Homomorfisma Grup: Konsep Dasar

1. Homomorfisma Grup

A. Definisi Homomorfisma Grup dan Contoh-Contoh

Misalkan (G, ·) dan (H, ∗) dua grup. Fungsi φ dari G ke H kita namakan suatu homomorfisma grup jika φ mengawetkan operasi, yaitu memenuhi

(∀g₁, g₂ ∈ G). φ(g₁ · g₂) = φ(g₁) ∗ φ(g₂)

Berikut ini beberapa contoh:

1. Fungsi eksponensial f(x) = aˣ, dengan a ≠ 1 dan a > 0, merupakan homomorfisma grup dari (ℝ, +) ke (ℝ⁺, ·), dimana berlaku sifat keawetan berikut:

f(u + v) = aᵘ⁺ᵛ = aᵘaᵛ = f(u)·f(v)

2. Fungsi logaritma alam, yaitu ln(x) yang merupakan invers dari eˣ, merupakan homomorfisma grup dari (ℝ⁺, ·) ke (ℝ, +), dimana berlaku ln(uv) = u + v.

3. Fungsi τ dari (ℂ, +) ke (ℝ², +) dengan τ(c) = τ(a + bi) = (a, b), untuk setiap c ∈ ℂ merupakan homomorfisma grup.

4. Fungsi d dari (GL₂(ℝ), ·) ke (R\{0}, ·)  dengan d(A) = det(A) merupakan homomorfisma grup, dimana det(AB) = det(A)det(B).

B. Kasus Khusus Homomorfisma Grup

Berikut ini nama-nama kasus khusus homomorfisma grup:

• Homomorfisma yang memetakan ke grup yang sama disebut sebagai endomorfisma

• Homomorfisma yang surjektif disebut sebagai epimorfisma

• Homomorfisma yang injektif disebut sebagai monomorfisma

• Homomorfisma yang bijektif disebut sebagai isomorfisma

• Homomorfisma yang merupakan endomorfisma sekaligus isomorfisma disebut sebagai otomorfisma

C. Homomorfisma ke Grup Faktor

Diberikan grup G dan subgrup normal N di G. Fungsi φ dari G ke G/N dengan φ(a) = aN untuk setiap a ∈ G merupakan homomorfisma.

Bukti:

Ambil sebarang a, b ∈ G, diperoleh

φ(ab) = abN = (aN)(bN) = φ(a)φ(b).

Jadi, terbukti bahwa φ merupakan homomorfisma grup.

Selanjutnya, fungsi φ ini disebut sebagai homomorfisma natural atau kanonik.

D. Endomorfisma ke Pangkat Tertentu

Misal G grup Abel dan n bilangan bulat dan didefinisikan suatu fungsi φ : G → G dengan φ(a) = aⁿ, untuk setiap a ∈ G. Fungsi φ merupakan homomorfisma grup.

Bukti:

Diberikan grup Abelian G dan bilangan bulat n. Ambil sebarang a, b ∈ G, maka diperoleh

φ(ab) = (ab)ⁿ = ababab... = aaa...bbb... = aⁿbⁿ = φ(a)f(b).

Jadi, terbukti bahwa φ merupakan homomorfisma grup.

2. Sifat-Sifat Dasar Homomorfisma

Misal φ homomorfisma dari G ke H, berlaku:

a. Misal e elemen identitas di G dan f elemen identitas di H, berlaku φ(e) = f.

Bukti:

φ(e)φ(e) = φ(ee) = φ(e) = φ(e)f, dengan kanselasi diperoleh φ(e) = f.

b. (∀a ∈ G). φ(a⁻¹) = φ⁻¹(a)

Bukti:

Ambil sebarang a ∈ G, perhatikan:

φ(a⁻¹) = φ(a⁻¹)φ(e) = φ(a⁻¹)f = φ(a⁻¹)φ(a)φ⁻¹(a) = φ(a⁻¹a)φ⁻¹(a) = φ(e)φ⁻¹(a) = fφ⁻¹(a) = φ⁻¹(a)

c. (∀a ∈ G)(∀n ∈ ℤ). φ(aⁿ) = φⁿ(a)

