Komposisi Fungsi Sebagai Operasi

1. Himpunan Fungsi

Misal A dan B keduanya himpunan tak kosong. Kita simbolkan himpunan semua fungsi yang memetakan dari A ke B sebagai B^A. Ini berarti α ∈ B^A ekivalen dengan α: A → B.

Selanjutnya jika α ∈ B^A dan U ⊆ A, kita simbolkan himpunan semua peta dari U oleh α sebagai α(U). Jadi, kita tuliskan α(U) = {α(x) : x ∈ U}.

2. Fungsi Surjektif, Injektif, dan Bijektif

A. Fungsi Surjektif / Onto (pada)

Fungsi α ∈ B^A surjektif artinya (∀b ∈ B)(∃a ∈ A) ∋ α(a) = b.

B. Fungsi Injektif / Into (satu-satu)

Fungsi α ∈ B^A injektif artinya (∀a₁, a₂ ∈ A). α(a₁) = α(a₂) → a₁ = a₂.

C. Fungsi Bijektif (korespondensi satu-satu)

Fungsi bijektif adalah fungsi yang surjektif dan injektif sekaligus.

Selanjutnya untuk A dan B himpunan berhingga, berlaku poin-poin berikut:

D. Keberadaan Fungsi Surjektif

Diantara fungsi-fungsi di B^A ada yang surjektif jika dan hanya jika |A| ≥ |B|.

Bukti:

(i) Jika ada fungsi surjektif di B^A maka |A| ≥ |B|

Kontraposisi: Jika |A| < |B| maka semua fungsi di B^A tidak surjektif

Ambil sebarang α ∈ B^A.

α merupakan fungsi, berarti setiap anggota A memiliki peta tunggal.

|A| < |B| berakibat adanya anggota B yang tidak memiliki prapeta di A.

Ini berarti α tidak surjektif.

Jadi, jika |A| < |B| maka semua fungsi di B^A tidak surjektif. Kontraposisinya adalah jika ada fungsi surjektif di B^A maka |A| ≥ |B|.

(ii) Jika |A| ≥ |B| maka di B^A ada fungsi surjektif

Diberikan |A| ≥ |B|, kita bisa mengkonstruksi fungsi agar setiap anggota B memiliki prapeta di A, yang berarti fungsi tersebut surjektif.

E. Keberadaan Fungsi Injektif

Diantara fungsi-fungsi di B^A ada yang injektif jika dan hanya jika |A| ≤ |B|.

(i) Jika ada fungsi injektif di B^A maka |A| ≤ |B|

Kontraposisi: Jika |A| > |B| maka semua fungsi di B^A tidak injektif

Ambil sebarang α ∈ B^A.

α merupakan fungsi, berarti setiap anggota A memiliki peta.

Dikarenakan |A| > |B|, ada anggota B yang memiliki prapeta tidak tunggal di A.

Ini berarti α tidak injektif.

Jadi, jika |A| > |B| maka semua fungsi di B^A tidak injektif. Kontraposisinya adalah jika ada fungsi injektif di B^A maka |A| ≤ |B|.

(ii) Jika |A| ≤ |B| maka di B^A ada fungsi injektif

Diberikan |A| ≤ |B|, kita bisa mengkonstruksi fungsi agar tidak ada anggota B yang memiliki prapeta tidak tunggal di A, yang berarti fungsi tersebut injektif.

F. Diantara fungsi-fungsi di B^A ada yang bijektif jika dan hanya jika |A| = |B|.

Hal ini berlaku menurut poin (D) dan poin (E).

G. Surjektif dan Injektif Bersamaan

Misal A dan B keduanya himpunan berhingga dengan |A| = |B|. Fungsi α ∈ B^A surjektif dan injektif bersamaan.

Bukti:

Misalkan |A| = |B| = n, A = {s₁, s₂, ..., sₙ}.

Misalkan α surjektif. Maka α(A) = B. Dengan demikian |α(A)| = |B| = |A|. Ini mengharuskan α(s₁), α(s₂), ..., α(sₙ) semuanya berbeda, sehingga α injektif.

Misalkan α injektif. Maka |α(A)| = |B| = |A|. Akan tetapi α(A) ⊆ B. Andaikan α(A) ≠ B. Maka terdapat t ∈ B, tetapi t ∉ α(A) Akibatnya α(A) ⊆ B\{t}, sehingga |B| = |α(X)| ≤ |B\{t}| = |B| – 1, kontradiksi.

Jadi haruslah α(A) = B yaitu α surjektif.

Kesimpulan: fungsi α injektif dan surjektif bersamaan.

