Teori Ring: Muqodimah

1. Ring Umum

A. Definisi

Sebuah himpunan tak kosong R yang dilengkapi dengan dua operasi biner, penjumlahan (+) dan perkalian (⋅), disebut ring jika memenuhi kondisi-kondisi berikut untuk setiap elemen a, b, c ∈ R:

• (R, +) membentuk grup Abel.

(i) Tertutup: a + b ∈ R.

(ii) Asosiatif: (a + b) + c = a + (b + c).

(iii) Identitas Aditif: Terdapat elemen 0 ∈ R sehingga a + 0 = 0 + a = a.

(iv) Invers Aditif: Untuk setiap a ∈ R, terdapat elemen −a ∈ R sehingga a + (−a) = (−a) + a = 0.

Elemen −a yang merupakan invers penjumlahan dari a disebut lawan dari a.

(v) Komutatif: a + b = b + a.

• (R, ⋅) membentuk semigrup.

(vi) Tertutup: a ⋅ b ∈ R.

(vii) Asosiatif: (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c).

• Sifat Distributif:

(viii) Operasi perkalian distributif terhadap penjumlahan, baik dari kiri maupun kanan.

a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c.

(a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c.

B. Contoh

1. Ingat kembali bahwa (ℝ, +) membentuk grup Abel dan (ℝ, ⋅) membentuk monoid yang berarti merupakan semigrup, selanjutnya perhatikan bahwa di dalam ℝ berlaku sifat distributif. Jadi, (ℝ, +, ⋅) membentuk ring. Hal ini juga berlaku untuk ℚ dan ℤ, sehingga (ℚ, +, ⋅) dan (ℤ, +, ⋅) juga membentuk ring.

2. Ingat kembali bahwa (ℕ, +) tidak membentuk grup, sehingga (ℕ, +, ⋅) tidak membentuk ring.

3. Perhatikan bahwa himpunan bilangan genap (2ℤ) dengan operasi penjumlahan juga membentuk grup Abel, operasi perkaliannya membentuk semigrup, dan operasi perkaliannya distributif terhadap penjumlahan. Ini berarti (2ℤ, +, ⋅) juga membentuk ring. Secara umum, sistem matematika (kℤ, +, ⋅) juga merupakan ring, untuk setiap bilangan bulat k.

C. Operasi Pengurangan

Misal (R, +) merupakan grup, operasi pengurangan didefinisikan sebagai berikut:

a − b = a + (−b)

Berbeda dengan penjumlahan, operasi pengurangan tidak asosiatif, dimana

(a − b) − c ≠ a − (b − c)

Operasi pengurangan hanya memiliki identitas kanan, dan tidak memiliki identitas kiri, dimana

a − 0 = a, tetapi secara umum 0 − a = −a ≠ a

Operasi pengurangan tidak komutatif, dimana

a − b ≠ b − a

2. Ring Unital dan Ring Abelian

A. Ring dengan Elemen Satuan (Unital Ring)

Misal R merupakan ring. Jika (∃1 ∈ R) ∋ (∀a ∈ R) berlaku a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a, maka 1 disebut sebagai elemen satuan dan R disebut ring dengan elemen satuan.

Sebagai contoh (ℤ, +, ⋅) merupakan ring dengan elemen satuan, sedangkan (2ℤ, +, ⋅) merupakan ring tanpa elemen satuan (non-unital ring).

B. Elemen Invertibel dan Elemen Kebalikan

Misal R merupakan ring dengan elemen satuan dan misal a ∈ R. Jika (∃1 ∈ R) ∋ ab = ba = 1, maka b disebut invers perkalian dari a atau kebalikan dari a, dituliskan b = 1/a. Dengan kata lain, elemen invertibel adalah elemen yang memiliki kebalikan.

Elemen yang tidak invertibel disebut elemen singular, dan contoh paling trivial untuk elemen singular adalah 0.

C. Operasi Pembagian

Misal R merupakan ring dengan elemen satuan dan b merupakan elemen invertibel, operasi pembagian di R didefinisikan sebagai:

a/b = a⋅(1/b)

D. Ring Komutatif / Abel (Abelian Ring)

Misal R merupakan ring. Jika operasi perkalian di R bersifat komutatif, maka R merupakan ring komutatif atau ring Abel.

Sebagai contoh (ℝ, +, ⋅) merupakan ring Abel, sedangkan misal M₂ himpunan matriks berukuran 2 × 2, kita peroleh (M₂, +, ⋅) merupakan ring tidak komutatif (non-Abelian ring).

3. Sifat-Sifat Ring Umum

Misal R merupakan ring, untuk setiap a, b, c di R berlaku:

A. Dominasi Elemen Nol

a0 = 0a = 0.

Bukti a0 = 0:

a0 = a(0 + 0) = a0 + a0, tambahkan masing-masing ruas dengan −(a0)

0 = a0 + a0 + −(a0) = a0 + 0 = a0

Dengan cara yang mirip, kita juga dapat membuktikan bahwa 0a = 0.

B. Perkalian dengan Elemen Lawan

a(−b) = (−a)b = −(ab)

(i) Bukti a(−b) = −(ab)

0 = a0 = a[b + (−b)] = ab + a(−b), tambahkan masing-masing ruas dengan −(ab)

−(ab) = −(ab) + ab + a(−b) = 0 + a(−b) = a(−b)

(ii) Bukti (−a)b = −(ab)

0 = 0b = [a + (−a)]b = ab + (−a)b, tambahkan masing-masing ruas dengan −(ab)

−(ab) = −(ab) + ab + (−a)b = 0 + (−a)b = (−a)b

C. Perkalian Lawan dengan Lawan

(−a)(−b) = ab

Bukti:

Ingat kembali bahwa R merupakan ring, sehingga operasi penjumlahan di R membentuk grup, oleh karena itu berlaku −(−a) = a.

