Operasi Biner (Teogrup)
1. Operasi Biner
Misal S himpunan tak kosong. Operasi biner pada S adalah fungsi yang memetakan dari S × S ke S. Dimana S × S = {(a, b): a, b ∈ S}.
Berikut ini contohnya:
a. Penjumlahan dan perkalian merupakan operasi biner pada ℕ, ℤ, ℚ, dan ℝ.
b. Pengurangan merupakan operasi biner pada ℤ, ℚ, dan ℝ; tetapi bukan operasi biner pada ℕ.
c. Pembagian merupakan operasi biner pada ℚ\{0} dan ℝ\{0}, tetapi bukan operasi biner pada ℚ dan ℝ.
d. Operasi komposisi fungsi pada himpunan semua fungsi merupakan operasi biner.
2. Tabel Cayley
Untuk himpunan S berhingga, terutama untuk S beranggota sedikit, hasil operasi dapat dinyatakan dalam tabel Cayley, yaitu suatu tabel untuk hasil operasi a * b dimana sel-sel pada kolom paling kiri sebagai a, sel-sel pada baris paling atas sebagai b, sedangkan sel-sel di dalam tabel sebagai a * b.
Sebagai contoh, berikut tabel Cayley untuk operasi penjumlahan modulo 5 pada ℤ₅:
|
|
0̅ |
1̅ |
2̅ |
3̅ |
4̅ |
|
0̅ |
0̅ |
1̅ |
2̅ |
3̅ |
4̅ |
|
1̅ |
1̅ |
2̅ |
3̅ |
4̅ |
0̅ |
|
2̅ |
2̅ |
3̅ |
4̅ |
0̅ |
1̅ |
|
3̅ |
3̅ |
4̅ |
0̅ |
1̅ |
2̅ |
|
4̅ |
4̅ |
0̅ |
1̅ |
2̅ |
3̅ |
|
|
0̅ |
1̅ |
2̅ |
3̅ |
4̅ |
|
0̅ |
0̅ |
4̅ |
3̅ |
2̅ |
1̅ |
|
1̅ |
1̅ |
0̅ |
4̅ |
3̅ |
2̅ |
|
2̅ |
2̅ |
1̅ |
0̅ |
4̅ |
3̅ |
|
3̅ |
3̅ |
2̅ |
1̅ |
0̅ |
4̅ |
|
4̅ |
4̅ |
3̅ |
2̅ |
1̅ |
0̅ |
3. Sifat Asosiatif
Operasi * pada S bersifat asosiatif jika berlaku (∀a, b, c ∈ S). (a*b)*c = a*(b*c).
Untuk operasi * yang bersifat asosiatif, kita akan dapat menuliskan a * b * c atau bahkan a₁a₂...*aₙ tanpa menimbulkan kerancuan atau keraguan tentang maknanya. Sifat asosiatif menyatakan bahwa dalam melakukan operasi lebih dari satu kali, urutan operasi tidak mempengaruhi hasil.
Berikut ini contohnya:
a. Operasi penjumlahan dan perkalian bersifat asosiatif pada ℕ, ℤ, ℚ, dan ℝ.
b. Operasi pengurangan tidak asosiatif pada ℤ, ℚ, dan ℝ.
c. Operasi pembagian tidak asosiatif pada ℚ\{0} dan ℝ\{0}.
d. Komposisi fungsi pada himpunan semua fungsi bersifat asosiatif.
e. Operasi gabungan dan irisan himpunan-himpunan yang semestanya sama bersifat asosiatif.
f. Operasi selisih himpunan tidak asosiatif.
4. Sifat Komutatif
Operasi * pada S bersifat asosiatif jika berlaku (∀a, b ∈ S). a * b = b * a.
Sifat komutatif menyatakan bahwa dalam melakukan satu operasi, urutan unsur tidak mempengaruhi hasil. Sifat komutatif operasi pada himpunan berhingga dapat dikenali pada tabel Cayley dengan memeriksa apakah tabel tersebut, sebagai matriks, simetri terhadap diagonal utamanya.
