Subring Ideal

1. Ideal

A. Ideal Kanan, Ideal Kiri, dan Ideal

Subring S dari ring R disebut:

• Ideal kanan dari ring R jika berlaku (∀a ∈ S)(∀r ∈ R). ar ∈ S

• Ideal kiri dari ring R jika berlaku (∀a ∈ S)(∀r ∈ R). ra ∈ S

• Ideal dari ring R jika merupakan ideal kanan dan ideal kiri sekaligus, (∀a ∈ S)(∀r ∈ R). ar, ra ∈ S

Dengan kata lain ideal kanan adalah subring yang tertutup terhadap perkalian kanan, ideal kiri adalah subring yang tertutup terhadap perkalian kiri, dan ideal dari R adalah subring yang tertutup terhadap perkalian dengan elemen-elemen R.

Catatan:

Tentunya mudah untuk dimengerti bahwa di dalam ring komutatif semua idealnya dua sisi sekaligus dan tidak ada ideal satu sisi.

B. Ideal Trivial, Tak Sejati, dan Sejati

Setiap ring R pasti memiliki ideal trivial, yaitu {0} dan ideal tak sejati, yaitu R itu sendiri. Jika ada ideal lain selain {0} dan R, maka disebut sebagai ideal sejati.

Ring yang tidak memiliki ideal sejati disebut sebagai ring sederhana / simple ring.

C. Contoh

1. 2ℤ merupakan ideal sejati dari ℤ.

2. ℤ bukanlah ideal kanan maupun ideal kiri dari ℚ

3. Misal R ring dari semua matriks berukuran 2 × 2, dan didefinisikan subring S dan T sebagai berikut:

Untuk sebarang matriks A ∈ R, B ∈ S, C ∈ T dengan

selalu berlaku:

ini berarti S merupakan ideal kiri dan T ideal kanan.

Akan tetapi perhatikan untuk matriks K ∈ R, L ∈ S, M ∈ T dengan

hasil kalinya adalah:

Jadi, S bukan ideal kanan dan T bukan ideal kiri.

Secara keseluruhan S merupakan ideal kiri yang bukan ideal kanan dan T merupakan ideal kanan yang bukan ideal kiri.

D. Teorema Pengecekan Ideal

Pernyataan berikut ini ekivalen:

(i) S merupakan ideal dari R

(ii) S ⊆ R ∧ (∀a, b ∈ S). a – b ∈ S ∧ (∀r ∈ R). ar, ra ∈ S

• Bukti (i) ⇒ (ii)

S merupakan ideal dari R, berarti (∀a ∈ S)(∀r ∈ R). ar, ra ∈ S

S merupakan ideal dari R, berarti S merupakan subring sehingga merupakan ring, akibatnya

(∀a, b ∈ S). –b ∈ S ⇒ a + (–b) = a – b ∈ S.

• Bukti (ii) ⇒ (i)

Diberikan S ⊆ R ∧ (∀a, b ∈ S). a – b ∈ S.

Diberikan (∀a ∈ S)(∀r ∈ R). ar, ra ∈ S

a ∈ S ∧ b ∈ S ⊆ R ⇒ ab ∈ S

Jadi, S merupakan subring dari R; dan dikarenakan (∀a ∈ S)(∀r ∈ R). ar, ra ∈ S; S merupakan ideal dari R.

2. Irisan Ideal

A. Irisan Ideal

Irisan sesama ideal menghasilkan ideal.

Bukti:

Misal S dan T merupakan ideal dari ring R, jelas bahwa keduanya merupakan subring, sehingga S ∩ T merupakan subring.

Ambil sebarang a ∈ S ∩ T dan r ∈ R. Jelas bahwa a ∈ S ∧ a ∈ T.

Karena S ideal, berakibat ar, ra ∈ S, dan karena T ideal, berakibat ar, ra ∈ T. Ini berarti ar, ra ∈ S ∩ T.

Jadi, S ∩ T juga ideal.

B. Ideal Memuat Subset

Irisan koleksi semua ideal yang memuat subset M dari ring R adalah ideal terkecil dari ring R yang memuat M.