Minfor mempersilahkan Sixtyfourians untuk membuktikannya menggunakan induksi matematika.

d. φ(G) merupakan subgrup dari H

Bukti:

Kita mengetahui bahwa φ(G) ⊆ H. Misalkan x, y ∈ φ(G). Maka x = φ(u) dan y = φ(v), untuk suatu u, v ∈ G. Perhatikan bahwa xy⁻¹ = φ(u)[φ(v)]⁻¹ = φ(u)φ(v⁻¹) = φ(uv⁻¹) ∈ φ(G). Ini memberikan bukti bahwa φ(G) ≤ H.

3. Lebih Lanjut Sifat-Sifat Homomorfisma

A. Keterbagian Order

Diberikan homomorfisma grup φ : G → H. Jika a ∈ G₁ dengan order o(a) = n, maka order φ(a) membagi habis n.

Bukti. Ambil sebarang a ∈ G₁, diperoleh

(φ(a))ⁿ = φ(aⁿ) = φ(e) = f.

Akibatnya order φ(a) membagi habis n.

B. Keawetan Sifat Komutatif

Jika G grup Abel, maka φ(G) juga grup Abel.

Misalkan G grup abel dan u, v ∈ φ(G). Maka u = φ(x), v = φ(y), untuk suatu x, y ∈ G. Perhatikan bahwa

uv = φ(x)φ(y) = φ(xy) = φ(yx) = φ(y)φ(x) = vu.

C. Keawetan Grup Siklis

Jika G grup siklis, maka φ(G) juga grup siklis.

Bukti:

Misalkan G grup siklis dan G = 〈g〉.

Misalkan u ∈ φ(G). Maka u = φ(a), untuk suatu a ∈ G. Misalkan a = gᵏ, untuk suatu k ∈ ℤ. Kita peroleh 

u = φ(a) = φ(gᵏ) = [φ(g)]ᵏ ∈ 〈φ(g)〉.

D. Keawetan Subgrup

Misal φ homomorfisma grup dari G ke H. Jika U ≤ G, maka φ(U) ≤ H.

Bukti:

Misalkan s, t ∈ φ(U). Maka terdapat u, v ∈ U sehingga s = φ(u), t = φ(v). Dengan menggunakan definisi homomorfisma, kita peroleh st = φ(u)φ(v) = φ(uv), sehingga st ∈ φ(U).

Kemudian, s⁻¹ = φ(u)⁻¹ = φ(u⁻¹). Karena u ∈ U dan U ≤ G, maka u⁻¹ ∈ U. Akibatnya s⁻¹ ∈ φ(U). Karena φ(U) ⊆ H, kita peroleh φ(U) ≤ H.

E. Keawetan Subgrup Normal

Misal φ homomorfisma grup dari G ke H. Jika U ◁ G, maka φ(U) ◁ H.

Bukti:

U ◁ G, jelas bahwa U ≤ G, sehingga φ(U) ≤ H.

Selanjutnya ambil sebarang h ∈ H.

Elemen di dalam hφ(U)h⁻¹ berbentuk hah⁻¹ dengan a ∈ φ(U). Artinya terdapat q ∈ U sehingga φ(q) = a.

Selain itu karena φ epimorfisma, terdapat p ∈ U sehingga φ(p) = h. Akibatnya

hqh⁻¹ = φ(p)φ(q)φ(p)⁻¹ = φ(p)φ(q)φ(p⁻¹) = φ(pqp⁻¹).

Jadi terdapat elemen pqp⁻¹ ∈ U sehingga φ(pqp⁻¹) = hah⁻¹, atau dengan kata lain hah⁻¹ ∈ φ(U). Terbukti φ(U) merupakan subgrup normal di H.

F. Keawetan Umum Subgrup Normal

Misalkan G, H grup dan φ suatu homomorfisma dari G ke H. Jika N ◁ G, maka φ(N) ◁ φ(G).

