Teorema-Teorema Homomorfisma Grup

1. Teorema Utama Homomorfisma Grup

A. Ketunggalan Homomorfisma Penghantar

Diberikan homomorfisma φ : G → G', H ◁ G dengan H ⊆ Ker(f) dan π : G → G/H adalah homomorfisma natural. Terdapat dengan tunggal homomorfisma η : G/H → G' sehingga φ = ηπ.

Bukti:

Misal didefinisikan aturan η: G/H → G' dengan aH ↦ φ(a), untuk sebarang aH ∈ G/H.

Ambil elemen-elemen aH dan bH di G/H yang memenuhi aH = bH. Akibatnya b⁻¹a ∈ H. Padahal diketahui H ⊆ Ker(φ), jadi b⁻¹a ∈ H ⊆ Ker(φ). Selanjutnya φ(b⁻¹a) = e', dengan e' adalah elemen identitas di G'. Kemudian diperoleh

φ(b⁻¹a) = e'

φ(b⁻¹)φ(a) = e'

(φ(b))⁻¹φ(a) = e'

φ(a) = φ(b)

η(aH) = η(bH).

Dengan demikian terbukti η ada.

Selanjutnya ambil sebarang elemen aH, bH ∈ G/H, berlaku:

η(aHbH) = η(abH) = φ(ab) = φ(a)φ(b) = η(aH)η(bH).

Jadi terbukti η merupakan homomorfisma grup. 

Sifat yang dimiliki η berdasarkan definisinya adalah sebagai berikut:

(∀a ∈ G). (ηπ)(a) = η(π(a)) = η(aH) = φ(a), jadi φ = ηπ.

Misalkan terdapat h : G/H → G' dengan φ = hπ. Akibatnya untuk setiap aH ∈ G/H berlaku

η(aH) = η(π(a)) = (ηπ)(a) = (hπ)(a) = h(aH).

Jadi disimpulkan η = h, yang berarti η tunggal.

B. Kriteria Monomorfisma untuk Penghantar

Diberikan homomorfisma φ: G → G', H ◁ G dengan H ⊆ Ker(φ) dan π: G → G/H adalah homomorfisma natural. Selanjutnya η merupakan monomorfisma jika dan hanya jika H = Ker(φ).

Bukti:

(⇒). Diketahui η suatu monomorfisma dan sesuai asumsi sudah diketahui bahwa H ⊆ Ker(φ). Tinggal dibuktikan Ker(φ) ⊆ H.

Ambil sebarang p ∈ Ker(φ), artinya φ(p) = e'. Lebih jauh lagi η(pH) = φ(p) = e'. Padahal dari sifat homomorfisma, bayangan eH sebagai elemen identitas di G/H adalah e', yaitu η(eH) = e'. Karena η bersifat injektif dan η(pH) = η(eH), disimpulkan pH = eH yang ekivalen dengan p⁻¹e ∈ H. Artinya terdapat q ∈ H sehingga p⁻¹e = q yang berarti p = q ∈ H. Jadi terbukti p ∈ H.

(⇐). Diketahui H = Ker(φ). Akan dibuktikan η adalah monomorfisma.

Ambil sebarang dua elemen di G/H yaitu aH dan bH dengan η(aH) = η(bH). Akibatnya diperoleh:

η(aH) = η(bH)

φ(a) = φ(b)

(φ(b))⁻¹φ(a) = e'

φ(b⁻¹)φ(a) = e'

φ(b⁻¹a) = e'

Dari perhitungan tersebut disimpulkan bahwa b⁻¹a ∈ Ker(φ) = H. Jadi aH = bH. Terbukti η adalah monomorfisma.

Lebih lanjut:

Misal η : G/Ker(φ) → G' merupakan monomorfisma, sehingga Ker(η) = Ker(φ). Di pihak lain, ketika memperhatikan φ : G → G' mudah difahami bahwa φ : G → Im(φ) bersifat surjektif. Lebih jauh lagi berdasarkan definisi η diperoleh:

Im(η) = {b ∈ G' | (∃aH ∈ G/H). η(aH) = b} = {b ∈ G' | (∃aH ∈ G/H). φ(a) = b}

= {b ∈ G' | (∃a ∈ G). φ(a) = b} = Im(φ).

