Subgrup Normal dan Sifat-Sifatnya

1. Subgrup Normal

Diberikan grup G dengan H merupakan subgrup dari G. Subgrup H disebut subgrup normal jika untuk setiap g di G berlaku gH = Hg.

Jika H adalah subgrup normal dari G, kita dapat menulisnya sebagai H ◁ G.

Cukup mudah dimengerti bahwa semua subgrup dari grup Abel merupakan subgrup normal. Adapun subgrup dari grup non-Abel bisa jadi subgrup normal, bisa jadi bukan subgrup normal.

Selanjutnya, grup non-Abel yang semua subgrupnya merupakan subgrup normal disebut sebagai grup Hamilton.

2. Koset Konjugat

Banyaknya koset kiri maupun koset kanan tidak selalu berhingga. Ada kalanya banyak koset-koset tersebut tak hingga. Tentu tidak mudah untuk mengetahui semua koset kiri maupun kanan sebelum menentukan sebuah subgrup merupakan subgrup normal. Perhatikan notasi berikut:

gHg⁻¹ = {ghg⁻¹ | h ∈ H}.

A. Pengecekan subgrup normal yang dipermudah

Diberikan grup G dan sebarang subgrup H di G. Subgrup H merupakan subgrup normal jika dan hanya jika untuk setiap elemen g di G berlaku gHg⁻¹ ⊆ H.

Bukti:

(⇒). Diketahui H adalah subgrup normal. Ambil sebarang elemen g di G dan a ∈ gHg. Terdapat h₁ ∈ H sehingga a = gh₁g⁻¹. Karena H subgrup normal berarti gH = Hg. Jadi dengan mempertimbangkan gh₁ ∈ gH, terdapat h₂ ∈ H sehingga gh₁ = h₂g dan diperoleh a = gh₁g⁻¹ = h₂gg⁻¹ = h₂e ∈ H. Jadi terbukti a ∈ H, sehingga terbukti gHg⁻¹ ⊆ H.

(⇐). Diketahui untuk setiap elemen g di G berlaku gHg⁻¹ ⊆ H. Ambil sebarang elemen di a ∈ gH, terdapat h₁ ∈ H sehingga a = gh₁. Dari yang diketahui ag⁻¹ = gh₁g⁻¹ ∈ gHg⁻¹ ⊆ H. Jadi terdapat h₂ ∈ H sehingga ag⁻¹ = h₂ dan akibatnya adalah a = h₂g ∈ Hg. Terbukti gH ⊆ Hg. Selanjutnya ambil sebarang elemen b ∈ Hg, artinya terdapat h₁ ∈ H sehingga b = h₁g. Dari yang diketahui g⁻¹b = g⁻¹h₁g ∈ g⁻¹Hg ⊆ H. Jadi terdapat h₂ ∈ H sehingga g⁻¹b = h₂ dan akibatnya adalah b = gh₂ ∈ gH. Terbukti Hg ⊆ gH. □

B. Pusat Grup

Diberikan grup G dan pusat grup G yaitu C(G) = {a ∈ G | ag = ga, ∀g ∈ G}.

Klaim: C(G) merupakan subgrup normal

Bukti:

Ambil sebarang p ∈ C(G) dan sebarang g ∈ G. Karena p ∈ G, maka diperoleh gpg⁻¹ = pgg⁻¹ = p ∈ C(G). Jadi terbukti C(G) adalah subgrup normal. □

3. Pernyataan Ekivalen dengan Subgrup Normal

Misal H subgrup dari G, pernyataan berikut ekivalen:

a. H subgrup normal dari G

b. (∀g ∈ G). gH = Hg

c. (∀g ∈ G). gHg⁻¹ ⊆ H

d. (∀g ∈ G)(∀h ∈ H). ghg⁻¹ ∈ H

e. (∀g ∈ G). gHg⁻¹ = H

f. (∀g ∈ G). gH ⊆ Hg

g. (∀a, b ∈ G). ab⁻¹ ∈ H ⇔ ba⁻¹ ∈ H

Bukti:

(a) ekivalen dengan (b) berdasarkan definisi subgrup normal

(a) ekivalen dengan (c) telah dibuktikan

(c) ekivalen dengan (d) berdasarkan definisi subset

(a ⇒ e): Misalkan H ◁ G. Ambil sebarang g ∈ G.

