Field, Divisi, dan Daerah Integral (Teoring)
1. Field / Lapangan
A. Definisi
Sebuah himpunan tak kosong F yang dilengkapi dengan dua operasi biner, penjumlahan (+) dan perkalian (⋅), disebut field atau lapangan jika:
• (F, +) membentuk grup Abel
• (F\{0}, ⋅) membentuk grup Abel
• Perkalian di F bersifat distributif terhadap penjumlahan
Oleh karena itu jika diketahui (F, +, ⋅) merupakan ring, untuk mengecek bahwa F merupakan field, cukup dengan memeriksa:
• F memiliki elemen satuan, dengan 1 ≠ 0
• Setiap elemen taknol di F memiliki invers perkalian
• Operasi perkalian di F bersifat komutatif
B. Contoh
1. Contoh paling trivial untuk field adalah {0, 1}, dimana sangat jelas bahwa ({0, 1}, +) dan ({1}, ⋅) keduanya membentuk grup Abel.
2. (ℂ, +, ⋅), (ℝ, +, ⋅), dan (ℚ, +, ⋅) ketiganya merupakan field, sedangkan (ℤ, +, ⋅) bukan field.
3. Misal M₂ adalah himpunan matriks berukuran 2 × 2, kita peroleh bahwa (M₂, +, ⋅) bukan field, karena operasi perkalian di M₂ tidak komutatif.
2. Division Ring / Ring Pembagian
A. Definisi
Sebuah himpunan tak kosong R yang dilengkapi dengan dua operasi biner, penjumlahan (+) dan perkalian (⋅), disebut division ring atau ring pembagian jika:
• (R, +) membentuk grup Abel
• (R\{0}, ⋅) membentuk grup non-Abel
• Perkalian di F bersifat distributif terhadap penjumlahan
Perhatikan bahwa perbedaan division ring dengan field hanyalah bahwa perkalian di division ring tidak komutatif dan perkalian di field bersifat komutatif.
B. Contoh
Misal R himpunan semua matriks berbentuk:
Minfor mempersilahkan Sixtyfourians untuk membuktikan sendiri bahwa himpunan R dilengkapi operasi penjumlahan dan perkalian matriks membentuk ring, sedangkan Minfor akan mencoba membuktikan syarat tambahan untuk division ring sebagai berikut:
(i) Eksistensi elemen satuan
Pilih
(ii) Eksistensi invers perkalian untuk elemen taknol
Ambil sebarang
dengan a ≠ 0 ∨ b ≠ 0, pilih
(iii) Tidak komutatif
Pilih
Secara keseluruhan, ring R memiliki elemen satuan, memiliki invers perkalian untuk setiap elemen taknol, dan tidak komutatif, sehingga merupakan division ring.
3. Pembagi Nol dan Daerah Integral
A. Pembagi Nol
Misal R suatu ring. Elemen a ∈ R\{0} disebut sebagai pembagi nol jika (∃b ∈ R\{0}) ∋ ab = 0.
Contoh:
Perhatikan bahwa (ℤ₁₂, +, ×) merupakan ring. Elemen 3 merupakan pembagi nol karena 3 ≠ 0 dan terdapat 4 sehingga 3 × 4 = 0.
B. Daerah Integral
Daerah integral (integral domain) adalah ring komutatif yang tidak memiliki pembagi nol.
Contoh:
Sistem-sistem (ℂ, +, ⋅), (ℝ, +, ⋅), (ℚ, +, ⋅), dan (ℤ, +, ⋅) masing-masing merupakan daerah integral.
C. Sifat Kanselasi untuk Daerah Integral
Ring komutatif D adalah daerah integral jika dan hanya jika untuk a, b, c ∈ D dengan a ≠ 0, relasi ab = ac mengakibatkan b = c.
Bukti:
(i) Jika D adalah daerah integral maka (∀a, b, c ∈ D; a ≠ 0). ab = ac ⇒ b = c.
Diberikan D adalah daerah integral, berarti D tidak memiliki pembagi nol.