C. Keisomorfikan Grup Faktor atas Kernel dengan Range

Diberikan homomorfisma φ : G → G', H ◁ G dengan H ⊆ Ker(φ) dan π : G → G/H adalah homomorfisma natural. Akibatnya G/Ker(φ) ≅ Im(φ).

Bukti:

Perhatikan homomorfisma η : G/Ker(φ) → Im(φ).

Dari keterangan lebih lanjut pada poin (B) telah kita ketahui bahwa Ker(φ) = Ker(η) dan Im(φ) = Im(η). Dengan demikian η bersifat injektif sekaligus surjektif. Jadi terbukti G/Ker(φ) ≅ Im(φ).

Lebih lanjut:

Kasus khusus untuk φ epimorfisma, berlaku G/Ker(φ) ≅ G'.

D. Teorema Dasar Homomorfisma

Diberikan dua grup G dan H; dan φ homomorfisma dari G ke H, berlaku G/Ker(φ) ≅ φ(G).

Bukti:

Misal Inti(φ) = N. Definisikan pengaitan Na ↦ φ(a), untuk setiap a ∈ G. Misalkan Na = Nb. Maka b ∈ Na, yaitu b = na, untuk suatu n ∈ N. Maka φ(b) = φ(n)φ(a) = eφ(a) = φ(a). Dengan demikian pengaitan ini mendefinisikan suatu fungsi τ: G/N → φ(G). Fungsi τ ini bersifat surjektif. Perhatikan bahwa Inti(τ) tidak lain dari N yang merupakan unsur identitas G/N. Dengan demikian τ injektif. Jadi τ suatu isomorfisma dari G/N ke φ(G), artinya G/N ≅ φ(G).

E. Kriteria Kernel untuk Subgrup Normal

Misalkan H ≤ G, berlaku:

H ◁ G jika dan hanya jika terdapat homomorfisma φ dari G sehingga H = Inti(φ).

Bukti:

Kita definisikan fungsi dari G ke G/N melalui π(a) = Na, untuk setiap a ∈ G. Maka untuk setiap a, b ∈ G berlaku π(ab) = Nab = NaNb = π(a)π(b).

Jadi π adalah suatu homomorfisma dari G ke G/N. Perhatikan bahwa untuk setiap a ∈ N berlaku π(a) = Na = N; jadi N ⊆ Inti(π). Sekarang misalkan a ∈ Inti(π). Maka N = π(a) = Na. Dengan pengertian koset sebagai kelas ekivalen kita peroleh a ∈ N. Jadi N = Inti(π).

Tambahan:

Fungsi π ini disebut sebagai fungsi kanonik. Dengan fungsi kanonik, kita dapat membandingkan subgrup-subgrup dari G dengan subgrup-subgrup dari G/N.

F. Subgrup Normal dan Subgrup dari Grup Faktor

Diberikan grup G dengan N ◁ G, berlaku:

(i) Jika U ≤ G, maka NU/N ≤ G/N

(ii) Jika V ≤ G/N, maka terdapat U dengan N ◁ U ≤ G sehingga V = U/N

(iii) Terdapat fungsi bijektif antara himpunan semua subgrup dari G yang memuat N dengan himpunan semua subgrup dari G/N.

Bukti:

Misalkan π fungsi kanonik dari G ke G/N. Jika U ≤ G, kita peroleh π(U) = {π(a): a ∈ U} = {Na : a ∈ U}. Jadi peta subgrup dari G oleh π adalah himpunan semua koset dari N dalam G yang memuat suatu elemen subgrup tersebut. Hendaknya diingat bahwa notasi U/N memerlukan syarat N ≤ U karena elemen-elemen U/N pada dasarnya adalah kelas-kelas ekivalen yang membentuk partisi pada U (yang ditimbulkan) oleh N.

• Bukti untuk (i)

Telah kita lihat bahwa π(U) = {Na : a ∈ U}, yaitu peta dari U oleh π adalah himpunan semua koset dari N dalam G yang memuat suatu elemen U. Karena π homomorfisma grup, maka π(U) mestilah merupakan subgrup dari π(G) = G/N. Kita tinggal menunjukkan bahwa π(U) = NU/N. Ini dapat kita lakukan dengan menunjukkan bahwa π(U) merupakan partisi pada NU.

