Isomorfisma dan Otomorfisma Grup (Lebih Lanjut)

1. Homomorfisma Identitas, Invers, dan Kesamaan Orde

A. Homomorfisma Identitas

Fungsi identitas pada G, yaitu fungsi ι : G → G yang diberikan oleh ι(g) = g, untuk setiap g ∈ G, adalah isomorfisma.

Bukti:

Karena setiap elemen di G dipetakan ke dirinya sendiri, jelas bahwa ι(G) = G, yang artinya ι merupakan epimorfisma.

Selain itu, juga jelas bahwa setiap elemen yang berbeda memiliki peta yang berbeda, sehingga ι merupakan monomorfisma.

Jadi, ι merupakan isomorfisma.

B. Homomorfisma Invers

Jika φ : G → H suatu isomorfisma, maka φ mempunyai invers φ⁻¹ : H → G yang juga merupakan isomorfisma.

Bukti:

Misalkan u, v ∈ H serta φ⁻¹(u) = x dan φ⁻¹(v) = y. Maka φ(x) = u dan φ(y) = v. Akibatnya φ(xy) = φ(x)φ(y) = uv, yang berarti φ⁻¹(uv) = xy = φ⁻¹(u)φ⁻¹(v).

C. Kesamaan Orde

Misalkan φ suatu isomorfisma. Misalkan a ∈ G dan o(a) = n. Maka o(φ(a)) = n.

Bukti:

Karena [φ(a)]ⁿ = φ(aⁿ) = φ(e) = f, jelas bahwa o(φ(a)) ≤ n.

Andaikan o(φ(a)) = m < n. Maka f = [φ(a)]ᵐ = φ(aᵐ). Akibatnya φ(aⁿ) = f = φ(aᵐ), sehingga f = φ(aⁿ)[φ(aᵐ)]⁻¹ = φ(aⁿ)φ((aᵐ)⁻¹) = φ(aⁿ)φ(a⁻ᵐ) = φ(aⁿa⁻ᵐ) = φ(aⁿ⁻ᵐ), yaitu aⁿ⁻ᵐ ∈ Inti(φ). Karena φ injektif, maka aⁿ⁻ᵐ = e. Akan tetapi yang terakhir ini bertentangan dengan o(a) = n. Jadi haruslah o(φ(a)) = n.

D. Keawetan Sifat Komutatif

Diberikan φ : G → H suatu isomorfisma. Grup G komutatif jika dan hanya jika H komutatif.

Bukti:

Telah kita ketahui bahwa jika G grup Abel, maka φ(G) juga grup Abel. Karena φ isomorfisma, maka φ(G) = H, sehingga H juga komutatif.

Selain itu, φ juga memiliki invers yang merupakan isomorfisma, sehingga jika H komutatif maka φ⁻¹(H) = G komutatif.

E. Keawetan Siklisitas

Diberikan φ : G → H suatu isomorfisma. Grup G siklis jika dan hanya jika H siklis.

Bukti:

Telah kita ketahui bahwa jika G grup siklis, maka φ(G) juga grup siklis. Karena φ isomorfisma, maka φ(G) = H, sehingga H juga siklis.

Selain itu, φ juga memiliki invers yang merupakan isomorfisma, sehingga jika H siklis maka φ⁻¹(H) = G siklis.

2. Ekivalensi Relasi Isomorfik

A. Relasi Isomorfik

Misalkan 𝒢 menyatakan himpunan semua grup. Maka hubungan isomorfik (≅) adalah suatu relasi pada 𝒢.

Homomorfisma identitas merupakan isomorfisma, ini menyatakan bahwa setiap grup isomorfik dengan dirinya sendiri, yaitu G ≅ G, untuk setiap grup G. Dengan kata lain, ≅ bersifat refleksif.

Invers dari isomorfisma merupakan isomorfisma, ini menyatakan bahwa, untuk setiap G, H ∈ 𝒢 berlaku bahwa jika G ≅ H, maka H ≅ G. Akibatnya ≅ bersifat simetris. 