(−a)(−b) = −(−a)b = [−(−a)]b = ab

D. Lawan Hasil Penjumlahan

−(a + b) = (−a) + (−b)

Bukti:

Karena operasi penjumlahan di R membentuk grup, berlaku −(a + b) = (−b) + (−a), karena komutatif

−(a + b) = (−b) + (−a) = (−a) + (−b)

E. Sifat Distributif Kiri Perkalian terhadap Pengurangan

a(b − c) = ab − ac

Bukti:

a(b − c) = a[b + (−c)] = ab + a(−c) = ab + [−(ac)] = ab − ac

F. Sifat Distributif Kanan Perkalian terhadap Pengurangan

(b − c)a = ba − ca

Bukti:

(b − c)a = [b + (−c)]a = ba + (−c)a = ba + [−(ca)] = ba − ca

4. Sifat-Sifat Ring dengan Elemen Satuan

A. Ketunggalan Elemen Satuan

Jika R adalah suatu ring dengan elemen satuan, maka elemen satuan tersebut tunggal.

Bukti:

Misal e dan i merupakan elemen satuan di R.

ei = e, karena i elemen satuan

ei = i, karena e elemen satuan

Diperoleh e = ei = i. Ini berarti jika ada elemen satuan haruslah tunggal.

B. Ketunggalan Invers Perkalian

Misal R adalah suatu ring dengan elemen satuan. Jika a memiliki invers perkalian, maka invers tersebut tunggal.

Bukti:

Misal b dan c merupakan invers perkalian dari a, berlaku:

b = 1⋅b = (ca)b = c(ab) = c⋅1 = c

Jadi, jika ada invers perkalian haruslah tunggal.

Akibat: Karena invers perkalian bersifat tunggal, maka hasil pembagian juga tunggal.

C. Perkalian dengan Lawan dari Elemen Satuan

(−1)a = −a

Bukti:

0 = 0a = [(−1) + 1]a = (−1)a + a, tambahkan masing-masing ruas dengan −a

−a = (−1)a + a + (−a) = (−1)a + 0 = (−1)a

Contoh Soal

Misalkan ℝ adalah himpunan bilangan real dan S himpunan fungsi-fungsi bernilai real yang didefinisikan pada ℝ, berarti S = {f : ℝ → ℝ ∣ f fungsi}.

Pada S didefinisikan penjumlahan dan perkalian fungsi biasa, yaitu (∀f, g ∈ S)(∀x ∈ ℝ) didefinisikan:

Penjumlahan Fungsi:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Perkalian Fungsi:

(fg)(x) = f(x)g(x)

Buktikan bahwa (S, +, ⋅) membentuk ring.

Ingat kembali definisi fungsi, yaitu f merupakan fungsi artinya (∀x₁, x₂ ∈ ℝ). x₁ = x₂ ⇒ f(x₁) = f(x₂).

Ambil sebarang f, g, h ∈ S; berikut ini sifat-sifatnya:

(i) Ketertutupan penjumlahan

Ambil sebarang x₁, x₂ ∈ ℝ dengan x₁ = x₂

(f + g)(x₁) = f(x₁) + g(x₁) = f(x₂) + g(x₂) = (f + g)(x₂)

∴ f + g ∈ S.

(ii) Sifat asosiatif penjumlahan

Ambil sebarang x ∈ ℝ

[(f + g) + h](x) = (f + g)(x) + h(x) = f(x) + g(x) + h(x) = f(x) + [g(x) + h(x)]

= f(x) + (g + h)(x) = [f + (g + h)](x)

∴ (∀f, g, h ∈ S). (f + g) + h = f + (g + h)

(iii) Eksistensi identitas penjumlahan

Pilih o ∈ S dengan (∀x ∈ ℝ). o(x) = 0, sehingga (∀f ∈ S) berlaku

(f + o)(x) = f(x) + o(x) = f(x) + 0 = f(x)

∴ (∃o ∈ S)(∀f ∈ S). f + o = o + f = f

(iv) Eksistensi invers penjumlahan

Ambil sebarang f ∈ S, pilih –f ∈ S dengan (∀x ∈ ℝ). (–f)(x) = –f(x), sehingga

[f + (–f)](x) = f(x) + (–f)(x) = f(x) + –f(x) = 0 = o(x), yang berarti –f merupakan invers dari f terhadap penjumlahan.

∴ (∀f ∈ S)(∃(–f) ∈ S). f + (–f) = (–f) + f = o

(v) Sifat komutatif penjumlahan

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x)

∴ (∀f, g ∈ S). f + g = g + f

(vi) Ketertutupan perkalian

Ambil sebarang x₁, x₂ ∈ ℝ dengan x₁ = x₂

(fg)(x₁) = f(x₁)g(x₁) = f(x₂)g(x₂) = (fg)(x₂)

∴ fg ∈ S.

(vii) Sifat asosiatif perkalian

Ambil sebarang x ∈ ℝ

[(fg)h](x) = (fg)(x)h(x) = f(x)g(x)h(x) = f(x)[g(x)h(x)] = f(x)(gh)(x) = [f(gh)](x)

∴ (∀f, g, h ∈ S). (fg)h = f(gh)

(viii) Sifat distributif

[f(g + h)](x) = f(x)(g + h)(x) = f(x)[g(x) + h(x)] = f(x)g(x) + f(x)h(x) = (fg)(x) + (fh)(x) = (fg + fh)(x).

∴ (∀f, g, h ∈ S). f(g + h) = fg + fh

Karena memenuhi 8 sifat ring, (S, +, ⋅) membentuk ring.