Karena elemen-elemen π(U) berupa koset, maka mestilah elemen-elemen tersebut sepasang-sepasang saling lepas. Dengan demikian, kita cukup menunjukkan bahwa NU = ∪ₓ∈ᵤ Nx. Akan tetapi, ini jelas karena

b ∈ NU ⇔ b = nu, untuk suatu n ∈ N, u ∈ U

⇔ b ∈ Nu, untuk suatu u ∈ U

⇔ b ∈ ∪ₓ∈ᵤ Na.

Terbukti pernyataan (i)

• Bukti untuk (ii)

Misalkan V subgrup dari G/N. Maka elemen-elemen V berbentuk Na dengan a ∈ G. Kita klaim bahwa U = {a ∈ G : π(a) ∈ V} = {a ∈ G : Na ∈ V} adalah subgrup yang kita inginkan. Pertama-tama, kita tunjukkan bahwa memang U ≤ G. Ini kita peroleh karena homomorfisma grup dan V subgrup.

Berikutnya, karena V ≤ G/N, maka V memuat elemen identitas dari G/N, sehingga U memuat Inti(π) = N. Akhirnya kita perlihatkan bahwa V = U/N. Ini kita peroleh dari definisi U: V = π(U) = U/N. Jadi pernyataan (ii) terbukti.

• Bukti untuk (iii)

Misalkan 𝒰 = {U ≤ G: N ⊆ U} dan 𝒱 = {V: V ≤ G/N}. Definisikan fungsi φ: 𝒰 → 𝒱, dengan φ(U) = π(U), untuk semua U ∈ 𝒰. Untuk U ∈ 𝒱, kita dapat menuliskan π(U) = U/N yang merupakan subgrup dari G/N karena π homomorfisma grup. Akibatnya φ(U) = U/N ∈ 𝒱, untuk semua U ∈ 𝒰, sehingga ada.

Pernyataan ini berarti tidak lain adalah fungsi surjektif.

Misalkan U, V ∈ 𝒰 dengan φ(U) = φ(V). Maka U/N = V/N. Akan tetapi, hal terakhir ini mengatakan bahwa semua kelas ekivalen partisi pada U oleh N juga membentuk partisi pada V. Secara persis, U = ∪ₓ∈ᵤ Na = V. Hal ini menunjukkan bahwa φ juga injektif.

Jadi φ adalah pemetaan bijektif antara U dan V dan pernyataan (iii) terbukti.

2. Bayangan Homomorfis

A. Definisi Bayangan Homomorfis

Suatu grup H merupakan bayangan homomorfis dari grup G jika terdapat epimorfisma dari G ke H.

B. Eksistensi Bayangan Homomorfis

Misal φ homomorfisma dari grup G ke H. Subgrup φ(G) dari H disebut bayangan homomorfis dari G. Menurut teorema dasar homomorfisma dan kriteria kernel untuk subgrup normal, bayangan homomorfis dari G dapat diperoleh dari subgrup normalnya.

Karena setiap grup senantiasa memiliki paling sedikit dua subgrup normal, G memiliki paling sedikit dua bayangan homomorfis. Kedua subgrup normal tersebut adalah subgrup identitas ⟨e⟩ dan G sendiri yang memberikan grup-grup faktor berturut-turut G/⟨e⟩ ≅ G dan G/G ≅ ⟨e⟩. Akibatnya, bayangan homomorfik G paling tidak adalah G sendiri dan grup dengan satu elemen. Grup terakhir ini kita tuliskan sebagai ℤ₁.

Contoh bayangan homomorfis tak trivial adalah grup perkalian bilangan real tak nol yang merupakan bayangan homomorfis dari grup GL₂(ℝ). Dimana misal didefinisikan d(A) = det(A) untuk setiap A di GL₂(ℝ), sebagaimana yang telah kita ketahui bahwa fungsi d ini merupakan homomorfisma grup. Selanjutnya untuk sebarang bilangan real taknol r selalu ada p₁, q₁, p₂, q₂ sehingga p₁q₂ – p₂q₁ = r, yang mana ini merupakan rumus determinan matriks 2 × 2. Ini berarti fungsi d merupakan epimorfisma, sehingga (ℝ\{0}, ·) merupakan bayangan homomorfis dari GL₂(ℝ).

3. Teorema Isomorfisma

A. Teorema Isomorfisma 1 (Teorema Belah Ketupat)

Misalkan G grup dan H, N dua subgrup dari G. Misalkan pula N ◁ G. Maka N∩H ◁ H dan (N∩H)/N ≅ H/(N∩H).

