Isomorfisma Ring dan Karakteristik

1. Isomorfisma Ring

A. Istilah-Istilah seputar Isomorfisma Ring

• Isomorfisma ring adalah homomorfisma ring yang bersifat bijektif.

• Isomorfisma ring yang memetakan ke ring yang sama disebut otomorfisma.

• Jika terdapat isomorfisma ring dari R ke S, maka dikatakan R dan S isomorfik, dituliskan R ≅ S.

B. Contoh Isomorfisma Ring

Misal didefinisikan f: ℤ₆ → ℤ₂ × ℤ₃ dengan f(a) = (a, a), perhatikan uraian berikut:

f(0) = (0, 0) = (0, 0)

f(1) = (1, 1) = (1, 1)

f(2) = (2, 2) = (0, 2)

f(3) = (3, 3) = (1, 0)

f(4) = (4, 4) = (0, 1)

f(5) = (5, 5) = (1, 2)

f merupakan fungsi karena nilainya ada dan tunggal. Selain itu, dari uraian tersebut terlihat bahwa f injektif. Dikarenakan semua kemungkinan anggota-anggota dari ℤ₂ × ℤ₃ memiliki prapeta di ℤ₆, f bersifat surjektif. Jadi, f merupakan fungsi bijektif.

Untuk sebarang a, b ∈ ℤ₆; berlaku f(a + b) = (a + a, b + b) = (a, a) + (b, b) = f(a) + f(b), juga

f(ab) = (ab, ab) = (a, a)·(b, b) = f(a)f(b)

Jadi, f merupakan fungsi bijektif dan mengawetkan operasi penjumlahan dan perkalian, sehingga f merupakan isomorfisma ring.

Dikarenakan terdapat isomorfisma dari ℤ₆ ke ℤ₂ × ℤ₃, maka ℤ₆ dan ℤ₂ × ℤ₃ isomorfik, dituliskan

ℤ₆ ≅ ℤ₂ × ℤ₃

C. Ekivalensi Relasi Isomorfik

Relasi isomorfik merupakan relasi ekivalen.

Bukti:

• Sifat refleksif

Setiap ring pasti isomorfik dengan ring itu sendiri, karena fungsi identitas yang memetakan ke ring yang sama merupakan isomorfisma.

• Sifat simetrik

Misal R ≅ S, berarti ada isomorfisma f dari R ke S.

Isomorfisma adalah homomorfisma yang bersifat bijektif, oleh karena itu inversnya juga merupakan homomorfisma yang bijektif, sehingga f⁻¹ merupakan isomorfisma dari S ke R. Ini berarti ada isomorfisma dari S ke R. Jadi, S ≅ R.

• Sifat transitif

Misal R ≅ S, berarti ada isomorfisma f dari R ke S.

Misal S ≅ T, berarti ada isomorfisma g dari S ke T.

Isomorfisma adalah homomorfisma yang bersifat bijektif, oleh karena itu komposisi dari 2 isomorfisma menghasilkan isomorfisma, dalam kasus ini g ∘ f merupakan isomorfisma dari R ke T. Jadi, R ≅ T.

Relasi isomorfik bersifat refleksif, simetrik, dan transitif, sehingga merupakan relasi ekivalen.

D. Isomorfisitas Ring Bilangan Bulat Modular

Misal didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian modular untuk ℤₘₙ dan didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian modular di masing-masing komponen ℤₘ × ℤₙ. Kedua ring ℤₘₙ dan ℤₘ × ℤₙ isomorfik jika dan hanya jika m dan n koprim.

Bukti:

(i) Bukti jika ℤₘₙ dan ℤₘ × ℤₙ isomorfik maka m dan n koprim.

Andaikan ℤₘₙ dan ℤₘ × ℤₙ isomorfik tetapi m dan n tidak koprim.

