Subgrup dan Grup Siklis

1. Konsep Dasar Subgrup

A. Definisi Subgrup

Misal H ⊆ G dan (G, *) membentuk grup. Jika (H, *) membentuk grup, maka dikatakan H merupakan subgrup dari G, dituliskan H ≤ G. Sedangkan untuk H ≠ G, dituliskan H < G.

B. Subgrup Trivial

Sebarang grup G setidaknya memiliki subgrup trivial, yaitu subgrup identitas {e}, dan G itu sendiri. Adapun jika ada subgrup lainnya, maka dikatakan sebagai subgrup sejati.

C. Elemen Identitas dan Invers Subgrup

Misal H subgrup dari G. Berikut ini keterkaitan elemen identitas dan inversnya:

• Elemen identitas di H dan elemen identitas di G adalah elemen yang sama

• Invers dari elemen a di H dan invers dari elemen a di G adalah elemen yang sama

D. Operasi Subset

Misal a ∈ G dan dua himpunan H, K ⊆ G; berikut ini didefinisikan:

• HK = {hk: h ∈ H, k ∈ K}

• H⁻¹ = {h⁻¹: h ∈ H}

• aH = {ah: h ∈ H} dan Ha = {ha: h ∈ H}

Berikut ini contoh subgrup:

1. Untuk operasi penjumlahan bilangan, berlaku (ℤ, +) < (ℚ, +) < (ℝ, +) < (ℂ, +)

2. Misal k ∈ ℕ. Didefinisikan kℤ = {ka: a ∈ ℤ}. Berlaku (kℤ, +) < (ℤ, +). Selanjutnya jika m merupakan kelipatan dari k, maka (mℤ, +) ≤ (kℤ, +).

2. Pengecekan Subgrup

Misal himpunan tak kosong H ⊆ G dan (G, *) membentuk grup, pernyataan berikut ekivalen:

a. H subgrup dari G

b. Jika a, b ∈ H; maka ab ∈ H dan a⁻¹ ∈ H

c. HH ⊆ H dan H⁻¹ ⊆ H

d. HH = H dan H⁻¹ = H

e. Jika a, b ∈ H; maka ab⁻¹ ∈ H

f. HH⁻¹ ⊆ H

g. HH⁻¹ = H

Bukti:

(a ⇒ b) Karena H tertutup terhadap * dan invers dari elemen di H sama dengan invers dari elemen di G

(b ⇒ c) Ini benar menurut definisi HK dan H⁻¹

(c ⇒ d) Ambil sebarang a ∈ H

e = aa⁻¹ ∈ HH⁻¹ ⊆ HH ⊆ H, ini berarti e ∈ H

Akibatnya H = He ⊆ HH ⊆ H, berarti HH = H

Juga H = (H⁻¹)⁻¹ ⊆ H⁻¹ ⊆ H, berarti H⁻¹ = H

(d ⇒ e) Jika a, b ∈ H; maka ab⁻¹ ∈ HH⁻¹ ⊆ HH ⊆ H

(e ⇒ f) Ini benar menurut definisi HK dan H⁻¹

(f ⇒ g) e = aa⁻¹ ∈ HH⁻¹ ⊆ HH ⊆ H, ini berarti e ∈ H

Akibatnya H = He = He⁻¹ ⊆ HH⁻¹ ⊆ H, berarti HH⁻¹ = H

(g ⇒ a) Ambil sebarang a, b ∈ H

e = aa⁻¹ ∈ HH⁻¹ = H, ini berarti operasi * di H memiliki identitas

a⁻¹ = ea⁻¹ ∈ HH⁻¹ = H, ini berarti operasi * di H memiliki invers

ab = a(b⁻¹)⁻¹ ∈ HH⁻¹ = H, ini berarti operasi * di H bersifat terutup

Operasi * di G bersifat asosiatif, sehingga juga asosiatif di setiap subsetnya, termasuk H

Jadi, H subgrup dari G.

Karena pernyataan (b) sampai (g) ekivalen dengan (a), kita memiliki berbagai cara untuk mengecek subgrup.