Ambil sebarang ∀a, b, c ∈ D dengan a ≠ 0.
ab = ac, tambahkan masing-masing ruas dengan –ac
ab – ac = 0, karena distributif dapat difaktorkan
a(b – c) = 0, karena a ≠ 0 dan D tidak memiliki pembagi nol, diperoleh
b – c = 0, tambahkan masing-masing ruas dengan c
b = c.
(ii) Jika (∀a, b, c ∈ D; a ≠ 0). ab = ac ⇒ b = c, maka D adalah daerah integral.
Kontraposisi: Jika D bukan daerah integral, maka (∃a, b, c ∈ D; a ≠ 0). ab = ac ∧ b ≠ c
D bukan daerah integral, berarti memiliki pembagi nol.
Oleh karena itu kita dapat memilih b dan c dengan b ≠ c, tetapi ab = ac = 0.
Jadi, jika D bukan daerah integral maka (∃a, b, c ∈ D; a ≠ 0). ab = ac ∧ b ≠ c. Kontraposisinya adalah jika (∀a, b, c ∈ D; a ≠ 0). ab = ac ⇒ b = c, maka D adalah daerah integral.
D. Hubungan Field dengan Daerah Integral
Field adalah daerah integral.
Bentuk yang lebih operasional untuk teorema ini adalah "Jika F merupakan field, maka F daerah integral".
Bukti:
Misal F merupakan field, berarti (∀f ∈ F). f ≠ 0 ⇒ (∃f⁻¹ ∈ F) ∋ ff⁻¹ = 1.
Cara I: Kontraposisi
Ambil sebarang a, f ∈ F dengan f ≠ 0, berarti (∃f⁻¹ ∈ F) ∋ ff⁻¹ = 1.
Misal fa = 0, kalikan masing-masing ruas dengan f⁻¹
f⁻¹fa = f⁻¹0
1a = 0
a = 0
∴ (∀f ∈ F; f ≠ 0)(∀a ∈ F). fa = 0 ⇒ a = 0, kontraposisinya adalah
∴ (∀f ∈ F; f ≠ 0)(∀a ∈ F). a ≠ 0 ⇒ fa ≠ 0.
Jadi, F tidak memiliki pembagi nol, sehingga F merupakan daerah integral.
Cara II: Kontradiksi
Misal F merupakan field, berarti (∀f ∈ F). f ≠ 0 ⇒ (∃f⁻¹ ∈ F) ∋ ff⁻¹ = 1.
Ambil sebarang a, b ∈ F dengan a ≠ 0 ∧ b ≠ 0.
Andaikan ab = 0, kalikan masing-masing ruas dengan b⁻¹a⁻¹
b⁻¹a⁻¹ab = 0
b⁻¹(1)b = 0
b⁻¹b = 0
1 = 0, kontradiksi dengan definisi elemen satuan.
Oleh karena itu pengandaian harus diingkar, sehingga yang benar adalah ab ≠ 0. Dengan kata lain, F tidak memiliki pembagi nol sehingga F merupakan daerah integral.
E. Daerah Integral Berhingga
Daerah integral dengan banyak anggota hingga merupakan field.
Bukti:
Diberikan R daerah integral, berarti R komutatif dan tidak memiliki pembagi nol.
Untuk membuktikan R merupakan lapangan / field, cukup dibuktikan R memiliki elemen satuan dan invers perkalian.
Ambil sebarang a ∈ R\{0}, perhatikan perpangkatan dari a
〈a〉 = {a, a², a³, …}
Dikarenakan perkalian bersifat tertutup dan banyak anggota R berhingga,
(∃m, n ∈ ℕ) ∋ n > m ∧ aⁿ = aᵐ
Perhatikan
aⁿ = aᵐ, kurangi masing-masing ruas dengan aᵐ
aⁿ – aᵐ = 0, karena a ≠ 0, berlaku juga aᵐ ≠ 0, sehingga a⁻ᵐ ada, kalikan ke masing-masing ruas
aⁿ⁻ᵐ – 1 = 0
aⁿ⁻ᵐ = 1
Jadi, 1 ∈ 〈a〉 = {a, a², a³, …} ⊆ R\{0} ⊂ R.