Komposisi sesama isomorfisma menghasilkan isomorfisma,ini menyatakan bahwa, untuk setiap G, H, K ∈ 𝒢 berlaku bahwa jika G ≅ H dan H ≅ K, maka H ≅ K, sehingga ≅ juga bersifat transitif.

Dengan demikian, hubungan isomorfik merupakan suatu relasi ekivalen pada himpunan semua grup. Dua grup yang isomorfik memiliki sifat-sifat yang persis sama. Kita katakan grup-grup yang berada dalam kelas ekivalen yang sama mempunyai struktur aljabar yang sama. Isomorfisma antara dua grup yang isomorfik pada dasarnya adalah memberi nama berbeda pada obyek-obyek yang sama.

B. Grup Berorde 4

Ketika kita mengkonstruksi grup berorde 4, kita menghadapi pilihan untuk aa, yaitu e, b atau c. Kita akan lihat bahwa pilihan aa = b dan aa = c akan berakhir pada dua grup yang isomorfik. Ini kita peroleh karena kedua pilihan tersebut sama-sama menghasilkan grup siklis dengan pembangun a. Yang membedakan keduanya adalah a² = b dan a³ = c pada satu grup, sedangkan pada grup satu lagi yang berlaku adalah a² = c dan a³ = b.

Pilihan aa = e menghasilkan dua grup berbeda. Pilihan bb = a kembali memberikan grup siklis dengan pembangun b, sementara pilihan bb = e tidak akan menghasilkan grup siklis karena a, b dan c ketiganya berorde 2 < 4. Dengan demikian, ada dua macam grup berorde 4.

Grup berorde 4 yang siklis isomorfik dengan (ℤ₄, +) dan grup berorde 4 yang tidak siklis isomorfik dengan (cop(ℤ₈), ·).

Grup berorde 4 yang tidak siklis dikenal dengan nama Klein Vierergruppe, nama ini berasal dari Felix Klein di tahun 1884. Vierergruppe artinya four-group atau grup-4.

3. Isomorfisitas Grup Siklis

A. Grup Siklis Berhingga

Diberikan G grup siklis berhingga dengan o(G) = n. Akibatnya G isomorfik dengan (ℤₙ, +).

Bukti:

Diketahui G = 〈a〉 adalah grup siklis dengan order n. (∀g ∈ G)(∃k ∈ ℕ) ∋ g = aᵏ.

Misal didefinisikan fungsi f : G → ℤₙ dengan aᵏ ↦ k̅.

Ambil sebarang aᵏ, aᵗ di G. Selanjutnya diperoleh

f(aᵏaᵗ) = f(aᵏ⁺ᵗ) = k̅ + t̅ = f(aᵏ)f(aᵗ).

Ini berarti f merupakan homomorfisma

Selanjutnya ambil sebarang elemen aᵏ, aᵗ di G dengan f(aᵏ) = f(aᵗ), diperoleh

f(aᵏ) = f(aᵗ)

k̅ = t̅

k – t = nm,

untuk suatu bilangan bulat m. Artinya n | (k – t) dan aᵏ⁻ᵗ = e yang ekivalen dengan aᵏ = aᵗ. Jadi f bersifat injektif.

Karena f injektif, sementara G dan ℤₙ grup berhingga dengan jumlah elemen sama yaitu n, disimpulkan f bersifat surjektif. Jadi terbukti f merupakan isomorfisma, dengan kata lain G ≅ ℤₙ.

B. Grup Siklis Tak Hingga

Diberikan G grup siklis tak hingga. Akibatnya G isomorfik dengan (ℤ, +).

Bukti:

Diketahui G = 〈a〉 adalah grup siklis tak hingga. Akibatnya (∀g ∈ G)(∃k ∈ ℤ) ∋ g = aᵏ.