Bukti:

• Bukti N∩H ◁ H

Misalkan n ∈ N∩H dan h ∈ H. Karena n, h ∈ H maka nhn⁻¹ ∈ H. Sedangkan karena N ◁ G maka nhn⁻¹ ∈ N. Dengan demikian nhn⁻¹ ∈ N∩H. Jadi N∩H ◁ H.

• Bukti (N∩H)/N ≅ H/(N∩H)

Misal kita definisikan fungsi dari H ke NH/N melalui pengaitan φ : h ∈ H → Nh ∈ NH/N. Karena untuk setiap h₁h₂ ∈ H berlaku φ(h₁h₂) = Nh₁h₂ = (Nh₁)(Nh₂) = φ(h₁)φ(h₂) maka φ adalah suatu homomorfisma. Fungsi φ ini juga bersifat surjektif karena setiap koset dari N yang dapat diwakili suatu elemen H adalah peta dari elemen H tersebut oleh φ. Berikutnya akan kita perlihatkan bahwa Inti(φ) = N∩H. Perhatikan bahwa setiap elemen H yang juga elemen N dipetakan oleh φ ke koset N, elemen identitas NH/N. Dengan demikian N∩H ⊆ Inti(φ). Sekarang misalkan h ∈ Inti(φ). Maka φ(h) = Nh = N. Dengan demikian h ∈ N. Karena domain φ adalah H maka juga h ∈ H. Dengan demikian h ∈ N∩H. Jadi Inti(φ) ⊆ N∩H. Jadi Inti(φ) = N∩H. Dengan teorema dasar homomorfisma, kita peroleh H/N∩H ≅ NH/N.

B. Hasil Kali Langsung Internal

Bila teorema isomorfisma pertama dikenakan pada situasi di mana N ∩ H = ⟨e⟩, kita mempunyai NH/N ≅ H. Dalam hal ini kita katakan bahwa NH adalah hasilkali langsung internal dari N dan H.

C. Hasil Kali Langsung Eksternal

Misal N dan H keduanya grup, kita dapat membentuk hasilkali langsung antara keduanya N × H. Hasilkali langsung ini kadang-kadang disebut hasilkali langsung eksternal untuk membedakan dengan hasilkali langsung internal di atas. Perhatikan bahwa hasilkali langsung eksternal N × H dapat dibuat walaupun N ∩ H ≠ ⟨e⟩.

D. Hubungan Kedua Hasil Kali Langsung pada Grup Abel

Misalkan G grup abel dan H, N dua subgrup dari G. Misalkan pula N ∩ H = ⟨e⟩. Maka NH ≅ N × H.

Bukti:

Misalkan G, H, N memenuhi asumsi pada sifat. Maka NH/N ≅ H. Misalkan φ suatu isomorfisma dari NH/N pada H. Kita konstruksi pengaitan a ∈ NH ↦ (aφ(Na⁻¹), φ(Na)). Maka φ(Na) ∈ H, demikian pula φ(Na⁻¹) ∈ H.

Akan ditunjukkan bahwa b = aφ(Na⁻¹) ∈ N.

Perhatikan bahwa φ(Nb) = φ(N(aφ(Na⁻¹))) 

= φ((Na)(Nφ(Na⁻¹))) (definisi perkalian koset) 

= φ(Na)φ(Nφ(Na⁻¹)) (φ homomorfisma) 

= φ(Na)φ(Na⁻¹) (φ homomorfisma dari NH/N pada H) 

= φ(N) (sifat homomorfisma dan perkalian koset).

Dengan demikian φ(Nb) = φ(N) dan, karena φ injektif, Nb = N, sehingga b ∈ N. Kita peroleh bahwa pengaitan a ∈ NH ↦ (aφ(Na⁻¹), φ(Na)) mendefinisikan suatu fungsi ρ: NH → N × H.

Selanjutnya misalkan a, b ∈ NH.

