Homomorfisma Ring

1. Homomorfisma Ring

A. Definisi Homomorfisma Ring

Misal diberikan ring (R, +, ×) dan (S, ⊕, ⊗). Fungsi f: R → S disebut homomorfisma ring jika berlaku:

(∀a, b ∈ R). f(a + b) = f(a) ⊕ f(b) ∧ f(a × b) = f(a) ⊗ f(b).

Dengan kata lain, homomorfisma ring adalah fungsi yang memetakan dari ring ke ring dan mengawetkan operasi penjumlahan dan perkalian.

Catatan: R dan S boleh merupakan himpunan yang sama dan boleh juga merupakan himpunan yang berbeda. Operasi penjumlahan dan perkaliannya juga boleh sama, dan boleh juga berbeda.

B. Contoh Homomorfisma Ring

1. Fungsi nol merupakan homomorfisma ring, karena jelas bahwa

f(a + b) = 0 = 0 + 0 = f(a) + f(b), dan

f(ab) = 0 = 0·0 = f(a)f(b)

2. Fungsi identitas merupakan homomorfisma ring. Misal diberikan ring R dan S dengan R subring dari S. Misal didefinisikan fungsi identitas dari R ke S, akan berlaku:

f(a + b) = a + b = f(a) + f(b), dan

f(ab) = ab = f(a)f(b)

Catatan:

Fungsi nol dan fungsi identitas disebut sebagai homomorfisma trivial, jika ada homomorfisma ring selain keduanya disebut sebagai homomorfisma non-trivial.

C. Homomorfisma Khusus

• Homomorfisma yang bersifat injektif disebut monomorfisma

• Homomorfisma yang bersifat surjektif disebut epimorfisma

• Homomorfisma yang bersifat bijektif disebut isomorfisma

• Homomorfisma yang memetakan ke ring yang sama disebut endomorfisma

• Homomorfisma yang bersifat bijektif dan memetakan ke ring yang sama disebut otomorfisma

Selanjutnya jika terdapat isomorfisma ring dari R ke S, maka dikatakan R dan S isomorfik, dituliskan R ≅ S.

D. Peta dari Elemen Nol dan Elemen Negatif

Jika f merupakan homomorfisma ring, maka f(0) = 0 dan (∀a). f(–a) = –f(a)

Bukti:

• Bukti f(0) = 0

f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0), tambahkan masing-masing ruas dengan –f(0)

f(0) – f(0) = f(0) + f(0) – f(0)

0 = f(0)

• Bukti f(–a) = –f(a)

0 = f(0) = f(a + (–a)) = f(a) + f(–a), tambahkan masing-masing ruas dengan –f(a)

–f(a) = –f(a) + f(a) + f(–a) = 0 + f(–a) = f(–a)

E. Peta dari Elemen Satuan ke Daerah Integral

Misal f merupakan homomorfisma ring dari R ke S dengan f bukan fungsi nol. Jika R dan S memiliki elemen satuan dan S merupakan daerah integral, maka f(1) = 1.

Bukti:

Diberikan f merupakan homomorfisma ring dari R ke S dengan f bukan fungsi nol, berarti (∃a ∈ R) ∋ f(a) ≠ 0.

Andaikan f(1) = 0, maka (∀a ∈ R). f(a) = f(1·a) = f(1)·f(a) = 0·f(a) = 0. Ini kontradiksi dengan bahwa f bukan fungsi nol, oleh karena itu pengandaian harus diingkar, dan yang benar adalah f(1) ≠ 0.

Diberikan R dan S ring dengan elemen satuan, kenakan f

f(1)·1 = f(1) = f(1·1) = f(1)·f(1)

Karena f(1) ≠ 0 dan S merupakan daerah integral, kesamaan f(1)·1 = f(1)·f(1) dapat dilakukan kanselasi menjadi 1 = f(1).

F. Epimorfisma yang Dikenakan ke Elemen Satuan

Misal f merupakan epimorfisma dari ring R ke S. Jika R dan S memiliki elemen satuan, maka f(1) = 1.

Bukti:

Diberikan f merupakan epimorfisma dari ring R ke S, berarti (∀p ∈ S)(∃a ∈ R) ∋ f(a) = p.

Ambil sebarang p ∈ S, karena f merupakan epimorfisma, berarti (∃a ∈ R) ∋ f(a) = p.

p = f(a) = f(1·a) = f(1)·f(a) = f(1)·p, juga

p = f(a) = f(a·1) = f(a)·f(1) = p·f(1)

Ini berarti f(1) merupakan elemen satuan di S. Jadi, f(1) = 1.

2. Kernel dan Range

A. Definisi Kernel / Inti

Jika f homomorfisma ring dari ring R ke ring S, maka kernel atau inti dari f, ditulis ker(f), adalah himpunan semua elemen a ∈ R sedemikian hingga f(a) = 0. Dapat dituliskan:

ker(f) = {a ∈ R | f(a) = 0}.

B. Definisi Range

Jika f homomorfisma ring dari ring R ke ring S, maka range atau image dari f, ditulis range(f) atau Im(f), adalah himpunan semua elemen p ∈ S yang terdapat a ∈ R sedemikian hingga f(a) = p. Dapat dituliskan:

range(f) = {p ∈ S | ∃a ∈ R ∋ f(a) = p} = {f(a) ∈ S | a ∈ R}.

