Subring

1. Subring

A. Definisi

Misal S ≠ ∅ dan S ⊆ R dengan (R, +, ⋅) merupakan ring. Jika dengan operasi yang sama S juga membentuk ring, maka S disebut sebagai subring dari R.

B. Catatan Umum Mengenai Subring

Setiap ring R pasti memiliki subring trivial, yaitu {0} dan subring tak sejati, yaitu R itu sendiri. Jika ada subring lain selain {0} dan R, maka disebut sebagai subring sejati.

C. Contoh Subring Sejati

1. (ℤ, +, ⋅) merupakan subring sejati dari (ℚ, +, ⋅)

2. (ℚ, +, ⋅) merupakan subring sejati dari (ℝ, +, ⋅)

3. Dengan operasi penjumlahan dan perkalian modulo 4, himpunan 2ℤ₄ = {0, 2} merupakan subring sejati dari ℤ₄ = {0, 1, 2, 3}.

2. Teorema Pengecekan Subring

Pernyataan berikut ini ekivalen:

(i) S merupakan subring dari R

(ii) S ⊆ R ∧ (∀a, b ∈ S). a – b ∈ S ∧ ab ∈ S

Bukti:

• Bukti (i) ⇒ (ii)

S subring dari R, berarti S ⊆ R dan S merupakan ring, akibatnya (∀a, b ∈ S) berlaku:

–b ∈ S ⇒ a + (–b) = a – b ∈ S ∧ ab ∈ S

• Bukti (ii) ⇒ (i)

Diberikan S ⊆ R, berarti berlaku sifat asosiatif penjumlahan dan perkalian, juga sifat komutatif penjumlahan, serta sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.

Diberikan (∀a, b ∈ S). a – b ∈ S ∧ ab ∈ S

0 = a – a ∈ S

–a = 0 – a ∈ S

b ∈ S ⇒ –b ∈ S, sehingga a – (–b) = a + b ∈ S

S memenuhi 8 sifat ring, berarti merupakan ring, juga karena S ⊆ R, S merupakan subring dari R.

Tips n trick:

Teorema ini memudahkan kita untuk mengecek suatu subset apakah merupakan subring atau bukan.

3. Irisan dan Gabungan Subring

A. Irisan Subring

Irisan sesama subring menghasilkan subring.

Bukti:

Misal S dan T subring dari R.

Ambil sebarang a, b ∈ S ∩ T. Ini berarti a, b ∈ S dan a, b ∈ T. Karena S dan T subring dari ring R, maka berlaku a − b, ab ∈ S dan a − b, ab ∈ T. Akibatnya a − b, ab ∈ S ∩ T. Jadi S ∩ T merupakan subring dari ring R. ■

B. Gabungan Subring

Gabungan dua subring bisa jadi menghasilkan subring, bisa juga tidak.

Contoh:

Misal R = ℤ = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}

S = 2ℤ = {..., –4, –2, 0, 2, 4, ...}

T = 3ℤ = {..., –6, –3, 0, 3, 6, ...}

V = 4ℤ = {..., –8, –4, 0, 4, 8, ...}

Pertimbangkan bahwa S, T, dan V merupakan subring dari R.

Perhatikan bahwa 2 ∈ S ∪ T dan 3 ∈ S ∪ T, tetapi 2 + 3 = 5 ∉ S ∪ T. Ini berarti S ∪ T bukan ring karena operasi penjumlahan tidak tertutup, sehingga bukan subring dari R.

Sedangkan S ∪ V = S yang merupakan subring dari R.

C. Subring Memuat Subset

Irisan koleksi semua subring yang memuat subset M dari ring R adalah subring terkecil dari ring R yang memuat M.

Bukti:

Misal

dengan Sᵢ subring dari R yang memuat subset M dan I merupakan himpunan indeks.

Dalam bentuk ini, S merupakan irisan koleksi semua subring yang memuat subset M dari ring R.

• Bukti M ⊆ S ⊆ R

Karena Sᵢ subring dari R dan memuat M, jelas bahwa M ⊆ Sᵢ ⊆ R, sehingga M ⊆ S ⊆ R, karena S merupakan irisan dari semua Sᵢ.

• Bukti S subring dari R

Ambil sebarang a, b ∈ S. Menurut definisi irisan, (∀i ∈ I). a, b ∈ Sᵢ. Karena Sᵢ subring, Sᵢ merupakan ring sehingga tertutup terhadap operasi pengurangan dan perkalian, yaitu:

(∀i ∈ I). a – b, ab ∈ Sᵢ

Karena a – b, ab ∈ Sᵢ; a – b dan ab merupakan anggota dari irisan seluruh Sᵢ, yaitu S.

Jadi, S tertutup terhadap operasi pengurangan dan perkalian, dan dikarenakan S ⊆ R, S merupakan subring dari R.

• Bukti S subring terkecil yang memuat M

Sebelum membuktikan perlu diketahui bahwa S subring terkecil yang memuat M artinya untuk setiap T yang merupakan subring dari R dan memuat M selalu berlaku S ⊆ T.

Misal T subring dari R yang memuat M, berarti (∃j ∈ I) ∋ T = Sⱼ. Menurut definisi irisan,

(∀i ∈ I). S ⊆ Sᵢ

Hal ini mengharuskan S ⊆ T.

Jadi, S merupakan subring terkecil dari R yang memuat M.