Maka ρ(ab) = (abφ(N(ab)⁻¹), φ(Nab)) = (abφ(Nb⁻¹a⁻¹), φ(Nab)) 

= (abφ((Nb⁻¹)(Na⁻¹)), φ((Na)(Nb))) (perkalian koset) 

= (abφ(Nb⁻¹)φ(Na⁻¹), φ(Na)φ(Nb)) (sifat homomorfisma) 

= (aφ(Na⁻¹)bφ(Nb⁻¹), φ(Na)φ(Nb)) (sifat komutatif G) 

= (aφ(Na⁻¹), φ(Na))(bφ(Nb⁻¹), φ(Nb)) (perkalian pada hasilkali langsung) = ρ(a)ρ(b).

Jadi, ρ merupakan homomorfisma.

Selanjutnya misalkan (n, h) ∈ N × H. Pilih a = nh ∈ NH. Kita anggap bahwa ρ(a) = (n, h). Perhatikan bahwa φ(Na) = φ(Nnh) = φ(Nh) = h. Akibatnya, φ(Na⁻¹) = φ((Na)⁻¹) = (φ(Na))⁻¹ = h⁻¹, sehingga aφ(Na⁻¹) = ah⁻¹ = n. Jadi ρ(a) = (aφ(Na⁻¹), φ(Na)) = (n, h). Jadi ρ surjektif.

Misalkan a, b ∈ NH memenuhi ρ(a) = ρ(b). Ini berarti bahwa aφ(Na⁻¹) = bφ(Nb⁻¹) dan φ(Na) = φ(Nb). Dari hubungan kedua kita dapatkan φ(Na⁻¹) = (φ(Na))⁻¹ = (φ(Nb))⁻¹ = φ(Nb⁻¹). Akibatnya, hubungan pertama menjadi aφ(Na⁻¹) = bφ(Nb⁻¹) dan dengan hukum kanselasi kita peroleh a = b. Jadi ρ suatu isomorfisma.

Jadi, NH ≅ N × H.

E. Teorema Isomorfisma 2 (Grup Faktor dari Grup Faktor)

Misalkan G grup dan N, U subgrup-subgrup normal dari G. Jika U memuat N, maka (G/N)/(U/N) ≅ G/U.

Bukti:

Buat pengaitan Na ∈ G/N ↦ Ua ∈ G/U. Sebelum dapat mengatakan bahwa pengaitan ini membangun suatu fungsi dari G/N ke G/U, kita perlu memeriksa keterdefinisian pengaitan ini. Misalkan a, b ∈ G dengan Na = Nb. Maka b ∈ Na.

Karena N ≤ U, maka Na ⊆ Ua. Dengan demikian b ∈ Ua. Jadi Ua = Ub. Dengan demikian pengaitan tersebut mendefinisikan fungsi φ: G/N → G/U. Misalkan a, b ∈ G. Maka φ(NaNb) = φ(Nab) = Uab = UaUb = φ(Na)φ(Nb). Ini menunjukkan bahwa φ adalah suatu homomorfisma.

Homomorfisma φ bersifat surjektif karena koset Ua adalah peta dari koset Na, untuk setiap a ∈ G. Untuk menentukan Inti(φ), perhatikan bahwa Na ∈ Inti(φ) jika dan hanya jika U = φ(Na) = Ua. Jika dan hanya jika a ∈ U, yang berarti Na ∈ U/N. Jadi, Inti(φ) = U/N.

Dengan demikian (G/N)/(U/N) ≅ G/U.

F. Grup Faktor Hasil Kali Langsung Eksternal

Misalkan G, H dua grup dengan hasil kali langsung eksternalnya G × H. Jika f elemen identitas di H maka G ≅ G × ⟨f⟩ dan (G × H)/(G × ⟨f⟩) ≅ H.

4. Teorema Korespondensi

A. Teorema Korespondensi

Diberikan homomorfisma φ dari grup G ke grup G' yang bersifat surjektif. Selanjutnya φ membangkitkan suatu korespondensi satu-satu antara keluarga subgrup-subgrup di G yang memuat kernel φ dan subgrup-subgrup di G'.

Bukti:

Diketahui φ : G → G' adalah suatu epimorfisma. Pertama dibentuk keluarga subgrup-subgrup G yang memuat Ker(φ), yaitu: ℋ = {H | H adalah subgrup G, Ker(φ) ⊆ H}.