Bukti:

Misalkan N ◁ G. Misalkan u ∈ φ(N) dan v ∈ φ(G). Maka terdapat n ∈ N dan g ∈ G yang memenuhi u = φ(n), v = φ(g). Dengan menggunakan sifat-sifat homomorfisma, kita peroleh vuv⁻¹ = φ(g)φ(n)φ(g)⁻¹ = φ(g)φ(n)φ(g⁻¹) = φ(gng⁻¹).

Karena N ◁ G, maka gng⁻¹ ∈ N. Dengan demikian vuv⁻¹ = φ(gng⁻¹) ∈ φ(N). Jadi φ(N) ◁ φ(G).

G. Endomorfisma yang Memetakan ke Invers

Diberikan grup G dan didefinisikan suatu fungsi φ : G → G dengan φ(a) = a⁻¹, untuk setiap a ∈ G. Fungsi φ merupakan homomorfisma grup jika dan hanya jika G merupakan grup Abelian.

Bukti:

• (⇒). Diketahui φ homomorfisma grup. Ambil sebarang a, b ∈ G. Karena φ homomorfisma maka diperoleh φ(ab) = φ(a)φ(b) sehingga (ab)⁻¹ = a⁻¹b⁻¹. Padahal menurut definisi (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹. Dengan demikian diperoleh a⁻¹b⁻¹ = b⁻¹a⁻¹ atau (ba)⁻¹ = (ab)⁻¹. Akibatnya, dari sini diperoleh ab = ba. Jadi terbukti bahwa G merupakan grup Abelian.

• (⇐). Diketahui G merupakan grup Abelian. Ambil sebarang a, b ∈ G, karena G grup Abelian maka diperoleh φ(ab) = (ab)⁻¹ = b⁻¹a⁻¹ = a⁻¹b⁻¹ = φ(a)φ(b).

Jadi, terbukti bahwa φ merupakan homomorfisma grup.

4. Kasus Khusus Homomorfisma dan Isomorfisitas

A. Kasus Khusus Homomorfisma Grup

Berikut ini nama-nama kasus khusus homomorfisma grup:

• Homomorfisma yang memetakan ke grup yang sama disebut sebagai endomorfisma

• Homomorfisma yang surjektif disebut sebagai epimorfisma

• Homomorfisma yang injektif disebut sebagai monomorfisma

• Homomorfisma yang bijektif disebut sebagai isomorfisma

• Homomorfisma yang merupakan endomorfisma sekaligus isomorfisma disebut sebagai otomorfisma

Berikut ini beberapa contoh kasus khusus homomorfisma:

1. Fungsi eksponensial f(x) = aˣ, dengan a ≠ 1 dan a > 0, merupakan isomorfisma dari (ℝ, +) ke (ℝ⁺, ·).

2. Fungsi d dari (GL₂(ℝ), ·) ke (R\{0}, ·)  dengan d(A) = det(A) merupakan epimorfisma, tetapi bukan monomorfisma.

3. Fungsi f(x) = 2ˣ dari (ℤ, +) ke (ℚ⁺, ·) merupakan monomorfisma, tetapi bukan epimorfisma.

4. Fungsi f(x) = 5x dari (ℝ, +) ke (ℝ, +) merupakan otomorfisma, karena merupakan endomorfisma sekaligus isomorfisma.

B. Grup Isomorfik

Kedua grup G dan H dikatakan isomorfik, ditulis G ≅ H, jika terdapat isomorfisma dari G ke H.

5. Komposisi Homomorfisma

A. Komposisi Endomorfisma

Komposisi sesama endomorfisma menghasilkan endomorfisma.

Bukti:

Misal φ₁ dan φ₂ endomorfisma di G, berlaku φ₁(G) ≤ G dan φ₂(G) ≤ G, sehingga

(φ₂ ∘ φ₁)(G) = φ₂(φ₁(G)) ≤ φ₁(G) ≤ G. Ini berarti φ₂ ∘ φ₁ endomorfisma di G.

B. Komposisi Epimorfisma

Komposisi sesama epimorfisma menghasilkan epimorfisma.