Telah dibuktikan bahwa gHg⁻¹ ⊆ H sehingga cukup dengan membuktikan bahwa H ⊆ gHg⁻¹.

g ∈ G, maka g⁻¹ ∈ G, sehingga berlaku

g⁻¹H(g⁻¹)⁻¹ = g⁻¹Hg ⊆ H, kalikan masing-masing ruas dengan g di kanan dan g⁻¹ di kiri

g(g⁻¹Hg)g⁻¹ = (gg⁻¹)H(gg⁻¹) = eHe = H ⊆ gHg⁻¹

Jadi, gHg⁻¹ = H

(e ⇒ b ⇒ a): Diberikan (∀g ∈ G). gHg⁻¹ = H, kalikan masing-masing ruas dengan g di kanan

(gHg⁻¹)g = (gH)(g⁻¹g) = (gH)e = gH = Hg

Terbukti bahwa (e) ⇒ (b), karena (b) ekivalen dengan (a), berlaku (b) ⇒ (a).

Jadi, pernyataan-pernyataan (a), (b), dan (e) ekivalen.

(b ⇒ f) Diberikan (∀g ∈ G). gH = Hg

Jelas bahwa gH ⊆ Hg.

(f ⇒ g): Misalkan gH ⊆ Hg, untuk semua g ∈ G. Maka H ⊆ g⁻¹Hg, untuk semua g ∈ G.

Misal p, q ∈ G, berlaku

pq⁻¹ = (qq⁻¹)(pq⁻¹) = q(q⁻¹p)q⁻¹ ∈ H

⇔ q⁻¹(pq⁻¹)q = q⁻¹q(q⁻¹pq⁻¹)q = q⁻¹p ∈ H.

Jadi, pq⁻¹ ∈ H ⇔ p⁻¹q ∈ H.

(g ⇒ d ⇒ b): Misalkan g ∈ G dan h ∈ H.

Misal a = gh dan b = g, diperoleh a⁻¹b = (gh)⁻¹g = (h⁻¹g⁻¹)g = h⁻¹(g⁻¹g) = h⁻¹e = h⁻¹ ∈ H.

Karena berlaku pernyataan (g), diharuskan ab⁻¹ = ghg⁻¹ ∈ H.

Terbukti bahwa (g) ⇒ (d), karena (d) ekivalen dengan (b), berlaku (d) ⇒ (b).

Jadi, pernyataan-pernyataan (b), (d), (f), dan (g) ekivalen.

Kesimpulan akhir: Pernyataan-pernyataan (a), (b), (c), (d), (e), (f), (g) ekivalen.

4. Kenormalan Hasil Operasi Subgrup

A. Irisan Subgrup Normal

Jika H₁ dan H₂ adalah subgrup-subgrup normal di dalam grup G, maka H₁ ∩ H₂ juga merupakan subgrup normal.

Bukti:

Diketahui H₁ dan H₂ adalah subgrup-subgrup normal di dalam grup G. Ambil sebarang elemen g di G, akan dibuktikan g(H₁ ∩ H₂)g⁻¹ ⊆ (H₁ ∩ H₂). Ambil sebarang a ∈ g(H₁ ∩ H₂)g⁻¹, artinya terdapat h ∈ H₁ ∩ H₂ sehingga a = ghg⁻¹. Karena h ∈ H₁ dan H₁ adalah subgrup normal, diperoleh a = ghg⁻¹ ∈ gH₁g⁻¹ ⊆ H₁. Demikian juga, karena h ∈ H₂ dan H₂ adalah subgrup normal, diperoleh a = ghg⁻¹ ∈ gH₂g⁻¹ ⊆ H₂. Jadi terbukti a ∈ H₁ ∩ H₂, atau dengan kata lain g(H₁ ∩ H₂)g⁻¹ ⊆ H₁ ∩ H₂. □

B. Perkalian Subgrup Normal

Jika H dan K adalah subgrup-subgrup normal di dalam grup G, maka HK merupakan subgrup dan HK = KH.