Misal didefinisikan fungsi f : G → ℤₙ dengan aᵏ ↦ k.

Ambil sebarang aᵏ, aᵗ di G. Selanjutnya diperoleh

f(aᵏaᵗ) = f(aᵏ⁺ᵗ) = k + t = f(aᵏ)f(aᵗ).

Ini berarti f merupakan homomorfisma

Selanjutnya ambil sebarang elemen aᵏ, aᵗ di G dengan f(aᵏ) = f(aᵗ), diperoleh

f(aᵏ) = f(aᵗ)

k = t

aᵏ = aᵗ

Jadi f bersifat injektif.

Selanjutnya ambil sebarang n ∈ ℤ. Berdasarkan definisi f, terdapat aⁿ ∈ G sehingga f(aⁿ) = n. Jadi, f bersifat surjektif.

Dengan demikian G ≅ ℤ.

C. Isomorfisitas Grup Siklis

Karena hubungan isomorfik merupakan relasi ekivalen, berdasarkan poin (A) dan (B), kita dapat menyimpulkan bahwa grup-grup siklis yang berorde sama pasti isomorfik.

4. Teorema Cayley dan Kesamaan Kardinalitas

A. Teorema Cayley

Setiap grup G isomorfik dengan suatu grup permutasi pada G.

Bukti:

Perhatikan fungsi L yang mengaitkan g ∈ G dengan permutasi L(g) ∈ Sim(G) yang didefinisikan melalui perkalian kiri L(g)(a) = ga, untuk setiap a ∈ G. Perhatikan bahwa L(g) adalah sebuah fungsi bijektif dari G ke G, tetapi bukan endomorfisma pada G, kecuali kalau g = e. Di lain pihak L adalah fungsi dari G ke Sim(G).

Misalkan g, h ∈ G. Maka L(gh)(a) = (gh)a = g(ha) = L(g)(ha) = L(g)(L(h)(a)) = (L(g) · L(h))(x), untuk setiap a ∈ G. Ini berarti L(gh) = L(g)L(h) di Sim(G). Jadi L adalah homomorfisma.

Selanjutnya misalkan g ∈ Inti(L). Maka L(g) = ι, yaitu L(g)(a) = a, untuk semua a ∈ G. Jadi ga = a, ∀a ∈ G, yang berarti g = e. Dengan demikian, L adalah suatu monomorfisma. Karena L(G) ≤ Sim(G), maka kita mempunyai G ≅ L(G).

B. Kesamaan Kardinalitas Dua Himpunan

Jika himpunan A dan B memiliki kardinalitas yang sama (terdapat fungsi bijektif dari A ke B), maka S(A) ≅ S(B).

Kasus khusus untuk B = {1, 2, ..., n}:

Untuk setiap himpunan A dengan kardinalitas n berlaku Sₙ ≅ S(A).

Akibatnya, setiap grup dengan n elemen isomorfik dengan suatu grup permutasi pada {1, 2, ..., n}.

5. Otomorfisma Dalam

A. Pembentukan Otomorfisma Dalam

Himpunan Aut(G) dari semua otomorfisma pada G membentuk suatu grup terhadap operasi komposisi. Perhatikan bahwa Aut(G) adalah suatu subgrup dari Sim(G).

Salah satu subset dari Aut(G) adalah Inn(G) yang terdiri dari semua otomorfisma φₐ yang mengaitkan setiap p ∈ G dengan apa⁻¹, di mana a adalah unsur G tertentu. Otomorfisma dalam bentuk ini kita namakan otomorfisma dalam. Perhatikan bahwa G grup abel jika dan hanya jika Inn(G) terdiri dari hanya pemetaan identitas.

Bukti bahwa φₐ merupakan otomorfisma:

Misalkan p, q ∈ G dan φₐ(p) = φₐ(q). Maka apa⁻¹ = aqa⁻¹. Dengan mengalikan persamaan di sebelah kiri dengan a⁻¹ dan di sebelah kanan dengan a, kita peroleh p = q. Dengan demikian φₐ bersifat injektif.

