Teori Ring: Muqodimah

1. Ring Umum

A. Definisi

Sebuah himpunan tak kosong R yang dilengkapi dengan dua operasi biner, penjumlahan (+) dan perkalian (⋅), disebut ring jika memenuhi kondisi-kondisi berikut untuk setiap elemen a, b, c ∈ R:

• (R, +) membentuk grup Abel.

(i) Tertutup: a + b ∈ R.

(ii) Asosiatif: (a + b) + c = a + (b + c).

(iii) Identitas Aditif: Terdapat elemen 0 ∈ R sehingga a + 0 = 0 + a = a.

(iv) Invers Aditif: Untuk setiap a ∈ R, terdapat elemen −a ∈ R sehingga a + (−a) = (−a) + a = 0.

Elemen −a yang merupakan invers penjumlahan dari a disebut lawan dari a.

(v) Komutatif: a + b = b + a.

• (R, ⋅) membentuk semigrup.

(vi) Tertutup: a ⋅ b ∈ R.

(vii) Asosiatif: (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c).

• Sifat Distributif:

(viii) Operasi perkalian distributif terhadap penjumlahan, baik dari kiri maupun kanan.

a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c.

(a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c.

B. Contoh

1. Ingat kembali bahwa (ℝ, +) membentuk grup Abel dan (ℝ, ⋅) membentuk monoid yang berarti merupakan semigrup, selanjutnya perhatikan bahwa di dalam ℝ berlaku sifat distributif. Jadi, (ℝ, +, ⋅) membentuk ring. Hal ini juga berlaku untuk ℚ dan ℤ, sehingga (ℚ, +, ⋅) dan (ℤ, +, ⋅) juga membentuk ring.

2. Ingat kembali bahwa (ℕ, +) tidak membentuk grup, sehingga (ℕ, +, ⋅) tidak membentuk ring.

3. Perhatikan bahwa himpunan bilangan genap (2ℤ) dengan operasi penjumlahan juga membentuk grup Abel, operasi perkaliannya membentuk semigrup, dan operasi perkaliannya distributif terhadap penjumlahan. Ini berarti (2ℤ, +, ⋅) juga membentuk ring. Secara umum, sistem matematika (kℤ, +, ⋅) juga merupakan ring, untuk setiap bilangan bulat k.

C. Operasi Pengurangan

Misal (R, +) merupakan grup, operasi pengurangan didefinisikan sebagai berikut:

a − b = a + (−b)

Berbeda dengan penjumlahan, operasi pengurangan tidak asosiatif, dimana

(a − b) − c ≠ a − (b − c)

Operasi pengurangan hanya memiliki identitas kanan, dan tidak memiliki identitas kiri, dimana

a − 0 = a, tetapi secara umum 0 − a = −a ≠ a

Operasi pengurangan tidak komutatif, dimana

a − b ≠ b − a

2. Ring Unital dan Ring Abelian

A. Ring dengan Elemen Satuan (Unital Ring)

Misal R merupakan ring. Jika (∃1 ∈ R) ∋ (∀a ∈ R) berlaku a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a, maka 1 disebut sebagai elemen satuan dan R disebut ring dengan elemen satuan.

Sebagai contoh (ℤ, +, ⋅) merupakan ring dengan elemen satuan, sedangkan (2ℤ, +, ⋅) merupakan ring tanpa elemen satuan (non-unital ring).

B. Elemen Invertibel dan Elemen Kebalikan

Misal R merupakan ring dengan elemen satuan dan misal a ∈ R. Jika (∃1 ∈ R) ∋ ab = ba = 1, maka b disebut invers perkalian dari a atau kebalikan dari a, dituliskan b = 1/a. Dengan kata lain, elemen invertibel adalah elemen yang memiliki kebalikan, selain itu elemen invertibel juga dapat disebut sebagai unit.

Elemen yang tidak invertibel disebut elemen singular, dan contoh paling trivial untuk elemen singular adalah 0.

C. Operasi Pembagian

Misal R merupakan ring dengan elemen satuan dan b merupakan elemen invertibel, operasi pembagian di R didefinisikan sebagai:

a/b = a⋅(1/b)

D. Ring Komutatif / Abel (Abelian Ring)

Misal R merupakan ring. Jika operasi perkalian di R bersifat komutatif, maka R merupakan ring komutatif atau ring Abel.

Sebagai contoh (ℝ, +, ⋅) merupakan ring Abel, sedangkan misal M₂ himpunan matriks berukuran 2 × 2, kita peroleh (M₂, +, ⋅) merupakan ring tidak komutatif (non-Abelian ring).

3. Sifat-Sifat Ring Umum

Misal R merupakan ring, untuk setiap a, b, c di R berlaku:

A. Dominasi Elemen Nol

a0 = 0a = 0.

Bukti a0 = 0:

a0 = a(0 + 0) = a0 + a0, tambahkan masing-masing ruas dengan −(a0)

0 = a0 + a0 + −(a0) = a0 + 0 = a0

Dengan cara yang mirip, kita juga dapat membuktikan bahwa 0a = 0.

B. Perkalian dengan Elemen Lawan

a(−b) = (−a)b = −(ab)

(i) Bukti a(−b) = −(ab)

0 = a0 = a[b + (−b)] = ab + a(−b), tambahkan masing-masing ruas dengan −(ab)

−(ab) = −(ab) + ab + a(−b) = 0 + a(−b) = a(−b)

(ii) Bukti (−a)b = −(ab)

0 = 0b = [a + (−a)]b = ab + (−a)b, tambahkan masing-masing ruas dengan −(ab)

−(ab) = −(ab) + ab + (−a)b = 0 + (−a)b = (−a)b

C. Perkalian Lawan dengan Lawan

(−a)(−b) = ab

Bukti:

Ingat kembali bahwa R merupakan ring, sehingga operasi penjumlahan di R membentuk grup, oleh karena itu berlaku −(−a) = a.