Jelas ℋ tidak kosong karena paling tidak memuat Ker(φ) itu sendiri. Selanjutnya perhatikan keluarga subgrup-subgrup G' sebagai berikut: 𝒦 = {K | K adalah subgrup G'}. Akan dibentuk suatu korespondensi atau fungsi satu-satu antara keluarga ℋ dan keluarga 𝒦. Didefinisikan fungsi berikut:

φ*: ℋ → 𝒦, H ↦ φ*(H), dengan φ*(H) = {φ(h) | h ∈ H}.

Berdasarkan definisi φ* terlihat bahwa setiap subgrup H dipetakan ke himpunan bayangan elemen-elemen H oleh homomorfisma φ. Jadi jelas bahwa φ*(H) merupakan subgrup di G'. Karena bayangan pemetaan φ adalah tunggal, disimpulkan φ*(H) ∈ 𝒦 tunggal. Jadi terbukti φ* adalah fungsi dari ℋ ke 𝒦.

Ambil sebarang K ∈ 𝒦. Perhatikan himpunan berikut:

φ⁻¹(K) = {g ∈ G | φ(g) ∈ K}.

Kemudian ambil sebarang elemen a ∈ Ker(φ), artinya φ(a) = e'. Karena setiap subgrup pasti memuat elemen identitas grupnya dan berdasarkan fakta bahwa K adalah subgrup di G', disimpulkan bahwa φ(a) = e' ∈ K. Dengan kata lain a ∈ φ⁻¹(K), dan akibatnya Ker(φ) ⊆ φ⁻¹(K). Namakan H₀ = φ⁻¹(K).

Selanjutnya ambil sebarang a, b ∈ H₀. Akibatnya φ(a), φ(b) ∈ K dan φ(ab⁻¹) = φ(a)φ(b⁻¹) = φ(a)φ(b)⁻¹. Jelas bahwa φ(b)⁻¹ ∈ K karena φ(b) ∈ K dan K adalah subgrup. Jadi φ(a)φ(b)⁻¹ ∈ K, yang berakibat ab⁻¹ ∈ H₀. Terbukti H₀ adalah subgrup di G yang memuat Ker(φ), jadi H₀ ∈ ℋ, dengan sifat φ*(H₀) = K.

Langkah selanjutnya ambil subgrup H, L ∈ ℋ yang memenuhi φ*(H) = φ*(L). Hal ini berarti φ*(H) = {φ(h) | h ∈ H} = {φ(n) | n ∈ L} = φ*(L). Untuk sebarang h ∈ H terdapat n ∈ L sehingga φ(h) = φ(n) dan diperoleh perhitungan berikut:

φ(h) = φ(n), φ(h)φ(n)⁻¹ = φ(n)φ(n)⁻¹, φ(h)φ(n)⁻¹ = e', φ(hn⁻¹) = e'.

Jadi hn⁻¹ ∈ Ker(φ). Karena L ∈ ℋ, L memuat Ker(φ), sehingga hn⁻¹ ∈ Ker(φ) ⊆ L. Akibatnya diperoleh h = (hn⁻¹)n ∈ L, yang berarti H ⊆ L. Secara sama diperoleh juga L ⊆ H, jadi H = L. Dengan demikian terbukti φ* adalah pemetaan bijektif. Jadi ada korespondensi satu-satu antara ℋ dan 𝒦.

B. Teorema Korespondensi untuk Subgrup Normal

Berdasarkan korespondensi yang dibangun pada Teorema Korespondensi, diketahui H dan K adalah subgrup-subgrup di G dan G' berturut-turut yang berkorespondensi. Subgrup H merupakan subgrup normal jika dan hanya jika K juga subgrup normal.

Bukti:

(⇒). Diketahui H adalah subgrup normal. Ambil sebarang elemen p ∈ K dan q ∈ G'. Karena φ adalah epimorfisma, akibatnya terdapat a ∈ G sehingga φ(a) = q. Selain itu karena p ∈ K = φ*(H), terdapat b ∈ H ⊆ G sehingga f(b) = p. Lebih jauh perhatikan bahwa qpq⁻¹ = φ(a)φ(b)φ(a)⁻¹ = φ(a)φ(b)φ(a⁻¹) = φ(aba⁻¹). Diketahui bahwa H adalah subgrup normal, a ∈ G dan b ∈ H, sehingga disimpulkan aba⁻¹ ∈ H. Jadi berdasarkan fakta bahwa K = f*(H) disimpulkan qpq⁻¹ ∈ K, atau dengan kata lain K adalah subgrup normal di G'.