Bukti:

Misal

dengan Sᵢ ideal dari R yang memuat subset M dan I merupakan himpunan indeks.

Dalam bentuk ini, S merupakan irisan koleksi semua ideal yang memuat subset M dari ring R.

• Bukti M ⊆ S ⊆ R

Karena Sᵢ ideal dari R dan memuat M, jelas bahwa M ⊆ Sᵢ ⊆ R, sehingga M ⊆ S ⊆ R, karena S merupakan irisan dari semua Sᵢ.

• Bukti S ideal dari R

Ambil sebarang a, b ∈ S. Menurut definisi irisan, (∀i ∈ I). a, b ∈ Sᵢ. Karena Sᵢ ideal, Sᵢ merupakan ring sehingga tertutup terhadap operasi pengurangan dan perkalian, yaitu:

(∀i ∈ I). a – b, ab ∈ Sᵢ

Karena a – b, ab ∈ Sᵢ; a – b dan ab merupakan anggota dari irisan seluruh Sᵢ, yaitu S.

Oleh karena itu, S tertutup terhadap operasi pengurangan dan perkalian, dan dikarenakan S ⊆ R, S merupakan subring dari R.

Ambil sebarang r ∈ R. Dikarenakan Sᵢ ideal, berakibat (∀i ∈ I). ar, ra ∈ Sᵢ. Ini berarti ar, ra ∈ S.

Jadi, S merupakan ideal dari R.

• Bukti S ideal terkecil yang memuat M

Sebelum membuktikan perlu diketahui bahwa S ideal terkecil yang memuat M artinya untuk setiap T yang merupakan ideal dari R dan memuat M selalu berlaku S ⊆ T.

Misal T ideal dari R yang memuat M, berarti (∃j ∈ I) ∋ T = Sⱼ. Menurut definisi irisan,

(∀i ∈ I). S ⊆ Sᵢ

Hal ini mengharuskan S ⊆ T.

Jadi, S merupakan ideal terkecil dari R yang memuat M.

3. Ideal dengan Elemen Satuan

A. Ketaksejatian Ideal dengan Elemen Satuan

Misal R adalah ring dan I adalah ideal dalam R. Jika I memiliki elemen satuan, maka I = R.

Bukti:

Diberikan I adalah ideal dalam R, jelas bahwa I ⊆ R. Diberikan juga 1 ∈ I ⊆ R.

Ambil sebarang r ∈ R. Karena R memiliki elemen satuan, berlaku r = 1 ⋅ r = r ⋅ 1.

Karena I ideal dalam R dan 1 ∈ I, diharuskan r = 1 ⋅ r = r ⋅ 1 ∈ I.

Jadi, (∀r). r ∈ R ⇒ r ∈ I ≡ R ⊆ I.

∴ I ⊆ R ∧ R ⊆ I ≡ I = R.

Q. E. D.

Dapat disimpulkan bahwa untuk ring R dengan elemen satuan, tidak ada ideal yang memiliki elemen satuan selain R itu sendiri.

B. Field dan Division Ring

Field tidak memiliki ideal sejati.

Bukti:

Misal F merupakan field, berlaku (∀f ∈ F). f ≠ 0 ⇒ (∃f⁻¹ ∈ F) ∋ ff⁻¹ = 1.

Misal S merupakan ideal dari F, untuk S = {0} jelas bahwa S bukan ideal sejati, adapun untuk S ≠ {0} berikut uraiannya:

S ≠ {0}, berarti (∃s ∈ S) ∋ s ≠ 0. Karena S ideal dari F dan s ∈ S, maka s ∈ F, dan dikarenakan s ≠ 0, berakibat (∃s⁻¹ ∈ F) ∋ ss⁻¹ = 1.

Karena S ideal, s ∈ S, dan s⁻¹ ∈ F, maka ss⁻¹ = 1 ∈ S. Ini berarti S memiliki elemen satuan sehingga diharuskan S = F. Jadi, S bukan ideal sejati dari F.

Q. E. D.

Tambahan:

Dalam pembuktian teorema ini tidak ada penggunaan sifat komutatif perkalian, berarti sifat komutatif bukanlah keharusan, sehingga hal ini juga berlaku untuk division ring, yaitu division ring tidak memiliki ideal sejati.