Bukti:

Misal φ₁ epimorfisma dari G ke H, berlaku φ₁(G) = H.

Misal φ₂ epimorfisma dari H ke K, berlaku φ₂(H) = K.

Dari keduanya diperoleh:

(φ₂ ∘ φ₁)(G) = φ₂(φ₁(G)) = φ₂(H) = K. Ini berarti φ₂ ∘ φ₁ merupakan epimorfisma dari G ke K.

C. Komposisi Monomorfisma

Komposisi sesama monomorfisma menghasilkan monomorfisma.

Bukti:

Misal φ₁ monomorfisma dari G ke H, berlaku (∀g₁, g₂ ∈ G). φ₁(g₁) = φ₁(g₂) ⇒ g₁ = g₂

Misal φ₂ monomorfisma dari H ke K, berlaku (∀h₁, h₂ ∈ H). φ₂(h₁) = φ₂(h₂) ⇒ h₁ = h₂

Dari keduanya diperoleh:

(∀g₁, g₂ ∈ G). (φ₂ ∘ φ₁)(g₁) = (φ₂ ∘ φ₁)(g₂) ⇒ φ₂(φ₁(g₁)) = φ₂(φ₁(g₂)) ⇒ φ₁(g₁) = φ₁(g₂) ⇒ g₁ = g₂. Ini berarti φ₂ ∘ φ₁ merupakan monomorfisma dari G ke K.

D. Komposisi Isomorfisma

Komposisi sesama isomorfisma menghasilkan isomorfisma

Bukti:

φ₁ isomorfisma, berarti φ₁ epimorfisma sekaligus monomorfisma.

φ₂ isomorfisma, berarti φ₂ epimorfisma sekaligus monomorfisma.

φ₁ dan φ₂ epimorfisma, maka φ₂ ∘ φ₁ epimorfisma.

φ₁ dan φ₂ monomorfisma, maka φ₂ ∘ φ₁ monomorfisma.

φ₂ ∘ φ₁ merupakan epimorfisma sekaligus monomorfisma, berarti φ₂ ∘ φ₁ isomorfisma.

E. Komposisi Otomorfisma

Komposisi sesama otomorfisma menghasilkan otomorfisma.

Bukti:

φ₁ otomorfisma, berarti φ₁ isomorfisma sekaligus endomorfisma.

φ₂ otomorfisma, berarti φ₂ isomorfisma sekaligus endomorfisma.

φ₁ dan φ₂ isomorfisma, maka φ₂ ∘ φ₁ isomorfisma.

φ₁ dan φ₂ endomorfisma, maka φ₂ ∘ φ₁ endomorfisma.

φ₂ ∘ φ₁ merupakan isomorfisma sekaligus endomorfisma, berarti φ₂ ∘ φ₁ otomorfisma.

6. Kernel (Inti) dan Range (Bayangan)

A. Definisi Kernel

Himpunan semua elemen G yang dipetakan oleh φ ke identitas H mempunyai arti penting dalam studi grup. Kita memberinya suatu nama khusus, yaitu kernel atau inti dari φ, dan kita tuliskan Ker(φ) atau Inti(φ). Jadi, Inti(φ) = {a ∈ G : φ(a) = f}.

B. Definisi Range

Himpunan semua elemen H yang memiliki prapeta oleh φ di G disebut sebagai range atau bayangan dari φ, dituliskan Range(φ) atau Im(φ). Jadi, Range(φ) = {φ(a) ∈ H : a ∈ G}.

C. Kasus Khusus Homomorfisma menurut Range

• Fungsi φ di G merupakan endomorfisma jika dan hanya jika φ(G) ≤ G.

• Fungsi φ dari G ke H merupakan epimorfisma jika dan hanya jika φ(G) = H.

• Fungsi φ merupakan monomorfisma jika dan hanya jika G ≅ φ(G).

D. Kesubgrupan Kernel

Himpunan Ker(φ) adalah subgrup normal dari G.

Bukti:

Dari definisinya kita peroleh bahwa Inti(φ) ⊆ G.