C. Kesubringan Range

Jika f homomorfisma ring dari ring R ke ring S, maka range(f) merupakan subring dari S.

Bukti:

• Jelas bahwa range(f) ⊆ S, karena range fungsi merupakan subset dari kodomainnya.

• Ambil sebarang p, q ∈ range(f). Berarti ∃a, b ∈ R ∋ f(a) = p, f(b) = q.

p – q = f(a) – f(b) = f(a – b), karena a – b ∈ R maka p – q ∈ range(f)

pq = f(a)f(b) = f(ab), karena ab ∈ R maka pq ∈ range(f)

Jadi, range(f) ⊆ S dan tertutup terhadap operasi pengurangan dan perkalian, sehingga range(f) merupakan subring dari S.

D. Idealitas Kernel

Jika f homomorfisma ring dari ring R ke ring S, maka ker(f) merupakan ideal dari R.

Bukti:

• Jelas bahwa ker(f) ⊆ R, menurut definisi kernel.

• Ambil sebarang a, b ∈ ker(f). Berarti f(a) = 0 ∧ f(b) = 0

f(a – b) = f(a) – f(b) = 0 – 0 = 0, ini berarti a – b ∈ ker(f).

• Ambil sebarang a ∈ ker(f), r ∈ R.

f(ar) = f(a)f(r) = 0·f(r) = 0, berarti ar ∈ ker(f)

f(ra) = f(r)f(a) = f(r)·0 = 0, berarti ra ∈ ker(f)

Jadi, ker(f) ⊆ R, dan ker(f) tertutup terhadap operasi pengurangan internal dan tertutup terhadap perkalian dengan elemen-elemen di r, sehingga merupakan ideal.

E. Kriteria Injektif berdasarkan Kernel

Misal f homomorfisma ring dari R ke S, pernyataan berikut ini ekivalen:

(i) f merupakan monomorfisma

(ii) ker(f) = {0}

Bukti (i) ⇒ (ii):

Kontraposisi dari (i) ⇒ (ii) adalah jika ker(f) ≠ {0} maka f tidak injektif.

Diberikan ker(f) ≠ {0}, berarti (∃a ≠ 0) ∋ a ∈ ker(f).

Misal b ∈ R, karena a ≠ 0 maka b' = a + b ≠ b, tetapi

f(b') = f(a + b) = f(a) + f(b) = 0 + f(b) = f(b)

Ini berarti (∃b, b') ∋ b ≠ b' ∧ f(b) = f(b'). Jadi, f tidak injektif.

Kontraposisinya adalah jika f injektif maka ker(f) = {0}.

Bukti (ii) ⇒ (i):

Kontraposisi dari (ii) ⇒ (i) adalah jika f tidak injektif, maka ker(f) ≠ {0}.

Diberikan f homomorfisma yang tidak injektif, berarti (∃a₁, a₂) ∋ a₁ ≠ a₂ ∧ f(a₁) = f(a₂)

f(a₁) = f(a₂) ⇔ 0 = f(a₁) – f(a₂) = f(a₁ – a₂), berarti a₁ – a₂ ∈ ker(f).

Akan tetapi dikarenakan a₁ ≠ a₂ maka a₁ – a₂ ≠ 0.

Ini berarti (∃b ≠ 0) ∋ b ∈ ker(f). Dengan kata lain, ker(f) ≠ {0}.

Kontraposisinya adalah jika ker(f) = {0} maka f injektif.

F. Keinjektifan Fungsi Taknol pada Division Ring atau Field

Misal F merupakan field (atau division ring) dan f merupakan homomorfisma ring dari F ke S. Jika f bukan fungsi nol, maka f injektif.

Bukti:

Diberikan F merupakan field dan f merupakan homomorfisma ring dari F ke S.

Diberikan F merupakan field, berarti F tidak memiliki ideal sejati, sehingga ideal dari F hanyalah {0} dan F itu sendiri.

Dikarenakan ker(f) merupakan ideal dari F, hanya ada kemungkinan ker(f) = {0} atau ker(f) = F.

f bukan fungsi nol, berarti (∃a ∈ F) ∋ f(a) ≠ 0, sehingga ker(f) ≠ F.

Oleh karena itu, diharuskan ker(f) = {0}, yang berarti f injektif.

Tambahan:

Karena division ring juga tidak memiliki ideal sejati, teorema ini juga berlaku untuk F division ring.

G. Prapeta Monomorfik dari Ring Komutatif

Misal f merupakan monomorfisma ring dari R ke S. Jika S ring komutatif, maka R juga ring komutatif.

Bukti:

Diberikan f merupakan monomorfisma ring dari R ke S, berarti (∀a₁, a₂). a₁ ≠ a₂ ⇒ f(a₁) ≠ f(a₂).

Kontraposisi dari "Jika S ring komutatif, maka R juga ring komutatif." adalah "Jika R bukan ring komutatif, maka S juga bukan ring komutatif.".

Diberikan R bukan ring komutatif, berarti (∃a, b ∈ R) ∋ ab ≠ ba.

Karena f monomorfisma, maka f(a)f(b) = f(ab) ≠ f(ba) = f(b)f(a). Ini berarti (∃p, q ∈ S) ∋ pq ≠ qp, sehingga S bukan ring komutatif.

Jadi, jika R bukan ring komutatif, maka S juga bukan ring komutatif. Kontraposisinya adalah jika S ring komutatif, maka R juga ring komutatif.