4. Ideal Utama

A. Definisi Ideal Utama

Ideal dari suatu ring yang dibangun oleh elemen tunggal dari ring tersebut disebut ideal utama. Jika ideal I dibangun oleh elemen tunggal a maka dituliskan dengan I = 〈a〉.

B. Contoh Ideal Utama

1. Sangat trivial bahwa {0} merupakan ideal utama dari sebarang ring, karena {0} dibangun oleh elemen tunggal, yaitu 0.

2. Perhatikan bahwa 2ℤ merupakan ideal utama dari ℤ karena dibangun oleh elemen tunggal dari ℤ, yaitu 2.

3. Secara umum ideal utama yang memungkinkan untuk ring ℤₙ adalah ideal yang dibangun oleh faktor-faktor dari n.

C. Ring Ideal Utama

Ring komutatif R tanpa pembagi nol dan dengan elemen satuan dikatakan ring ideal utama jika setiap ideal dari ring R merupakan ideal utama.

Contoh:

Ring dari semua bilangan bulat merupakan ring ideal utama, karena ideal-ideal yang memungkinkan adalah kℤ dengan k bilangan bulat, ini berarti untuk sebarang kℤ selalu dibangun oleh k.

5. Ideal Maksimal

A. Definisi Ideal Maksimal

Misal S ideal sejati dari R. S dikatakan ideal maksimal jika tidak ada ideal sejati dari ring R yang memuat S.

B. Ideal Maksimal dari Ring Bilangan Bulat

Ideal S dari ring semua bilangan bulat adalah ideal maksimal jika dan hanya jika S dibangun oleh suatu bilangan bulat prima.

Bukti:

Misal S ideal dari ring semua bilangan bulat.

• Jika S dibangun oleh suatu bilangan bulat prima, maka S ideal maksimal

S dibangun oleh suatu bilangan bulat prima, karena faktor dari bilangan prima hanyalah 1 dan bilangan itu sendiri, satu-satunya ideal lain yang memuat S hanyalah 〈1〉, yang merupakan ℤ itu sendiri. Jadi, S merupakan ideal maksimal.

• Jika S ideal maksimal, maka S dibangun oleh suatu bilangan bulat prima

Kontraposisi: Jika S dibangun oleh suatu bilangan bulat bukan prima, maka S bukan ideal maksimal.

Diberikan S dibangun oleh suatu bilangan bulat bukan prima, hanya ada 2 kemungkinan, yaitu S = 〈1〉 yang merupakan ℤ itu sendiri, atau S dibangun oleh suatu bilangan bulat komposit.

Untuk S = 〈1〉 yang merupakan ℤ itu sendiri, jelas bukan ideal maksimal, karena bukan ideal sejati.

Untuk S dibangun oleh suatu bilangan bulat komposit, misalkan k, sehingga S = 〈k〉, berarti ada bilangan prima p yang merupakan faktor dari k, sehingga berakibat 〈p〉 memuat 〈k〉 = S. Ini berarti S bukan ideal maksimal.

Jadi, jika S dibangun oleh suatu bilangan bulat bukan prima, maka S bukan ideal maksimal. Kontraposisinya adalah jika S ideal maksimal, maka S dibangun oleh suatu bilangan bulat prima.

Kesimpulan: Telah terbukti untuk kedua arah.

6. Ideal Prima

A. Definisi Ideal Prima

Misal R ring komutatif dan S merupakan ideal dari R. S disebut ideal prima jika berlaku:

(∀a, b ∈ R). ab ∈ S ⇒ a ∈ S ∨ b ∈ S

B. Contoh Ideal Prima

Sebarang pℤ dengan p bilangan prima merupakan ideal prima dari ℤ, dikarenakan bilangan prima memiliki sifat

(∀a, b ∈ ℤ). p | ab ⇒ p | a ∨ p | b

Contoh Soal

1. Jika I dan J ideal dari ring R dan I + J = {i + j | i ∈ I, j ∈ J} maka I + J juga ideal dari R.

Bukti:

• Bukti I + J subring dari R

Ambil sebarang k₁, k₂ ∈ I + J, berarti (∃i₁, i₂ ∈ I)(∃j₁, j₂ ∈ J) ∋ k₁ = i₁ + j₁ ∧ k₂ = i₂ + j₂.