Misalkan p, q ∈ G. Maka φₐ(pq) = a(pq)a⁻¹ = ap(a⁻¹a)qa⁻¹ = (apa⁻¹)(aqa⁻¹) = φₐ(p)φₐ(q). Jadi φₐ suatu homomorfisma.

Untuk setiap p ∈ G berlaku p = (aa⁻¹)p(aa⁻¹) = a(a⁻¹pa)a⁻¹ = φₐ(a⁻¹pa) ∈ φₐ(G). Jadi φₐ bersifat surjektif.

Jadi φₐ adalah homomorfisma dari G ke G yang bersifat bijektif, sehingga φₐ adalah otomorfisma pada G.

B. Kesubgrupan Himpunan Otomorfisma Dalam

Himpunan Inn(G) merupakan suatu subgrup normal dari Aut(G).

Bukti:

Misalkan φᵤ, φᵥ ∈ Inn(G). Maka komposisi φᵤ dan φᵥ memenuhi

(φᵤ ∘ φᵥ)(p) = φᵤ(φᵥ(p)) = φᵤ(vpv⁻¹) = u(vpv⁻¹)u⁻¹ = (uv)p(v⁻¹u⁻¹) = (uv)p(uv)⁻¹ = φᵤᵥ(p),

untuk setiap p ∈ G. Dengan demikian φᵤ ∘ φᵥ = φᵤᵥ. Jadi Inn(G) tertutup terhadap operasi komposisi.

Misalkan φᵤ ∈ Inn(G). Karena φᵤ suatu isomorfisma, maka φᵤ memiliki invers φᵤ⁻¹. Karena φᵤ ∘ φᵤ₋₁ = φᵤᵤ₋₁ = φₑ, homomorfisma identitas pada G, maka φᵤ⁻¹ = φᵤ₋₁ ∈ Inn(G). Jadi Inn(G) tertutup terhadap invers. Jadi Inn(G) ≤ Aut(G).

Selanjutnya pilih χ ∈ Aut(G) dan untuk sebarang p ∈ G diperoleh

(χφₐχ⁻¹)(p) = χ(φₐ(χ⁻¹(p))) = χ(a(χ⁻¹(p))a⁻¹) = χ(a)χ(χ⁻¹(p))χ(a⁻¹) = χ(a)p(χ(a))⁻¹ = φᵪ₍ₐ₎(p). 

Jadi χφₐχ⁻¹ ∈ Inn(G), terbukti Inn(G) adalah subgrup normal di Aut(G).

C. Otomorfisma Dalam Grup Abel

Jika G grup Abel, maka Inn(G) = {ι}.

Bukti:

Perhatikan bahwa

(∀a, p ∈ G). φₐ(p) = apa⁻¹ = paa⁻¹ = pe = p

Ini berarti (∀a ∈ G).φₐ = ι

D. Hubungan Berkonjugasi

Dua elemen p, q ∈ G dikatakan berkonjugasi jika (∃a ∈ G) ∋ q = φₐ(p).

Jelas bahwa setiap elemen berkonjugasi dengan dirinya sendiri, dimana untuk sebarang p ∈ G selalu berlaku p = φₑ(p) = epe⁻¹. Ini berarti relasi berkonjugasi bersifat refleksif.

Selanjutnya misal q = φₐ(p) = apa⁻¹, jelas bahwa p = a⁻¹qa = φₐ⁻¹(p). Ini berarti relasi berkonjugasi bersifat simetris.

Misal q = φᵤ(p) = upu⁻¹ dan r = φᵥ(q) = vqv⁻¹, kita peroleh r = vqv⁻¹ = vupu⁻¹v⁻¹ = (vu)p(vu)⁻¹ = φᵥᵤ(p). Ini berarti relasi berkonjugasi bersifat transitif.

Jadi, hubungan berkonjugasi merupakan relasi ekivalen di G.