(⇐). Diketahui K = f*(H) merupakan subgrup normal di G'. Ambil sebarang a ∈ H dan b ∈ G. Perhatikan φ(bab⁻¹) = φ(b)φ(a)φ(b⁻¹) = φ(b)φ(a)φ(b)⁻¹ ∈ K karena φ(a) ∈ K dan φ(b) ∈ G'. Dengan mengingat definisi K dan φ(bab⁻¹) ∈ K, terbukti bahwa bab⁻¹ ∈ H. Jadi H adalah subgrup normal di G.

C. Mengetahui Subgrup dari Grup Faktor

Diketahui N adalah subgrup normal di grup G. Akibatnya setiap subgrup di G/N mempunyai bentuk K/N dengan K adalah subgrup di G yang memuat N.

Bukti:

Diketahui N adalah subgrup normal di G sehingga dapat dibentuk grup faktor G/N. Kemudian dapat dibentuk epimorfisma π: G → G/N dengan Ker(π) = N. Menurut Teorema Korespondensi, homomorfisma π membangkitkan korespondensi satu-satu π* dari keluarga subgrup-subgrup di G yang memuat Ker(π) = N dan keluarga subgrup-subgrup di G/N. Misalkan

ℋ = {H | H adalah subgrup G, N ⊆ H}

dan

𝒦 = {K | K adalah subgrup G/N}.

Selanjutnya fungsi berikut merupakan korespondensi satu-satu:

π*: ℋ → 𝒦,

H ↦ φ*(H),

dengan φ*(H) = {φ(h) | h ∈ H}. Artinya untuk setiap subgrup K di 𝒦 terdapat subgrup H di ℋ yang memuat N sehingga

π*(H) = {π(h) | h ∈ H} = {hN | h ∈ H} = H/N = K.

Jadi terbukti untuk setiap subgrup di G/N akan berbentuk H/N untuk suatu subgrup H di G yang memuat N.

D. Gabungan poin (B) dan (C)

Dengan menggabungkan teorema korespondensi untuk subgrup normal dan penggunaan teorema korespondensi untuk mengetahui subgrup dari grup faktor, diperoleh:

Diketahui N ◁ G dan K/N ≤ G/N. Subgrup K/N merupakan subgrup normal di G/N jika dan hanya jika K adalah subgrup normal di G yang memuat N.

5. Penggunaan Teorema Utama Homomorfisma Grup

A. Keisomorfikan Grup Faktor atas Irisan dan Grup Faktor oleh Perkalian

Diberikan subgrup-subgrup H dan K di grup G dengan K adalah subgrup normal di G. Diperoleh

H/(H ∩ K) ≅ (HK)/K.

Bukti:

Pertama didefinisikan fungsi φ untuk setiap h ∈ H, dengan φ : H → (HK)/K, h ↦ hK.

Ambil sebarang elemen h₁,h₂ ∈ H, dan diperoleh

φ(h₁h₂) = h₁h₂K = (h₁K)(h₂K) = φ(h₁)φ(h₂).

Kemudian ambil sebarang elemen aK ∈ (HK)/K, artinya a = hk untuk suatu h ∈ H dan k ∈ K.

Jadi aK = hkK = (hK)(kK) = hK = φ(h).

Berdasarkan hal tersebut disimpulkan bahwa terdapat h ∈ H sehingga φ(h) = aK dan terbukti φ bersifat surjektif.

Secara alamiah dapat didefinisikan homomorfisma natural π dari grup H ke grup faktor H/(H ∩ K), dengan definisi π(h) = h(H ∩ K) untuk setiap h ∈ H. Kemudian akan dihitung kernel φ sebagai berikut:

Ker(φ) = {h ∈ H | φ(h) = K} = {h ∈ H | hK = K} = {h ∈ H | h ∈ K} = H ∩ K.

Hal ini berakibat H/(H ∩ K) = H/Ker(φ).

Dengan menerapkan Teorema Utama Homomorfisma Grup, terdapat homomorfisma grup η : H/(H ∩ K) → (HK)/K yang bersifat injektif. Karena sudah terbukti φ surjektif, disimpulkan Im(φ) = (HK)/K, dan lebih lanjut diperoleh isomorfisma berikut:

H/(H ∩ K) ≅ Im(φ) = (HK)/K.