Bukti:

Ambil sebarang elemen a, b ∈ HK, artinya terdapat h₁,h₂ ∈ H dan k₁,k₂ ∈ K sehingga a = h₁k₁ dan b = h₂k₂. Selanjutnya diperoleh

ab⁻¹ = h₁k₁(h₂k₂)⁻¹ = h₁k₁k₂⁻¹h₂⁻¹ = h₁k₃h₂⁻¹,

dengan k₃ = k₁k₂⁻¹ ∈ K. Karena H subgrup normal, k₃h₂⁻¹ ∈ k₃H = Hk₃. Artinya terdapat h₃ ∈ H sehingga k₃h₂⁻¹ = h₃k₃. Akibatnya diperoleh

ab⁻¹ = h₁k₃h₂⁻¹ = h₁h₃k₃ ∈ HK.

Terbukti HK adalah subgrup.

Kemudian akan dibuktikan bahwa HK = KH. Ambil sebarang a ∈ HK, artinya terdapat h₁ ∈ H dan k₁ ∈ K sehingga a = h₁k₁. Karena H subgrup normal, h₁k₁ ∈ H k₁ = k₁H. Jadi h₁k₁ = k₁h₂ untuk suatu h₂ ∈ H. Jadi a = h₁k₁ = k₁h₂ ∈ KH, dengan kata lain terbukti HK ⊆ KH.

Dengan cara yang sama akan diperoleh KH ⊆ HK.

Jadi, HK = KH □

C. Subgrup yang Dibangun oleh Gabungan

Jika H dan K adalah subgrup-subgrup normal di dalam grup G, maka HK = 〈H ∪ K〉.

D. Irisan Subgrup Normal dengan Sebarang Subgrup

Jika H sebarang subgrup di G dan N subgrup normal di G, maka H ∩ N merupakan subgrup normal di H.

Bukti:

Ambil sebarang h ∈ H dan a ∈ H ∩ N. Karena a ∈ N, h ∈ H ⊆ G dan N adalah subgrup normal di G, diperoleh hah⁻¹ ∈ N. Jadi H ∩ N merupakan subgrup normal di H.

Catatan:

Meski H ∩ N selalu subgrup normal di H, H ∩ N tidak selalu subgrup normal di G. Sebagai contoh misal dipilih G = S₄, N = A₄, dan H = S₃. Perhatikan

Untuk A₃ menjadi subgrup normal di S₄, maka untuk setiap g ∈ S₄ dan setiap a ∈ A₃, harus berlaku gag⁻¹ ∈ A₃.

Mari kita ambil g = (1 4) ∈ S₄ dan a = (1 2 3) ∈ A₃.

ga g⁻¹ = (1 4) (1 2 3) (1 4)⁻¹

= (1 4) (1 2 3) (1 4)

Melakukan komposisi permutasi:

(1 4)(1 2 3) = (1 2 3 4)

(1 2 3 4)(1 4) = (2 3 4)

Jadi, gag⁻¹ = (2 3 4).

Periksa apakah (2 3 4) ∈ A₃ = { (1), (1 2 3), (1 3 2) }.

Tidak, (2 3 4) tidak ada di A₃.

Oleh karena itu, A₃ bukan subgrup normal di S₄.

5. Perkalian Subgrup Normal

A. Perkalian Subgrup Normal dengan Sebarang Subgrup

Jika H ≤ G dan K ◁ G, maka HK ≤ G.

Bukti:

Ambil sebarang a, b ∈ HK. Artinya terdapat h₁, h₂ ∈ H dan k₁, k₂ ∈ K sehingga a = h₁k₁ dan b = h₂k₂. Selanjutnya ab⁻¹ = h₁k₁(h₂k₂)⁻¹ = h₁k₁k₂⁻¹h₂⁻¹. Dengan menamakan k₃ = k₁k₂⁻¹ diperoleh ab⁻¹ = h₁k₃h₂⁻¹. Karena K subgrup normal, ab⁻¹ = h₁h₂⁻¹k₄ untuk suatu k₄ ∈ K. Jadi terbukti ab⁻¹ ∈ HK.

B. Perkalian Sesama Subgrup Normal

Perkalian sesama subgrup normal menghasilkan subgrup normal

Telah kita ketahui bahwa HK merupakan subgrup. Tinggal dibuktikan apakah koset kiri sama dengan koset kanan.