Berikut ini contohnya:
a. Operasi penjumlahan dan perkalian bersifat komutatif pada ℕ, ℤ, ℚ, dan ℝ.
b. Operasi pengurangan tidak komutatif pada ℤ, ℚ, dan ℝ.
c. Operasi pembagian tidak komutatif pada ℚ\{0} dan ℝ\{0}.
d. Komposisi fungsi pada himpunan semua fungsi tidak komutatif.
e. Operasi gabungan dan irisan himpunan-himpunan yang semestanya sama bersifat komutatif.
f. Operasi selisih himpunan tidak komutatif.
g. Operasi penjumlahan matriks persegi bersifat komutatif, tetapi perkaliannya tidak komutatif.
5. Elemen Identitas
Misalkan * suatu operasi pada S. Misal dipilih e ∈ S untuk sebarang a ∈ S:
A. Identitas Satu Arah
e ∈ S dinamakan identitas kiri operasi * jika berlaku e * a = a, dan dinamakan identitas kanan operasi * jika berlaku a * e = a.
Terkadang suatu elemen hanya menjadi identitas untuk satu arah (kiri atau kanan), tidak keduanya. Sebagai contoh:
1. Bilangan 0 merupakan identitas kanan operasi pengurangan pada ℤ, ℚ, dan ℝ; tetapi bukan identitas kanan. Lebih lanjut bahwa operasi pengurangan pada ℤ, ℚ, dan ℝ tidak memiliki identitas kiri.
2. Bilangan 1 merupakan identitas kanan operasi pembagian pada ℚ dan ℝ; tetapi bukan identitas kanan. Lebih lanjut bahwa operasi pembagian pada ℚ dan ℝ tidak memiliki identitas kiri.
B. Identitas Dua Arah
e ∈ S dinamakan identitas operasi * jika berlaku a * e = a = e * a. Dengan kata lain, elemen e dinamakan elemen identitas jika merupakan identitas kiri sekaligus identitas kanan.
Sebagai contoh:
1. Bilangan 0 merupakan identitas operasi penjumlahan pada ℤ, ℚ, dan ℝ. Adapun penjumlahan pada ℕ tidak memiliki identitas.
2. Bilangan 1 merupakan identitas operasi perkalian pada ℕ, ℤ, ℚ, dan ℝ.
3. Fungsi identitas merupakan identitas operasi komposisi fungsi pada himpunan semua fungsi.
4. Matriks identitas merupakan identitas perkalian matriks pada himpunan semua matriks persegi yang seukuran dengannya.
C. Ketunggalan Elemen Identitas
Elemen identitas bersifat tunggal.
Bukti:
Misal e dan f keduanya merupakan elemen identitas operasi *.
e merupakan identitas, maka e * f = f
f merupakan identitas, maka e * f = e
Jadi, f = e * f = e. Oleh karena itu, elemen identitas operasi * tunggal.
D. Kesamaan Identitas Kiri dan Kanan
Misal e ∈ S identitas kiri operasi * dan f ∈ S identitas kanan operasi *, maka e = f.
Bukti:
e merupakan identitas kanan, maka f * e = f
f merupakan identitas kiri, maka f * e = e
Jadi, f = f * e = e.
6. Elemen Invers
A. Definisi Invers
Misalkan operasi * pada S dengan elemen identitas e. Elemen a ∈ S dikatakan memiliki invers jika terdapat b ∈ S sehingga a * b = e = b * a.
Dikatakan bahwa b merupakan invers dari a, juga dapat dikatakan a merupakan invers dari b.
Jelas bahwa invers dari elemen identitas adalah dirinya sendiri.
Contoh:
1. Invers dari a terhadap operasi penjumlahan pada ℤ, ℚ, dan ℝ adalah –a. Adapun operasi penjumlahan pada ℕ tidak memiliki invers.
2. Invers dari a terhadap operasi perkalian pada ℚ\{0}, dan ℝ\{0} adalah 1/a. Adapun operasi perkalian pada ℤ dan ℕ tidak memiliki invers.