B. Ketunggalan Isomorfisma dari Grup Faktor ke Range-nya

Diberikan homomorfisma grup φ dari grup G ke grup G' yang bersifat surjektif. Diberikan juga subgrup normal H di G dengan sifat Ker(φ) ⊆ H. Selanjutnya diketahui π : G → G/H dan π' : G' → G'/φ(H) masing-masing adalah homomorfisma natural. Terdapat dengan tunggal isomorfisma η : G/H → G'/φ(H) sehingga π'φ = ηπ.

Bukti:

Pertimbangkan adanya komposisi fungsi π'φ : G → G'/φ(H) yang merupakan epimorfisma karena π' dan φ masing-masing adalah epimorfisma. Kemudian akan dibuktikan bahwa H ⊆ Ker(π'φ). Untuk sebarang h ∈ H diperoleh

(π'φ)(h) = π'(φ(h)) = φ(h) + φ(H) = φ(H).

Jadi terbukti H ⊆ Ker(π'φ). Untuk bukti sebaliknya, ambil sebarang a ∈ Ker(π'φ), artinya

(π'φ)(a) = π'(φ(a)) = φ(H).

Akibatnya disimpulkan φ(a) ∈ Ker(π') = φ(H). Jadi terdapat b ∈ H sehingga φ(b) = φ(a) atau dengan kata lain

φ(b) = φ(a)

e' = φ(a)φ(b)⁻¹

e' = φ(ab⁻¹).

Terlihat bahwa ab⁻¹ ∈ Ker(φ) ⊆ H. Akibatnya a = (ab⁻¹)b ∈ H. Dengan demikian terbukti Ker(π'φ) ⊆ H.

Dengan menggunakan Teorema Utama Homomorfisma Grup maka dapat disimpulkan bahwa terdapat dengan tunggal isomorfisma η : G/H → G'/φ(H) sehingga π'φ = ηπ.

C. Grup Faktor oleh Penormal atas Pemusat

Diberikan grup G dan subgrup H di G. Kemudian didefinisikan penormal H yaitu N(H) = {w ∈ G | wHw⁻¹ = H} dan pemusat H yaitu C(H) = {w ∈ G | whw⁻¹ = h}.

Akibatnya diperoleh N(H)/C(H) ≅ suatu subgrup di Aut(G).

Bukti:

Didefinisikan aturan berikut:

φ : N(H) → Aut(G)

u ↦ θᵤ|H,

yaitu θᵤ : G → G yang dibatasi pada H. Jelas φ merupakan fungsi, karena untuk setiap u, v ∈ N(H) jika u = v, maka θᵤ = θᵥ yang berakibat ketika dibatasi pada H diperoleh φ(u) = θᵤ|H = θᵥ|H = φ(v).

Selanjutnya ambil sebarang u, v ∈ N(H) dan perhatikan pengamatan berikut:

φ(uv) = θᵤᵥ|H = θᵤ|H ∘ θᵥ|H = φ(u) ∘ φ(v).

Ini berarti φ merupakan homomorfisma grup.

Selanjutnya dihitung kernel φ sebagai berikut:

Ker(φ) = {u ∈ G | φ(u) = iH} = {u ∈ G | θᵤ|H = iH} = {u ∈ G | θᵤ(w) = w, ∀w ∈ H}

= {u ∈ G | uwu⁻¹ = w, ∀w ∈ H} = {u ∈ G | uw = wu, ∀w ∈ H} = C(H).

Kemudian perhatikan bahwa Im(φ) adalah suatu subgrup di Aut(G) dan Ker(φ) = C(H). Sementara itu, karena C(H) adalah subgrup normal di N(H) diperoleh grup faktor N(H)/C(H). Dengan menggunakan Teorema Utama Homomorfisma Grup terbukti N(H)/C(H) = N(H)/Ker(φ) ≅ Im(φ) = suatu subgrup di Aut(G).

D. Keisomorfikan Grup Faktor Atas Pusat dengan Himpunan Otomorfisma Dalam

Jika G grup, maka G/Z(G) ≅ Inn(G).

Bukti:

Pada poin sebelumnya jika diambil H = G diperoleh N(H) = G, C(H) menjadi pusat G atau C(G) dan Im(φ) = {φ(a) | a ∈ G} = {θₐ | a ∈ G} = Inn(G). Jadi disimpulkan bahwa G/C(G) ≅ Inn(G).