Uji Hipotesis (Statmat)

Ilustrasi:

Misalkan seorang petani melakukan suatu eksperimen untuk melihat pupuk A atau B yang paling baik untuk pertumbuhan suatu tanaman X.

▪ Penelitian 1 menyatakan bahwa pupuk A dapat menumbuhkan tanaman X dengan kecepatan 4cm per pekan setelah diberikan pupuk.

▪ Penelitian 2 menyatakan bahwa pupuk B dapat menumbuhkan tanaman X dengan kecepatan 2cm per pekan setelah diberikan pupuk.

Dengan menggunakan teori, referensi, dan hasil penelitian yang relevan, petani tersebut menduga bahwa pupuk A lebih baik dari pupuk B untuk menumbuhkan tanaman X.

1. Hipotesis Statistik

Hipotesis merupakan pernyataan atau dugaan mengenai nilai suatu parameter θ, yang dituliskan dalam bentuk:

H₀: θ ∈ ω vs H₁: θ ∉ ω; dengan ω ⊂ Ω.

Pada umumnya untuk ruang lengkap, Ω = {θ | θ ∈ ℝ} = ℝ. Akan tetapi terkadang adakalanya Ω bukanlah ruang lengkap, dimana Ω ⊂ ℝ.

Berikut ini formulasi hipotesis untuk ruang lengkap:

• Formulasi hipotesis dua pihak

H₀: θ = θ₀ vs H₁: θ ≠ θ₀

• Formulasi hipotesis pihak kanan

H₀: θ ≤ θ₀ vs H₁: θ > θ₀

• Formulasi hipotesis pihak kiri

H₀: θ ≥ θ₀ vs H₁: θ < θ₀

2. Hipotesis Sederhana dan Hipotesis Komposit

• Hipotesis sederhana adalah hipotesis yang hanya memungkinkan satu nilai

Bentuk umum: θ = θ₀

Pada bentuk ini hanya ada satu kemungkinan nilai θ, yaitu θ₀.

• Hipotesis komposit adalah hipotesis yang memungkinkan lebih dari satu nilai

Bentuk-bentuk umum: θ ≠ θ₀, θ ≤ θ₀, θ ≥ θ₀, θ > θ₀, θ < θ₀

Pada bentuk-bentuk ini masing-masing memiliki kemungkinan lebih dari satu nilai untuk θ.

3. Daerah Kritis

Misal ruang variabel random (Ω) dipartisi menjadi dua bagian C dan C*, dengan:

• C merupakan daerah dimana H₀ ditolak, daerah ini disebut sebagai daerah kritis

• C* merupakan daerah dimana H₀ tidak ditolak

Jadi, daerah kritis adalah daerah dimana H₀ ditolak.

4. Kesalahan Uji

Suatu pengujian hipotesis bisa saja mengalami kesalahan, berikut tipe kesalahannya:

A. Kesalahan Tipe I

Kesalahan tipe I adalah menolak H₀ padahal H₀ benar, dituliskan (x₁, x₂, ..., xₙ) ∈ C : H₀.

Peluang melakukan kesalahan tipe I disimbolkan dengan α.

α = P[(x₁, x₂, ..., xₙ) ∈ C : H₀], dinamakan tingkat signifikan.

1 – α = P[(x₁, x₂, ..., xₙ) ∈ C* : H₀], dinamakan tingkat konfidensi.

B. Kesalahan Tipe II

Kesalahan tipe II adalah tidak menolak H₀ padahal H₀ salah, dituliskan (x₁, x₂, ..., xₙ) ∈ C* : H₁.

Peluang melakukan kesalahan tipe II disimbolkan dengan β.

β = P[(x₁, x₂, ..., xₙ) ∈ C* : H₁], tidak memiliki nama khusus.

1 – β = P[(x₁, x₂, ..., xₙ) ∈ C : H₁], dinamakan kuasa uji.

C. Sifat dari Kesalahan Tipe I dan Tipe II

1. Kesalahan tipe I dan II saling terkait, yaitu memperkecil nilai α akan memperbesar nilai β dan sebaliknya.

2. Ukuran tingkat signifikansi, yaitu α, dapat selalu diperkecil dengan menyesuaikan nilai kritisnya.

3. Menaikan ukuran sampel akan memperkecil nilai α maupun β.

Contoh Soal

1. Misal X₁, X₂, ..., Xₙ sampel random dari VR X~N(⅔θ, 9). Akan dilakukan uji hipotesis

H₀: θ = 6 vs H₁: θ ≠ 6

1a. Tentukan nilai k, sehingga α = 5% dan C = {(x₁, x₂, ..., x₈₁): (x̄ – 4)² > k}

sedangkan untuk θ = 6

Perhatikan

5% = α = P[(x₁, x₂, ..., xₙ) ∈ C : H₀] = P[(x̄ – 4)² > k : H₀]

Karena simetris,

Jadi, nilai k adalah 0,42683; sehingga C = {(x₁, x₂, ..., x₈₁): (x̄ – 4)² > 0,42683}

1b. Tentukan banyak sampel sehingga α = 2% dan C = {(x₁, x₂, ..., xₙ): |x̄ – 4| > 0,5}

2% = α = P[(x₁, x₂, ..., xₙ) ∈ C : H₀] = P[|x̄ – 4| > 0,5 : H₀] = P[x̄ – 4 < –0,5 ∨ x̄ – 4 > 0,5 : H₀]

Karena simetris,

Jadi, dibutuhkan sebanyak 195 sampel.

2. Misal X₁, X₂, ..., Xₙ sampel random dari VR X~N(𝜇, 36). Akan dilakukan uji hipotesis

H₀: 𝜇 = 50 vs H₁: 𝜇 = 55

Tentukan tingkat signifikansi dan kuasa uji jika daerah kritisnya adalah

C = {(x₁, x₂, ..., x₁₆) : x̄ ≥ 53}

2a. Tingkat signifikansi

Perhatikan

α = P[(x₁, x₂, ..., xₙ) ∈ C : H₀] = P[x̄ ≥ 53 : 𝜇 = 50]

Jadi, tingkat signifikansinya adalah 2,275%

2b. Kuasa uji

1 – β = P[(x₁, x₂, ..., xₙ) ∈ C : H₁] = P[x̄ ≥ 53 : 𝜇 = 55]

Jadi, kuasa ujinya adalah 90,88%.