Karena I dan J ideal dari ring R, berarti keduanya subset dari R, sehingga i₁, i₂ ∈ R ∧ j₁, j₂ ∈ R.

Karena R ring, operasi penjumlahan bersifat tertutup, sehingga k₁ ∈ R.

Jadi, I + J ⊆ R.

k₁ – k₂ = (i₁ + j₁) – (i₂ + j₂) = (i₁ – i₂) + (j₁ – j₂)

karena I dan J merupakan ring, keduanya tertutup terhadap pengurangan, sehingga i₁ – i₂ ∈ I dan j₁ – j₂ ∈ J, akibatnya

k₁ – k₂ = (i₁ – i₂) + (j₁ – j₂) ∈ I + J.

k₁k₂ = (i₁ + j₁)k₂ = i₁k₂ + j₁k₂

karena i₁ ∈ I, j₁ ∈ J, k₂ ∈ R, dan dikarenakan I dan J ideal dari R, berakibat i₁k₂ ∈ I dan j₁k₂ ∈ R, sehingga

k₁k₂ = i₁k₂ + j₁k₂ ∈ I + J.

I + J ⊆ R, operasi pengurangan dan perkalian bersifat tertutup, sehingga I + J merupakan subring dari R.

• Bukti I + J ideal dari R

I ideal di R, berarti (∀i ∈ I, r ∈ R). ir, ri ∈ I

J ideal di R, berarti (∀j ∈ J, r ∈ R). jr, rj ∈J

Ambil sebarang k ∈ I + J, berarti (∃i ∈ I, j ∈ J) ∋ k = i + j

kr = (i + j)r = ir + jr ∈ I + J

rk = r(i + j) = ri + rj ∈ I + J

Jadi, I + J merupakan ideal dari R.

2. Diketahui R adalah ring komutatif dengan elemen satuan. Misalkan a, b ∈ R dan S = {pa + qb | p, q ∈ R}. Tunjukkan bahwa:

2a. S merupakan ideal dari R yang memuat a dan b.

Diberikan a, b ∈ R dan S = {pa + qb | p, q ∈ R}.

• Bukti S memuat a dan b

Pilih p = 1 dan q = 0, karena R ring dan memuat elemen satuan maka p, q ∈ R, sehingga

pa + qb = 1a + 0b = a ∈ S.

Pilih p = 0 dan q = 1, sehingga pa + qb = 0a + 1b = b ∈ S.

Jadi, S memuat a dan b.

• Bukti S subring

Ambil sebarang c₁, c₂ ∈ S. Berarti (∃p₁, p₂, q₁, q₂ ∈ R) ∋ c₁ = p₁a + q₁b ∧ c₂ = p₂a + q₂b.

Karena a, b ∈ R; p₁, p₂, q₁, q₂ ∈ R; dan R ring maka operasi penjumlahan dan perkalian bersifat tertutup, sehingga c₁, c₂ ∈ R. Jadi, S ⊆ R.

c₁ – c₂ = (p₁a + q₁b) – (p₂a + q₂b) = (p₁ – p₂)a + (q₁ – q₂)b

karena R ring, maka p₁ – p₂, q₁ – q₂ ∈ R, sehingga

c₁ – c₂ = (p₁ – p₂)a + (q₁ – q₂)b ∈ S.

c₁c₂ = c₁(p₂a + q₂b) = c₁(p₂a) + c₁(q₂b) = (c₁p₂)a + (c₁q₂)b

karena c₁ ∈ S ⊆ R; q₁, q₂ ∈ R; dan R ring maka c₁p₂, c₁q₂ ∈ R, sehingga

c₁c₂ = (c₁p₂)a + (c₁q₂)b ∈ S.

Jadi, S ⊆ R dan c₁ – c₂, c₁c₂ ∈ S; sehingga S merupakan subring dari R.

• Bukti S ideal

Ambil sebarang r ∈ R dan c ∈ S, berarti (∃p, q ∈ R) ∋ c = pa + qb.

rc = r(pa + qb) = r(pa) + r(qb) = (rp)a + (rq)b ∈ S.

karena R komutatif, berlaku cr = rc ∈ S.