3. Fungsi bijektif memiliki invers terhadap operasi komposisi fungsi. Adapun fungsi yang tidak bijektif tidak memiliki invers terhadap operasi komposisi fungsi karena inversnya bukan fungsi.
4. Invers dari matriks A terhadap operasi penjumlahan matriks adalah (–1)·A.
5. Matriks A dengan det(A) = 0 tidak memiliki invers terhadap operasi perkalian matriks.
B. Ketunggalan Operasi Asosiatif
Misalkan operasi * pada S dengan elemen identitas e dan a ∈ S memiliki invers. Jika * bersifat asosiatif, maka invers dari a tunggal.
Bukti:
Misal b dan c keduanya invers dari a terhadap *. Berlaku
b = b * e = b * (a * c), karena asosiatif
= (b * a) * c = e * c = c.
Jadi, b = c. Oleh karena itu elemen invers bersifat tunggal.
C. Invers Satu Arah
Misalkan operasi * pada S dengan elemen identitas e. Invers kanan dari a ∈ S adalah b ∈ S yang memenuhi a * b = e dan invers kiri dari a ∈ S adalah c ∈ S yang memenuhi c * a = e.
D. Kesamaan Invers Kiri dan Invers Kanan
Diberikan operasi * bersifat asosiatif. Misal b ∈ S invers kiri dari a terhadap operasi * dan c ∈ S invers kanannya, maka b = c.
Bukti:
Diberikan b * a = e dan a * c = e.
b = b * e = b * (a * c) = (b * a) * c = e * c = c
Jadi, b = c.
7. Ketertutupan
Misal * suatu operasi pada S, dan himpunan tak kosong S' ⊆ S. Operasi * dikatakan tertutup pada S' jika (∀(a, b) ∈ S' × S'). a * b ∈ S'. Dalam hal ini, himpunan S' dikatakan tertutup terhadap operasi *.
Definisi ketertutupan boleh juga dinyatakan *(S' × S') ⊆ S'.
Boleh juga dinyatakan (∀a, b ∈ S'). a * b ∈ S'.
Sebaliknya, jika definisi ketertutupan tidak dipenuhi, dikatakan operasi * bersifat terbuka.
Sebagai contoh:
a. Operasi penjumlahan dan perkalian pada ℝ bersifat tertutup pada ℕ, ℤ, ℚ.
b. Operasi pengurangan pada ℝ bersifat tertutup pada ℤ dan ℚ, tetapi bersifat terbuka pada ℕ.
c. Operasi pembagian pada ℝ bersifat tertutup pada ℚ\{0}, tetapi bersifat terbuka pada ℕ\{0} dan ℤ\{0}.
d. Operasi komposisi pada himpunan semua fungsi bersifat tertutup pada himpunan semua fungsi surjektif, himpunan semua fungsi injektif, dan himpunan semua fungsi bijektif.
e. Operasi perkalian pada himpunan semua matriks bersifat tertutup pada himpunan semua matriks persegi berukuran sama.
8. Elemen Dominan
A. Elemen Dominan
Misal * suatu operasi pada S. Elemen a ∈ S dikatakan dominan jika (∀b ∈ S). a * b = a = b * a.
Contoh:
1. Bilangan 0 merupakan elemen dominan terhadap operasi perkalian pada ℤ, ℚ, dan ℝ. Adapun operasi perkalian pada ℕ tidak memiliki elemen dominan.
2. Matriks 0 merupakan elemen dominan terhadap operasi perkalian matriks pada himpunan semua matriks persegi berukuran sama.
3. Vektor 0 = (0, 0, 0) merupakan elemen dominan terhadap operasi perkalian silang vektor pada ℝ³.
4. Misal odd(ℤ₁₀) = {1̅, 3̅, 5̅, 7̅, 9̅} ⊆ ℤ₁₀ = {0̅, 1̅, 2̅, 3̅, 4̅, 5̅, 6̅, 7̅, 8̅, 9̅}. Elemen 5̅ merupakan elemen dominan terhadap operasi perkalian pada odd(ℤ₁₀).