E. Subgrup Konjugasi

Bila kita pilih φ suatu homomorfisma dalam φₐ dari G, maka aUa⁻¹ adalah subgrup dari G. Subgrup semacam ini kita namakan subgrup konjugasi dari U. Dua subgrup dari G kita katakan saling konjugasi jika yang satu merupakan peta dari yang lainnya oleh suatu homomorfisma dalam dari G.

F. Pengaitan Kepada Invers

Jika pengaitan a ↦ a⁻¹ pada grup G memberikan otomorfisma, maka G grup Abel.

Bukti:

Misalkan φ adalah otomorfisma pada G dengan φ(a) = a⁻¹, untuk setiap a ∈ G. Misalkan u, v ∈ G. Maka uv = [(uv)⁻¹]⁻¹ = φ((uv)⁻¹) = φ(v⁻¹u⁻¹) = φ(v⁻¹)φ(u⁻¹) = (v⁻¹)⁻¹(u⁻¹)⁻¹ = vu. Dengan demikian uv = vu, untuk semua u, v ∈ G. Jadi G grup abel.

G. Fungsi dari G ke Aut(G)

Perhatikan fungsi Φ dari G ke Aut(G) yang didefinisikan oleh pengaitan Φ(a) = φₐ, untuk setiap a ∈ G. Fungsi ini merupakan suatu homomorfisma yang tidak selalu merupakan monomorfisma.

Perhatikan bahwa inti dari Φ adalah

Inti(Φ) = {a ∈ G : φₐ = ι} = {a ∈ G : φₐ(p) = p, ∀p ∈ G} = {a ∈ G : apa⁻¹ = p, ∀p ∈ G}

= {a ∈ G : ap = pa, ∀p ∈ G} = C(G).

Jadi, inti dari Φ adalah C(G). Oleh karena itu untuk grup G dengan C(G) ≠ {e} bisa dipastikan fungsi Φ tidak injektif, sehingga bukan monomorfisma.

H. Otomorfisma Lempar

Misalkan G grup hingga dan φ ∈ Aut(G) yang memenuhi φ(s) = s ⇔ s = e, berlaku:

(∀s ∈ G)(∃t ∈ G) ∋ s = t⁻¹φ(t).

Bukti:

Perhatikan fungsi f : G → G dimana f(u) = u⁻¹φ(u), untuk setiap u ∈ G. Misalkan f(w) = φ(v). Maka w⁻¹φ(w) = v⁻¹φ(v), sehingga wv⁻¹ = φ(w)φ(v)⁻¹ = φ(w)φ(v⁻¹) = φ(wv⁻¹). Karena φ(s) = s ⇔ s = e, maka wv⁻¹ = e, akibatnya w = v. Ini menunjukkan bahwa φ bersifat injektif. Karena G hingga, maka f bijektif.

Misalkan s ∈ G. Maka terdapat t ∈ G sehingga s = f(t) = t⁻¹φ(t).

6. Subgrup Karakteristik

Subgrup H dari grup G dikatakan karakteristik jika φ(H) ≤ H, untuk semua φ ∈ Aut(G). 

Klaim: Setiap subgrup karakteristik dari G adalah subgrup normal dari G.

Bukti:

Perlu diketahui bahwa persyaratan aHa⁻¹ ⊆ H ekivalen dengan φₐ(H) ⊆ H, dimana φₐ adalah otomorfisma dalam yang ditentukan oleh unsur a. Ingat kembali bahwa setiap otomorfisma dalam adalah unsur Inn(G) ≤ Aut(G). Dengan demikian, jika H subgrup karakteristik dari G, maka φ(H) ≤ H, untuk semua φ ∈ Aut(G), khususnya untuk semua φ ∈ Inn(G), sehingga aHa⁻¹ ≤ H untuk semua a ∈ G. Jadi jika H subgrup karakteristik dari G, maka H adalah subgrup normal dari G.