3. Subgrup Pusat

A. Subgrup Pusat Total

Untuk sembarang grup G dapat dibentuk himpunan

C(G) = {g ∈ G | gh = hg, ∀h ∈ G}

yang disebut pusat (center) grup G. Pusat C(G) ini merupakan subgrup komutatif dari G, sebagaimana dinyatakan berikut:

"Untuk sembarang grup G, pusatnya yaitu C(G) adalah subgrup komutatif di G."

Bukti:

Pertama akan ditunjukkan bahwa C(G) tidak kosong. Hal ini dipenuhi karena elemen identitas e pasti komutatif dengan sembarang elemen h di G, sehingga e ∈ C(G). Selanjutnya ambil sembarang g dan h di C(G) dan sembarang a di G. Oleh karena itu berlaku ha = ah, operasikan dengan h⁻¹ di kanan

hah⁻¹ = a, operasikan dengan h⁻¹ di kiri

ah⁻¹ = h⁻¹a

yang berarti h⁻¹ ∈ C(G). Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa gh⁻¹ berada di C(G), yaitu

(gh⁻¹)a = g(h⁻¹a) = g(ah⁻¹) = (ga)h⁻¹ = a(gh⁻¹).

Jadi terbukti C(G) merupakan subgrup komutatif di G.

Contoh:

Misal GL₂(ℝ) adalah himpunan semua matriks berukuran 2 × 2 yang determinannya taknol. Operasi perkalian di GL₂(ℝ) membentuk grup yang tidak komutatif. Meskipun demikian, ada subset dari GL₂(ℝ) yang mana operasi perkalian matriks di dalamnya membentuk grup komutatif.

Subset tersebut adalah himpunan semua matriks skalar taknol berukuran 2 × 2. Oleh karena itu, subset tersebut dapat disimbolkan sebagai C(GL₂(ℝ)).

B. Subgrup Pusat Elementer

"Diberikan p ∈ G, didefinisikan subset sentral terhadap p sebagai C(p) = {a ∈ G | pa = ap}. Subset ini merupakan subgrup dari G."

Bukti:

• Ketertutupan

Ambil sebarang a, b ∈ C(p); berlaku pa = ap dan pb = bp.

p(ab) = (pa)b = (ap)b = a(pb) = a(bp) = (ab)p

Ini berarti ab ∈ C(p).

• Asosiatif

Operasi pada G bersifat asosiatif, sehingga juga asosiatif untuk setiap subsetnya, termasuk C(p).

• Identitas

Misal dipilih e sebagai elemen identitas, jelas bahwa pe = p = ep, sehingga e ∈ C(p).

• Invers

Ambil sebarang a ∈ C(p) ⊆ G; berlaku pa = ap dan terdapat a⁻¹ sehingga aa⁻¹ = e = a⁻¹a.

a⁻¹p = a⁻¹(pe) = a⁻¹(p(aa⁻¹)) = a⁻¹(pa)(a⁻¹) = a⁻¹(ap)(a⁻¹) = (a⁻¹a)(pa⁻¹) = e(pa⁻¹) = pa⁻¹.

Ini berarti a⁻¹ ∈ C(p).

Catatan:

Subset ini secara umum tidak komutatif, dimana untuk sebarang G selalu berlaku C(e) = G, sedangkan untuk G tidak komutatif berakibat C(e) juga tidak komutatif.

4. Elemen Pengawet Subset

Misalkan A ⊆ G, A ≠ ∅. Kita definisikan Gₐ := {g ∈ G: gA = A}.

Kita tinjau terlebih dahulu makna dari gA = A. Ingat kembali bahwa dua himpunan sama jika saling subset. Pada satu sisi, gA = A memberikan ga ∈ A, untuk semua a ∈ A, sedangkan pada sisi lain, ia memberikan bahwa untuk setiap a ∈ A, terdapat b ∈ A demikian, sehingga a = gb.