Jadi, S merupakan ideal dari R dan S memuat a dan b.

2b. Jika I ideal yang lain dan memuat a dan b, maka S ⊆ I.

Diberikan I merupakan ideal dari R dan I memuat a dan b, berarti (∀r ∈ R). ar, ra, br, rb ∈ I.

Ambil sebarang c ∈ S, berarti (∃p, q ∈ R) ∋ c = pa + qb.

Karena a, b ∈ I; p, q ∈ R; dan I ideal dari R; maka pa, qb ∈ I, sehingga c = pa + qb ∈ I.

Jadi, S ⊆ I.

3. Misal R ring komutatif dengan elemen satuan. Buktikan bahwa jika R tidak memiliki ideal sejati maka R merupakan field.

Diberikan R ring komutatif dengan elemen satuan. Untuk membuktikan bahwa R merupakan field, cukup dengan membuktikan bahwa setiap elemen taknol selalu memiliki invers.

Ambil sebarang a ∈ R ∧ a ≠ 0, buat ideal yang dibangun oleh a, yaitu 〈a〉 = {ar : r ∈ R}.

Karena a ≠ 0, jelas bahwa 〈a〉 = {ar : r ∈ R} ≠ {0}, dan karena R tidak memiliki ideal sejati diharuskan 〈a〉 = R.

Karena R memiliki elemen satuan dan 〈a〉 = R, diperoleh 1 ∈ 〈a〉.

Menurut definisi dari 〈a〉, diharuskan (∃r ∈ R) ∋ 1 = ar, dan karena R ring komutatif, ra = ar = 1. Ini berarti r merupakan invers dari a.

Jadi, R merupakan field.

4. Misal R ring, sedangkan S dan T merupakan ideal dari R. Misal didefinisikan ST sebagai berikut:

Buktikan bahwa ST ideal dari R dan ST ⊆ S ∩ T.

• Bukti ST ideal dari R

Diberikan S dan T merupakan ideal dari R, berarti S ⊆ R dan T ⊆ R. Dikarenakan R merupakan ring, operasi penjumlahan dan perkalian bersifat tertutup, sehingga ST ⊆ R.

Ambil sebarang a, b ∈ ST. Berarti dapat dituliskan:

dengan pᵢ, sⱼ ∈ S dan qᵢ, tⱼ ∈ T.

sehingga a – b adalah

Misal p_j+m = –sⱼ dan q_j+m = tⱼ, diperoleh

dari bentuk terakhir, a – b ∈ ST.

Ambil sebarang r ∈ R. Berarti ar dan ra adalah:

karena (∀i). qᵢ ∈ T, dan r ∈ R, dan T ideal dari R, maka qᵢr ∈ T, sehingga ar ∈ ST.

Jadi, ST ⊆ R, dan ST tertutup terhadap pengurangan, dan ST tertutup terhadap perkalian dengan elemen-elemen dari R, sehingga ST merupakan ideal dari R.

• Bukti ST ⊆ S ∩ T

Ambil sebarang a ∈ ST, berarti dapat dituliskan:

dengan (∀i). pᵢ ∈ S, qᵢ ∈ T.

Karena S dan T ideal dari R, maka T ⊆ R, sehingga qᵢ ∈ R, dan (∀i). pᵢqᵢ ∈ S.

Karena S ideal dari R, maka S merupakan ring, sehingga operasi penjumlahan bersifat tertutup, akibatnya a ∈ S.

Juga S ⊆ R, sehingga pᵢ ∈ S, dan (∀i). pᵢqᵢ ∈ T.

Karena T ideal dari R, maka T merupakan ring, sehingga operasi penjumlahan bersifat tertutup, akibatnya a ∈ T.

a ∈ S ∧ a ∈ T ≡ a ∈ S ∩ T

∴ (∀a). a ∈ ST ⇒ a ∈ S ∩ T. Dengan kata lain ST ⊆ S ∩ T.

Kesimpulan akhir: ST merupakan ideal dari R dan ST ⊆ S ∩ T.