Ambil sebarang g ∈ G dan sebarang elemen a ∈ gHKg⁻¹. Berarti a = ghkg⁻¹ untuk suatu h ∈ H dan k ∈ K. Karena H subgrup normal, gh = h₁g untuk suatu h₁ ∈ H, dan diperoleh a = ghkg⁻¹ = h₁gkg⁻¹. Selanjutnya karena K subgrup normal, kg⁻¹ = g⁻¹k₁ untuk suatu k₁ ∈ K, dan diperoleh a = h₁gkg⁻¹ = h₁gg⁻¹k₁ = h₁k₁ ∈ HK. Jadi a ∈ gHKg⁻¹ ⊆ HK.

6. Kenormalan Subgrup Tertentu

A. Kenormalan Subgrup Siklis

Diberikan grup G. Jika setiap subgrup siklis di G merupakan subgrup normal, maka semua subgrup di G merupakan subgrup normal.

B. Komplemen Subgrup

Diketahui H adalah subgrup di G sehingga

(∀a, b ∈ G\H). ab ∈ H

Akibatnya H adalah subgrup normal.

C. Perkalian Koset Kiri

Diketahui H adalah subgrup di G dengan perkalian sesama koset kirinya membentuk koset kiri lagi. Akibatnya H merupakan subgrup normal.

D. Subgrup Berindeks 2

Subgrup yang indeksnya 2 dapat dipastikan merupakan subgrup normal.

Kasus khusus: Subgrup Aₙ memiliki indeks 2 di Sₙ, sehingga Aₙ ◁ Sₙ.

7. Penormal

A. Perbedaan Pemusat dan Penormal

Ingat kembali pengertian pemusat himpunan tak kosong H sebagai berikut:

C(H) = {g ∈ G | ghg⁻¹ = h, untuk setiap h ∈ H} = {g ∈ G | gh = hg, untuk setiap h ∈ H}.

Selain itu dapat juga didefinisikan penormal H, sebagai berikut:

N(H) = {g ∈ G | ghg⁻¹ = H} = {g ∈ G | ∀h₁ ∈ H, ∃h₂ ∈ H, gh₁g⁻¹ = h₂}.

Dua pengertian tersebut tidak sama. Perhatikan bahwa definisi pemusat H mengharuskan terpenuhinya persamaan ghg⁻¹ = h untuk setiap h ∈ H. Sementara itu penormal H mensyaratkan cukup terdapat h₂ sehingga gh₁g⁻¹ = h₂ untuk setiap h₁ ∈ H. Dari kedua definisi terlihat bahwa pemusat H pasti merupakan penormal H, sementara sebaliknya belum tentu berlaku.

B. Kesubgrupan Penormal

Jika H suatu himpunan bagian tak kosong di G, maka N(H) adalah subgrup.

Bukti:

Jelas bahwa N(H) bukan himpunan kosong, e ∈ N(H) karena ehe⁻¹ = h.

Ambil sebarang a, b ∈ N(H) dan sebarang h₁ ∈ H. Diperoleh

ab⁻¹h₁(ab⁻¹)⁻¹ = a(b⁻¹h₁b)a⁻¹ = ah₂a⁻¹ = h₃, untuk suatu h₂ dan h₃ di H.

Jadi terbukti ab⁻¹ berada di N(H). □

Catatan: Ini berlaku untuk sebarang H yang merupakan subset, baik H subgrup maupun bukan subgrup dari G.

C. Penormal Subgrup Normal

Diberikan H subgrup dari G. Subgrup H merupakan subgrup normal jika dan hanya jika N(H) = G.

D. Subgrup dalam Penormal

Jika H adalah subgrup di G, maka H merupakan subgrup normal di N(H).

Bukti:

Cukup jelas bahwa H ⊆ N(H). Tinggal dibuktikan untuk setiap a ∈ N(H) berlaku aHa⁻¹ ⊆ H. Ambil sebarang h₁ ∈ H. Karena a ∈ N(H), terdapat h₂ ∈ H sehingga diperoleh ah₁a⁻¹ = h₂ ∈ H. Terbukti H adalah subgrup normal di N(H). □