Perhatikan bahwa e ∈ Gₐ, sehingga Gₐ ≠ ∅. Selanjutnya misalkan g, h ∈ Gₐ. Dengan demikian gA = A dan hA = A. Akan kita perlihatkan bahwa gh ∈ Gₐ dan g⁻¹ ∈ Gₐ, yaitu dengan menunjukkan bahwa (gh)A = A dan g⁻¹A = A.

Perhatikan bahwa (gh)A = {(gh)a : a ∈ A} = {g(ha) : a ∈ A} = g(hA) = gA = A.

Selanjutnya, misalkan a ∈ A. Maka terdapat b ∈ A demikian, sehingga a = gb. Akibatnya g⁻¹a = b ∈ A. Dengan demikian, g⁻¹A ⊆ A.

Di pihak lain, ga ∈ A, katakan ga = c ∈ A. Akibatnya a = g⁻¹c ∈ g⁻¹X. Dengan demikian, X ⊆ g⁻¹X. Jadi g⁻¹X = X seperti yang diinginkan.

Jadi, Gₐ merupakan subgrup dari G.

5. Operasi Subgrup

A. Kesubgrupan irisan subgrup

Irisan dua subgrup merupakan subgrup.

Bukti:

Akan dibuktikan bahwa jika H dan K subgrup dari G, maka H ∩ K juga subgrup dari G.

Jelas bahwa H ∩ K ⊆ G dan H ∩ K ≠ ∅ karena e ∈ H ∩ K.

Ambil sebarang a, b ∈ H ∩ K, akibatnya a dan b berada di H dan K.

Karena H dan K subgrup berlaku b⁻¹ ∈ H ∩ K. Karena a dan b⁻¹ termuat di H ∩ K, disimpulkan ab⁻¹ ∈ H dan ab⁻¹ ∈ K sehingga ab⁻¹ ∈ H ∩ K.

Catatan: Irisan dua subgrup dapat dipastikan merupakan subgrup, bahkan baru saja kita membuktikannya. Akan tetapi, gabungan dua subgrup tidak dapat dipastikan merupakan subgrup.

B. Kesubgrupan perkalian subgrup

Misalkan H, K dua subgrup dari G. Hasil kali HK ≤ G jika dan hanya jika KH ⊆ HK.

Bukti:

(⇐) Pertama-tama H = He ⊆ HK, sehingga HK ≠ ∅.

Misalkan a, b ∈ HK; a = h₁k₁ dan b = h₂k₂, untuk suatu h₁,h₂ ∈ H, k₁,k₂ ∈ K. Perhatikan bahwa

ab⁻¹ = (h₁k₁)(h₂k₂)⁻¹ = h₁k₁k₂⁻¹h₂⁻¹.

Karena k₁k₂⁻¹h₂⁻¹ = (k₁k₂⁻¹)h₂⁻¹ ∈ KH dan KH ⊆ HK, maka k₁k₂⁻¹h₂⁻¹ ∈ HK. Dengan demikian k₁k₂⁻¹h₂⁻¹ = h₃k₃, untuk suatu h₃ ∈ H, k₃ ∈ K.

Jadi ab⁻¹ = h₁(k₁k₂⁻¹h₂⁻¹) = h₁(h₃k₃) = (h₁h₃)k₃ ∈ HK.

(⇒) Diberikan HK ≤ G. Misalkan a ∈ KH, dengan a = kh, untuk suatu k ∈ K, h ∈ H. Misal b = hk. Karena HK subgrup dan b ∈ HK, maka hak = h(kh)(hk) = (hk)(hk) = b² ∈ HK. Misalkan b² = h₁k₁, untuk suatu h₁ ∈ H, k₁ ∈ K. Maka hak = h₁k₁, sehingga a = h⁻¹(h₁k₁)k⁻¹ = (h⁻¹h₁)(k₁k⁻¹) ∈ HK. Kita simpulkan bahwa jika a ∈ KH, maka a ∈ HK, yaitu KH ⊆ HK.