Selain itu, perhatikan
a⋅aⁿ⁻ᵐ⁻¹ = 1, berarti aⁿ⁻ᵐ⁻¹ merupakan invers a terhadap perkalian.
Jadi, operasi perkaliannya memiliki elemen identitas dan invers sehingga R merupakan field.
Akibat: Ring dengan banyak anggota berhingga merupakan field jika dan hanya jika daerah integral.
4. Kelipatan dan Faktor
A. Definisi Kelipatan dan Faktor
Misal R ring komutatif, dan diberikan a, b ∈ R dengan b ≠ 0. Dikatakan b faktor a atau b membagi a (semakna dengan a kelipatan b), jika (∃k ∈ R) ∋ a = bk.
b membagi a disimbolkan dengan b | a, sedangkan b tidak membagi a disimbolkan dengan b ∤ a.
Sebagai contoh:
Di dalam (ℤ, +, ⋅) berlaku 2 | 6 dan 5 ∤ 12.
B. Sifat Kombinasi Linear
Misal R ring komutatif dan a, b, c ∈ R. Jika a ≠ 0, a | b, dan a | c; maka (∀m, n ∈ R). a | bm + cn
Bukti:
a | b, berarti (∃k ∈ R) ∋ b = ak
a | c, berarti (∃l ∈ R) ∋ c = al
Ambil sebarang m, n ∈ R; perhatikan
bm + cn = akm + aln = a(km + ln)
Karena k, l, m, n ∈ R; berakibat km + ln ∈ R.
Jadi, a | bm + cn.
C. Sifat Transitif
Misal R ring komutatif dan a, b, c ∈ R. Jika a ≠ 0, a | b, dan b | c; maka a | c
Bukti:
a | b, berarti (∃k ∈ R) ∋ b = ak
b | c, berarti (∃l ∈ R) ∋ c = bl
c = bl = (ak)l = a(kl)
Jadi, a | c.
D. Definisi Kesekawanan
Misal R ring komutatif dan a, b ∈ R\{0}. Kedua elemen a dan b dikatakan sekawan jika a | b dan b | c.
Sebagai contoh, di dalam ring (ℤ, +, ⋅) berlaku (∀a ∈ ℤ\{0}). a | (−a) ∧ (−a) | a.
E. Kesekawanan di Daerah Integral
Misal R daerah integral dan a, b ∈ R\{0}. Kedua elemen a dan b sekawan jika dan hanya jika (∃u ∈ R) ∋ a = ub, dengan u elemen invertibel.
Bukti:
(i) Jika a dan b sekawan maka (∃u ∈ R) ∋ a = ub dengan u invertibel.
a | b, berarti (∃k ∈ R) ∋ b = ak
b | a, berarti (∃l ∈ R) ∋ a = bl
Perhatikan a = bl = (ak)l = a(kl); kalikan ruas paling kiri dan paling kanan dengan a⁻¹
a⁻¹a = a⁻¹a(kl)
1 = (a⁻¹a)(kl) = 1(kl) = kl
Ini berarti k dan l invertibel, sehingga ∃l ∈ R ∋ a = lb
(ii) Jika (∃u ∈ R) ∋ a = ub dengan u invertibel maka a dan b sekawan
(∃u ∈ R) ∋ a = ub, berarti b | a
kalikan masing-masing ruas dengan u⁻¹
u⁻¹a = u⁻¹(ub) = (u⁻¹u)b = 1·b = b, ini berarti a | b.
Jadi, a | b ∧ b | a, yang berarti a dan b sekawan.
Contoh Soal
Buktikan ℤₚ, p bilangan prima terhadap operasi penjumlahan modulo p dan operasi perkalian modulo p merupakan field.
Bukti:
Diberikan ring (ℤₚ, +, ×).
Karena p bilangan prima, faktor-faktor dari p hanyalah 1 dan p. Ini berarti agar p | ab diharuskan p | a ∨ p | b, kontraposisinya adalah
p ∤ a ∧ p ∤ b ⇒ p ∤ ab
Ini berarti ℤₚ tidak memiliki pembagi nol sehingga merupakan daerah integral, dan dikarenakan berhingga, maka merupakan field.
Komentar
Posting Komentar