(−a)(−b) = −(−a)b = [−(−a)]b = ab

D. Lawan Hasil Penjumlahan

−(a + b) = (−a) + (−b)

Bukti:

Karena operasi penjumlahan di R membentuk grup, berlaku −(a + b) = (−b) + (−a), karena komutatif

−(a + b) = (−b) + (−a) = (−a) + (−b)

E. Sifat Distributif Kiri Perkalian terhadap Pengurangan

a(b − c) = ab − ac

Bukti:

a(b − c) = a[b + (−c)] = ab + a(−c) = ab + [−(ac)] = ab − ac

F. Sifat Distributif Kanan Perkalian terhadap Pengurangan

(b − c)a = ba − ca

Bukti:

(b − c)a = [b + (−c)]a = ba + (−c)a = ba + [−(ca)] = ba − ca

4. Sifat-Sifat Ring dengan Elemen Satuan

A. Ketunggalan Elemen Satuan

Jika R adalah suatu ring dengan elemen satuan, maka elemen satuan tersebut tunggal.

Bukti:

Misal e dan i merupakan elemen satuan di R.

ei = e, karena i elemen satuan

ei = i, karena e elemen satuan

Diperoleh e = ei = i. Ini berarti jika ada elemen satuan haruslah tunggal.

B. Ketunggalan Invers Perkalian

Misal R adalah suatu ring dengan elemen satuan. Jika a memiliki invers perkalian, maka invers tersebut tunggal.

Bukti:

Misal b dan c merupakan invers perkalian dari a, berlaku:

b = 1⋅b = (ca)b = c(ab) = c⋅1 = c

Jadi, jika ada invers perkalian haruslah tunggal.

Akibat: Karena invers perkalian bersifat tunggal, maka hasil pembagian juga tunggal.

C. Perkalian dengan Lawan dari Elemen Satuan

(−1)a = −a

Bukti:

0 = 0a = [(−1) + 1]a = (−1)a + a, tambahkan masing-masing ruas dengan −a

−a = (−1)a + a + (−a) = (−1)a + 0 = (−1)a

Contoh Soal

Misalkan ℝ adalah himpunan bilangan real dan S himpunan fungsi-fungsi bernilai real yang didefinisikan pada ℝ, berarti S = {f : ℝ → ℝ ∣ f fungsi}.

Pada S didefinisikan penjumlahan dan perkalian fungsi biasa, yaitu (∀f, g ∈ S)(∀x ∈ ℝ) didefinisikan:

Penjumlahan Fungsi:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Perkalian Fungsi:

(fg)(x) = f(x)g(x)

Buktikan bahwa (S, +, ⋅) membentuk ring.

Ingat kembali definisi fungsi, yaitu f merupakan fungsi artinya (∀x₁, x₂ ∈ ℝ). x₁ = x₂ ⇒ f(x₁) = f(x₂).

Ambil sebarang f, g, h ∈ S; berikut ini sifat-sifatnya:

(i) Ketertutupan penjumlahan

Ambil sebarang x₁, x₂ ∈ ℝ dengan x₁ = x₂

(f + g)(x₁) = f(x₁) + g(x₁) = f(x₂) + g(x₂) = (f + g)(x₂)

∴ f + g ∈ S.

(ii) Sifat asosiatif penjumlahan

Ambil sebarang x ∈ ℝ

[(f + g) + h](x) = (f + g)(x) + h(x) = f(x) + g(x) + h(x) = f(x) + [g(x) + h(x)]

= f(x) + (g + h)(x) = [f + (g + h)](x)

∴ (∀f, g, h ∈ S). (f + g) + h = f + (g + h)

(iii) Eksistensi identitas penjumlahan

Pilih o ∈ S dengan (∀x ∈ ℝ). o(x) = 0, sehingga (∀f ∈ S) berlaku

(f + o)(x) = f(x) + o(x) = f(x) + 0 = f(x)

∴ (∃o ∈ S)(∀f ∈ S). f + o = o + f = f

(iv) Eksistensi invers penjumlahan

Ambil sebarang f ∈ S, pilih –f ∈ S dengan (∀x ∈ ℝ). (–f)(x) = –f(x), sehingga

[f + (–f)](x) = f(x) + (–f)(x) = f(x) + –f(x) = 0 = o(x), yang berarti –f merupakan invers dari f terhadap penjumlahan.

∴ (∀f ∈ S)(∃(–f) ∈ S). f + (–f) = (–f) + f = o

(v) Sifat komutatif penjumlahan

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x)

∴ (∀f, g ∈ S). f + g = g + f

(vi) Ketertutupan perkalian

Ambil sebarang x₁, x₂ ∈ ℝ dengan x₁ = x₂

(fg)(x₁) = f(x₁)g(x₁) = f(x₂)g(x₂) = (fg)(x₂)

∴ fg ∈ S.

(vii) Sifat asosiatif perkalian

Ambil sebarang x ∈ ℝ

[(fg)h](x) = (fg)(x)h(x) = f(x)g(x)h(x) = f(x)[g(x)h(x)] = f(x)(gh)(x) = [f(gh)](x)

∴ (∀f, g, h ∈ S). (fg)h = f(gh)

(viii) Sifat distributif

[f(g + h)](x) = f(x)(g + h)(x) = f(x)[g(x) + h(x)] = f(x)g(x) + f(x)h(x) = (fg)(x) + (fh)(x) = (fg + fh)(x).

∴ (∀f, g, h ∈ S). f(g + h) = fg + fh

Karena memenuhi 8 sifat ring, (S, +, ⋅) membentuk ring.