C. Lebih lanjut perkalian subgrup

Misalkan H, K dua subgrup dari G, pernyataan berikut ekivalen:

(i) HK ≤ G

(ii) KH ⊆ HK

(iii) KH = HK

D. Kesubgrupan perkalian elemen dengan subgrup dan inversnya

Misal H ≤ G dan g ∈ G. Diperoleh gHg⁻¹ ≤ G dan |gHg⁻¹| = |H|.

6. Subgrup Siklis dan Fitur-Fiturnya

A. Definisi Subgrup Siklis

Misalkan a ∈ G. Himpunan semua pangkat dari a, yaitu {aᵐ : m ∈ ℤ} adalah subgrup dari G. Subgrup seperti ini kita namakan subgrup siklis yang dibangun oleh a dan dituliskan sebagai ⟨a⟩.

B. Subgrup Terkecil yang Memuat Elemen

Misalkan a ∈ H ≤ G. Secara umum, aᵐ ∈ H, ∀m ∈ ℤ. Ini menunjukkan bahwa jika H subgrup dari G yang memuat a, maka ⟨a⟩ ≤ H. Akibatnya, ⟨a⟩ adalah subgrup terkecil dari G yang memuat a.

⟨a⟩ merupakan irisan semua subgrup yang memuat a.

C. Subgrup Terkecil yang Memuat Himpunan

Misalkan A ⊆ G. Subgrup terkecil dari G yang memuat A adalah subgrup ⟨A⟩ yang memenuhi

• A ⊆ ⟨A⟩, dan

• jika A ⊆ H ≤ G, maka ⟨A⟩ ≤ H.

D. Orde Grup Siklis

Orde dari a adalah bilangan asli terkecil m yang memenuhi aᵐ = e. Dalam hal ini dituliskan o(a) = m. Adapun jika A grup siklis, orde dari A disimbolkan |A|. Lebih lanjut jika A = ⟨a⟩ maka o(a) = |A|. Boleh juga dituliskan o(a) = o(⟨a⟩).

Catatan: Orde bisa berhingga maupun tak hingga.

Berikut ini contoh-contoh:

1. Misal k ∈ ℕ. Didefinisikan kℤ = {ka: a ∈ ℤ}. Himpunan kℤ yang dilengkapi operasi penjumlahan merupakan subgrup siklis dari ℤ yang dibangun oleh k. Selain itu, kℤ juga dibangun oleh –k. Oleh karena itu boleh dituliskan (kℤ, +) = ⟨k⟩ = ⟨–k⟩.

2. (ℤ, +) dibangun oleh 1, juga oleh –1, sehingga boleh dituliskan (ℤ, +) = ⟨1⟩ = ⟨–1⟩.

3. (ℤₙ, +) dibangun oleh anggota-anggotanya yang koprim dengan n. Sebagai contoh, (ℤ₁₂, +) dibangun oleh 1, 5, 7, dan 11.

4. (ℚ, +) bukan grup siklis.

Bukti:

Andaikan ℚ adalah grup siklis, terdapat suatu elemen pembangun p/q sehingga ℚ = ⟨p/q⟩, dengan p dan q bilangan-bilangan bulat yang koprim. Perhatikan bahwa p/(2q) ∈ ℚ, sehingga terdapat bilangan bulat n ≠ 0 dan p/(2q) = n(p/q). Akibatnya diperoleh 1/2 = n ∈ Z, suatu kontradiksi. Jadi pengandaian harus diingkari, yang benar adalah ℚ bukan grup siklis.

7. Sifat-Sifat Grup Siklis

A. Sifat Komutatif

"Setiap grup siklis merupakan grup komutatif".

Bukti:

Ambil sebarang a, b ∈ G. Dikarenakan G grup siklis, terdapat bilangan bulat n dan m sehingga a = gⁿ dan b = gᵐ.

ab = gⁿgᵐ = gⁿ⁺ᵐ = gᵐ⁺ⁿ = gᵐgⁿ = ba.

Jadi, G merupakan grup komutatif.

Catatan: Teorema ini tidak berlaku kebalikan, dimana ada grup komutatif yang tidak siklis, contohnya (ℚ, +).

