Likelihood Ratio Test untuk Uji Hipotesis Terbaik

1. Definisi Daerah Kritis Terbaik

Misal C ⊂ Ω, dimana C daerah kritis dan Ω ruang variabel random. Berikut ini definisi dari daerah kritis terbaik:

A. Daerah kritis terbaik diketahui tingkat signifikansi

Misal diketahui tingkat signifikansi dari suatu uji hipotesis adalah α, dituliskan

α = P[(x₁, x₂, ..., xₙ) ∈ C : H₀].

C merupakan daerah kritis terbaik jika dan hanya jika:

(∀A ⊂ Ω). P[(x₁, x₂, ..., xₙ) ∈ C : H₁] ≥ P[(x₁, x₂, ..., xₙ) ∈ A : H₁].

Dengan kata lain, daerah kritis terbaik (dari uji hipotesis yang diketahui tingkat signifikansinya) adalah yang memiliki kuasa uji terbesar.

B. Daerah kritis terbaik diketahui kuasa uji

Misal diketahui kuasa uji dari suatu uji hipotesis adalah 1 – β, dituliskan

1 – β = P[(x₁, x₂, ..., xₙ) ∈ C : H₁].

C merupakan daerah kritis terbaik jika dan hanya jika:

(∀A ⊂ Ω). P[(x₁, x₂, ..., xₙ) ∈ C : H₀] ≤ P[(x₁, x₂, ..., xₙ) ∈ A : H₀].

Dengan kata lain, daerah kritis terbaik (dari uji hipotesis yang diketahui kuasa ujinya) adalah yang memiliki tingkat signifikansi terkecil.

2. Likelihood Ratio

A. Definisi

Misalkan ω, ω' ⊂ Ω, akan dilakukan uji hipotesis

H₀: θ ∈ ω vs H₁: θ ∈ ω'

berikut ini definisi dari likelihood ratio:

λ(x) = L(ω)/L(Ω)

dimana L(ω) dan L(Ω) masing-masing merupakan nilai maksimum dari fungsi likelihood untuk θ pada ω dan Ω.

Daerah kritis likelihood ratio test dituliskan

λ(x) ≤ k; dimana 0 < k < 1

C = {(x₁, x₂, ..., xₙ): λ(x) ≤ k}

B. Teorema

Daerah kritis likelihood ratio test merupakan daerah kritis terbaik.

Catatan:

Berbeda dengan uji hipotesis Neyman-Pearson, perlu diketahui bahwa uji hipotesis Likelihood Ratio Test ini bisa digunakan untuk uji hipotesis komposit.

Contoh Soal

1. Misal X₁, X₂, ..., Xₙ sampel random dari VR X~N(⅗θ + 1, 4). Akan dilakukan uji hipotesis

H₀: θ ≥ 5 vs H₁: θ < 5

1a. Tentukan daerah kritis terbaik untuk α = 5%, n = 100

Mula-mula, tentukan fungsi likelihood

gunakan metode Maximum Likelihood untuk menentukan estimator dari θ

Tentukan ruang parameter untuk H₀ dan H₁

ω = {θ | θ ≥ 5}, Ω = ℝ.

tentukan fungsi maksimum likelihood untuk masing-masing

tentukan likelihood ratio

sehingga berikut ini daerah kritisnya

selanjutnya perhatikan

tentukan titik kritis

karena pihak kiri

jadi, daerah kritisnya adalah C = {(x₁, x₂, ..., xₙ): (x̄ – 4)² ≥ 0,1082}.

1b. Apa kesimpulannya jika dari sampel random diperoleh nilai rata-rata adalah 3,5?

x̄ = 3,5 → (x̄ – 4)² = 0,25 > 0,1082. Ini berarti (x₁, x₂, ..., xₙ) ∈ C, sehingga H₀ ditolak. Jadi, θ < 5.

2. Misal X₁, X₂, ..., Xₙ sampel random dari VR X~N(3θ/2, 16). Akan dilakukan uji hipotesis

H₀: θ ≤ 10 vs H₁: θ > 10

2a. Tentukan daerah kritis terbaik untuk α = 5%, n = 100

Mula-mula, tentukan fungsi likelihood

gunakan metode Maximum Likelihood untuk menentukan θ̂.

tentukan ruang parameter untuk H₀ dan H₁

ω = {θ | θ ≤ 10}; Ω = ℝ.

tentukan fungsi maksimum likelihood untuk masing-masing

tentukan likelihood ratio untuk menentukan daerah kritis

diperoleh daerah kritis:

tentukan pivot

tentukan titik kritis

karena pihak kanan

masukkan n = 100

jadi, daerah kritisnya adalah C = {(x₁, x₂, ..., xₙ): (x̄ – 15)² ≥ 0,432887}.

2b. Jika tingkat signifikan harus diturunkan menjadi 2%, berapa minimal banyak sampel?

Jadi, minimal dibutuhkan sebanyak 156 sampel.
2c. Apa kesimpulannya, jika dari sampel random diperoleh nilai rata-rata adalah 16?

x̄ = 16 → (x̄ – 15)² = 1 > 0,433. Ini berarti (x₁, x₂, ..., xₙ) ∈ C, sehingga H₀ ditolak. Jadi, θ > 10.

3. Misal X₁, X₂, ..., Xₙ sampel random dari VR X~Exp(θ). Akan dilakukan uji hipotesis

H₀: θ = 2 vs H₁: θ ≠ 2

Tentukan daerah kritis terbaik untuk α = 1%, n = 25.

Mula-mula, tentukan fungsi likelihood

gunakan metode Maximum Likelihood untuk menentukan estimator dari θ.

tentukan ruang parameter untuk H₀ dan H₁

ω = {θ | θ = 2}; Ω = ℝ.

tentukan fungsi maksimum likelihood untuk masing-masing

tentukan likelihood ratio untuk menentukan daerah kritis

diperoleh daerah kritis C = {(x₁, x₂, ..., xₙ): x̄ ≤ C₁ ∨ x̄ ≥ C₂}.

Tentukan pivot

perhatikan

masukkan n = 25 untuk menentukan C₁ dan ≥ C₂

Jadi, daerah kritisnya adalah C = {(x₁, x₂, ..., xₙ): x̄ ≤ 1,12 ∨ x̄ ≥ 3,18}.