3. Komposisi Fungsi

A. Definisi Komposisi Fungsi

Misal A, B, C ketiganya himpunan tak kosong; misalkan juga α ∈ B^A dan β ∈ C^B. Komposisi α dan β adalah fungsi dari A ke C yang memetakan setiap elemen a ∈ A ke elemen β(α(a)) ∈ C.

Komposisi α dan β dituliskan β ∘ α, dengan β ∘ α ∈ C^A.

B. Komposisi Fungsi Surjektif

Komposisi sesama fungsi surjektif menghasilkan fungsi surjektif.

Bukti:

Misal diberikan tiga himpunan A, B, C; dan dua fungsi surjektif α ∈ B^A dan β ∈ C^B.

β ∈ C^B surjektif berarti (∀c ∈ C)(∃b ∈ B) ∋ β(b) = c.

α ∈ B^A surjektif berarti (∀b ∈ B)(∃a ∈ A) ∋ α(a) = b.

Keduanya memberikan c = β(b) = β(α(a)) = (β ∘ α)(a). Jadi, β ∘ α surjektif.

C. Komposisi Fungsi Injektif

Komposisi sesama fungsi injektif menghasilkan fungsi injektif.

Bukti:

Misal diberikan tiga himpunan A, B, C; dan dua fungsi surjektif α ∈ B^A dan β ∈ C^B.

β ∈ C^B injektif berarti (∀b₁, b₂ ∈ B). β(b₁) = β(b₂) → b₁ = b₂.

Misal α(a₁) = b₁, α(a₂) = b₂, diperoleh

β(α(a₁)) = β(α(a₂)) → α(a₁) = α(a₂)

≡ (β ∘ α)(a₁) = (β ∘ α)(a₂) → α(a₁) = α(a₂)

α ∈ B^A injektif berarti (∀a₁, a₂ ∈ A). α(a₁) = α(a₂) → a₁ = a₂.

∴ (β ∘ α)(a₁) = (β ∘ α)(a₂) → a₁ = a₂

Dengan kata lain, β ∘ α injektif.

D. Komposisi Fungsi Bijektif

Komposisi sesama fungsi bijektif menghasilkan fungsi bijektif.

Bukti:

Diberikan α ∈ B^A dan β ∈ C^B keduanya fungsi bijektif, berarti surjektif dan injektif sekaligus.

α surjektif dan β surjektif, maka β ∘ α surjektif

α injektif dan β injektif, maka β ∘ α injektif

Keduanya memberikan β ∘ α surjektif dan injektif sekaligus, dengan kata lain β ∘ α bijektif.

4. Sifat Asosiatif dan Komutatif

A. Komposisi Fungsi Bersifat Asosiatif

Perhatikan bahwa

(α ∘ (β ∘ γ))(a) = α((β ∘ γ)(a)) = α(β(γ(a))) = (α ∘ β)(γ(a)) = ((α ∘ β) ∘ (γ))(a)

Jadi, komposisi fungsi bersifat asosiatif

B. Komposisi Fungsi Tidak Komutatif

Misal dipilih α(x) = 2x + 1 dan β(x) = 3x + 5

(α ∘ β)(x) = α(β(x)) = 2(3x + 5) + 1 = 6x + 11

(β ∘ α)(x) = β(α(x)) = 3(2x + 1) + 5 = 6x + 8

Ini berarti (α ∘ β) ≠ (β ∘ α). Jadi, komposisi fungsi tidak komutatif.

5. Operator Uner

A. Definisi Operator Uner

Misal A himpunan tak kosong dan fungsi α ∈ A^A, dalam hal ini α dikatakan operator uner pada A.

Dengan kata lain, operator uner adalah fungsi yang memetakan dari suatu himpunan ke himpunan itu sendiri.

B. Fungsi Identitas

Misal A himpunan tak kosong. Fungsi ι ∈ A^A yang memenuhi (∀a ∈ A). ι(a) = a disebut sebagai fungsi identitas pada himpunan A.

Fungsi ι ini merupakan elemen identitas operasi komposisi fungsi di A^A.

C. Keberadaan Invers Kiri

Fungsi α ∈ A^A memiliki invers kiri jika dan hanya jika α injektif.

D. Keberadaan Invers Kanan

Fungsi α ∈ A^A memiliki invers kanan jika dan hanya jika α surjektif.

E. Keberadaan Invers

Fungsi α ∈ A^A memiliki invers jika dan hanya jika α bijektif.

F. Himpunan Simetri

Himpunan simetri dari A adalah himpunan semua fungsi di A^A yang memiliki invers, dituliskan Sim(A). Jadi, Sim(A) = {α ∈ A^A : α bijektif}.