B. Anggota-Anggota Grup Siklis Berhingga

Misal grup siklis ⟨g⟩ berorde n. ⟨g⟩ = {e, g, g², ..., gⁿ⁻¹}

C. Kesamaan Banyak Anggota dan Orde

Orde dari grup siklis sama dengan banyak anggotanya.

D. Eksistensi Elemen Berorde Maksimum

Grup berhingga G merupakan grup siklis jika dan hanya jika (∃g ∈ G) ∋ o(g) = |G|.

E. Siklisitas Subgrup

Setiap subgrup dari grup siklis merupakan subgrup siklis.

F. Grup Kecil

Grup dengan 3 anggota merupakan grup siklis.

Bukti:

Misal G = {e, a, b} dengan e elemen identitas.

Karena G grup, diharuskan b = a⁻¹, karena b satu-satunya elemen yang bukan a dan bukan e.

Selain itu, tidak mungkin aa = e, karena ab = e dan a ≠ b.

Juga tidak mungkin aa = a, karena ae = a dan a ≠ e.

Sehingga diharuskan aa = a² = b = a⁻¹, selanjutnya a³ = aa² = ab = e.

Hal yang sama juga berlaku untuk b.

Jadi, G grup siklis dimana a dan b masing-masing merupakan pembangun.

8. Lebih Lanjut Seputar Orde Elemen

Misal diberikan grup (G, *) dan a ∈ G. Berikut ini seputar orde dari a:

A. Orde Tak Hingga

o(a) = ∞ artinya (∀n ∈ ℕ). aⁿ ≠ e

B. Orde Berhingga

Misal o(a) = n, artinya n adalah bilangan asli terkecil sehingga aⁿ = e

C. Keterbagian Orde Berhingga

Misal n adalah orde dari a, berlaku:

aᵏ = e jika dan hanya jika n membagi habis k.

Bukti:

(i) aᵏ = e ⇒ n | k

Kontraposisi: n ∤ k ⇒ aᵏ ≠ e

n ∤ k berarti k = mn + p; untuk suatu bilangan bulat m dan p dengan 0 < p < n; sehingga

aᵏ = aᵐⁿ⁺ᵖ = aⁿᵐaᵖ = eᵐaᵖ = ap ≠ e

Jadi, n ∤ k ⇒ aᵏ ≠ e. Kontraposisinya adalah aᵏ = e ⇒ n | k.

(ii) n | k ⇒ aᵏ = e

n | k berarti k = mn, untuk suatu bilangan bulat m, sehingga

aᵏ = aᵐⁿ = aⁿᵐ = eᵐ = e.

9. Subgrup Siklis yang Dibangun oleh Gabungan Dua Subgrup

Diberikan H dan K subgrup-subgrup di dalam grup G. Hasil kali H dan K, yaitu HK, merupakan subgrup jika dan hanya jika HK = ⟨H ∪ K⟩.

Bukti:

(⇒). Diketahui HK adalah subgrup. Ambil sebarang h ∈ H. Akibatnya h = he ∈ HK, sehingga disimpulkan H ⊆ HK. Dengan argumentasi yang sama diperoleh juga K ⊆ HK. Jadi H ∪ K ⊆ HK. Karena ⟨H ∪ K⟩ adalah subgrup terkecil yang memuat H ∪ K, maka ⟨H ∪ K⟩ ⊆ HK. Sekarang perhatikan sembarang hk ∈ HK, dengan h ∈ H dan k ∈ K. Karena diketahui H ⊆ ⟨H ∪ K⟩ dan K ⊆ ⟨H ∪ K⟩, diperoleh h, k ∈ ⟨H ∪ K⟩. Jadi hk ∈ ⟨H ∪ K⟩, yang berarti HK ⊆ ⟨H ∪ K⟩.

(⇐). Diketahui HK = ⟨H ∪ K⟩. Sesuai dengan definisi, ⟨H ∪ K⟩ adalah subgrup. Jadi jelas bahwa HK adalah subgrup karena HK = ⟨H ∪ K⟩.