus dilakukan pengecekan sifat asosiatif yang mana ini akan sulit jika hanya mengecek dari tabel Cayley.