Misalkan a, b ∈ Ker(φ). Maka φ(a) = f = φ(b).

Perhatikan bahwa φ(ab⁻¹) = φ(a)φ(b⁻¹) = φ(a)[φ(b)]⁻¹ = ff⁻¹ = f. Jadi ab⁻¹ ∈ Inti(φ). Ini melengkapkan bukti bahwa Ker(φ) subgrup dari G.

Selanjutnya ambil sebarang elemen g ∈ G dan perhatikan himpunan gKer(φ)g⁻¹.

Untuk sebarang elemen b ∈ gKer(φ)g⁻¹ terdapat a ∈ Ker(φ) sehingga b = gag⁻¹. Selanjutnya

φ(b) = φ(gag⁻¹) = φ(g)φ(a)φ(g⁻¹) = φ(g)fφ(g⁻¹) = φ(g)φ(g⁻¹) = φ(g)(φ(g))⁻¹ = f.

Jadi terbukti b ∈ Ker(φ) yang berarti juga terbukti Ker(φ) merupakan subgrup normal.

Tambahan:

Karena Ker(φ) merupakan subgrup normal, dapat dibentuk grup faktor G/Ker(φ). Selanjutnya fungsi ψ dari G ke G/Ker(φ) dengan ψ(a) = aKer(φ) untuk setiap a ∈ G merupakan homomorfisma.

E. Kesubgrupan Range

Diberikan homomorfisma grup φ : G → H. Bayangan φ yaitu Im(φ) merupakan subgrup di H.

Bukti:

Ambil sebarang elemen a, b ∈ Im(φ), artinya terdapat s, t ∈ G sehingga φ(s) = a dan φ(t) = b. Lebih lanjut diperoleh b⁻¹ = (φ(t))⁻¹ = φ(t⁻¹). Karena t ∈ G, invers t yaitu t⁻¹ juga berada di G. Lebih lanjut disimpulkan bahwa

ab⁻¹ = φ(s)φ(t⁻¹) = φ(st⁻¹).

Jelas bahwa st⁻¹ ∈ G, sehingga terbukti ab⁻¹ ∈ Im(φ) atau dengan kata lain Im(φ) adalah subgrup di H.

F. Hubungan Kernel dengan Monomorfisma

Homomorfisma φ adalah monomorfisma jika dan hanya jika Inti(φ) = {e}.

Bukti:

Misalkan φ monomorfisma dan a ∈ Inti(φ). Maka φ(a) = f = φ(e). Karena φ injektif, maka a = e. Jadi Inti(φ) = {e}.

Sebaliknya, misalkan Inti(φ) = {e} dan a, b ∈ G memenuhi φ(a) = φ(b). Maka φ(ab⁻¹) = φ(a)[φ(b)]⁻¹ = φ(a)[φ(a)]⁻¹ = f. Jadi ab⁻¹ ∈ Inti(φ) = {e}, dan dengan demikian ab⁻¹ = e, yang berarti a = b.

Jadi φ injektif.

G. Kernel dari Homomorfisma ke Grup Faktor

Diberikan grup G dan subgrup normal N di G dan fungsi φ dari G ke G/N dengan φ(a) = aN untuk setiap a ∈ G.

Ingat kembali bahwa elemen identitas di G/N adalah N, sehingga

Ker(φ) = {g ∈ G | φ(g) ∈ N} = {g ∈ G | gN = n, ∃n ∈ N} = {g ∈ G | gn' = n, ∃n, n' ∈ N}

= {g ∈ G | g = n", untuk suatu n" ∈ N} = {g ∈ G | g ∈ N} = N.

Jadi, Ker(φ) = N.

H. Kenormalan Range

Diberikan homomorfisma grup φ : G → H. Jika H grup Abel, maka Im(φ) merupakan subgrup normal di H.

Bukti:

Telah dibuktikan bahwa Im(φ) merupakan subgrup dari H. Dikarenakan H grup Abel, semua subgrupnya merupakan subgrup normal, termasuk Im(φ).