B. Elemen Dominan Satu Arah
Misal * suatu operasi pada S. Elemen a ∈ S dikatakan dominan kanan jika (∀c ∈ S). a * c = a dan b ∈ S dikatakan dominan kiri jika (∀c ∈ S). c * b = b.
Contoh:
1. Bilangan 1 merupakan elemen dominan kiri terhadap operasi perpangkatan pada ℕ, ℤ, ℚ, dan ℝ.
2. TRUE merupakan elemen dominan kanan terhadap operasi implikasi pada himpunan {TRUE, FALSE}.
C. Non-ivertibilitas Elemen Dominan
Elemen dominan tidak memiliki invers kecuali pada himpunan beranggota tunggal.
Bukti:
Misal S himpunan dengan lebih 1 anggota dan * operasi biner pada S. Misal a elemen dominan terhadap operasi * pada S.
Ambil sebarang b ∈ S. Karena a elemen dominan, a * b = a = b * a. Ini berarti elemen apapun dioperasikan dengan a selalu menghasilkan a yang bukan elemen identitas. Jadi, a tidak memiliki invers terhadap operasi *.
Adapun untuk himpunan beranggota tunggal, jika anggota tunggalnya bukan elemen identitas maka himpunan tersebut tidak memiliki operasi biner, oleh karena itu haruslah elemen identitas, yang selalu memiliki invers yaitu dirinya sendiri.
9. Elemen Idempoten
Misal * suatu operasi pada S. Elemen a ∈ S dikatakan idempoten jika a * a = a.
Contoh:
a. Elemen identitas merupakan contoh trivial untuk elemen idempoten, dimana e * e = e.
b. Elemen dominan juga dapat dipastikan merupakan elemen idempoten.
c. Operasi perkalian modular pada ℤ₁₀ memiliki 4 elemen idempoten, yaitu 0̅, 1̅, 5̅, dan 6̅.
10. Elemen Involusi
Elemen involusi adalah elemen yang bukan identitas dan inversnya adalah dirinya sendiri. Boleh juga dikatakan elemen involusi adalah elemen bukan identitas yang jika dioperasikan dengan dirinya sendiri menghasilkan elemen identitas.
Contoh:
a. –1 merupakan elemen involusi dari operasi perkalian pada ℤ, ℚ, dan ℝ.
b. 2̅ merupakan elemen involusi dari operasi penjumlahan pada ℤ₄.
c. Operasi perkalian pada ℤ₈ memiliki 3 elemen involusi, yaitu 3̅, 5̅, dan 7̅.
11. Efisiensi Pengecekan
Misal himpunan G dilengkapi operasi * yang tertutup dan asosiatif. Jika * memiliki identitas satu arah dan invers satu arah maka * memiliki identitas dan invers.
Bukti:
Misal e merupakan identitas kanan operasi *.
Misal a ∈ G, terdapat b ∈ G yang merupakan invers kanan dari a terhadap *, berarti a * b = e.
Karena b ∈ G, terdapat c ∈ G yang merupakan invers kanan dari b terhadap *, berarti b * c = e.
Perhatikan:
b * a = b * (a * e) = b * (a * (b * c)) = b * (a * b) * c = b * e * c = (b * e) * c = b * c = e.
Ini berarti invers kanan tersebut juga merupakan invers kiri, sehingga b merupakan invers dari a.
Dengan cara yang sama, kita juga dapat membuktikan bahwa jika ada invers kiri maka invers kiri tersebut juga merupakan invers kanan, sehingga merupakan invers.
Selanjutnya
e * a = (a * b) * a = a * (b * a) = a * e = a.
Ini berarti identitas kanan tersebut juga merupakan identitas kiri, sehingga e merupakan identitas.
Dengan cara yang sama, kita juga dapat membuktikan bahwa jika ada identitas kiri maka identitas kiri tersebut juga merupakan identitas kanan, sehingga merupakan identitas.
Jadi, jika suatu operasi bersifat tertutup dan asosiatif, maka keberadaan identitas dan invers satu arah memberadakan identitas dan invers.
Komentar
Posting Komentar