ℤₘₙ dan ℤₘ × ℤₙ isomorfik, berarti terdapat isomorfisma dari ℤₘₙ dan ℤₘ × ℤₙ, misal didefinisikan homomorfisma f dengan

f([a]ₘₙ) = ([a]ₘ, [a]ₙ)

yang mana di bagian (ii) dibuktikan bahwa f isomorfisma.

Misal m dan n tidak koprim, berarti FPB dari m dan n adalah k > 1.

Lebih lanjut m = pk dan n = qk, dengan 1 ≤ p < m dan 1 ≤ q < n.

Oleh karena itu 1 < kpq < k²pq = mn.

f([kpq]ₘₙ) = ([kpq]ₘ, [kpq]ₙ) = ([(kp)q]ₘ, [(kq)p]ₙ) = ([mq]ₘ, [np]ₙ) = ([0]ₘ, [0]ₙ).

Dikarenakan 1 < kpq < mn, berarti kpq ≠ 0, padahal f(kpq) = 0 = f(0). Ini kontradiksi dengan f injektif.

Oleh karena itu pengandaian harus diingkar dan yang benar adalah jika ℤₘₙ dan ℤₘ × ℤₙ isomorfik maka m dan n koprim.

(ii) Bukti jika m dan n koprim maka ℤₘₙ dan ℤₘ × ℤₙ isomorfik.

Diberikan m dan n koprim, misal didefinisikan homomorfisma f dengan f([a]ₘₙ) = ([a]ₘ, [a]ₙ).

Agar f([a]ₘₙ) = ([0]ₘ, [0]ₙ), diharuskan m | a dan n | a, berarti a merupakan kelipatan persekutuan dari m dan n.

Karena m dan n koprim, KPK dari m dan n adalah mn, jadi diharuskan mn | a, sehingga [a]ₘₙ = [0]ₘₙ. Ini berarti ker(f) = {0}, sehingga f injektif.

Perhatikan bahwa |ℤₘₙ| = mn, dan dikarenakan f injektif, banyak anggota range f adalah |ℤₘₙ| = mn, yang sama dengan |ℤₘ|·|ℤₙ|, sehingga diharuskan f surjektif.

Jadi, f merupakan homomorfisma bijektif, sehingga merupakan isomorfisma. Akibatnya ℤₘₙ dan ℤₘ × ℤₙ isomorfik.

2. Sifat-Sifat Ring yang Terawetkan oleh Isomorfisma

A. Keawetan Sifat Komutatif

Bayangan isomorfik dari ring komutatif merupakan ring komutatif.

Bukti:

Cara I: Bukti langsung

Misal f isomorfisma ring dari R ke S, dan R ring komutatif.

Ambil sebarang p, q ∈ S. Karena f isomorfisma, maka f epimorfisma, sehingga

(∃a, b ∈ R) ∋ f(a) = p ∧ f(b) = q. Karena R ring komutatif, ab = ba.

pq = f(a)f(b) = f(ab) = f(ba) = f(b)f(a) = qp.

Jadi, (∀p, q ∈ S). pq = qp. Dengan kata lain, S ring komutatif.

Cara II: Kontraposisi

Misal f isomorfisma ring dari R ke S, berarti f epimorfisma dan monomorfisma.

Diberikan S bukan ring komutatif, berarti (∃p, q ∈ S) ∋ pq ≠ qp.

Karena f epimorfisma, (∃a, b ∈ R) ∋ f(a) = p ∧ f(b) = q.

Karena f monomorfisma, f(ab) = f(a)f(b) = pq ≠ qp = f(b)f(a) = f(ba) mengharuskan ab ≠ ba. Ini berarti R bukan ring komutatif.

Jadi, jika S bukan ring komutatif maka R bukan ring komutatif. Kontraposisinya adalah jika R ring komutatif maka S ring komutatif.

B. Keawetan Eksistensi Elemen Satuan

Bayangan isomorfik dari ring dengan elemen satuan merupakan ring dengan elemen satuan.

Bukti:

Misal f isomorfisma ring dari R ke S, dan R ring dengan elemen satuan.

Ambil sebarang p ∈ S, berarti (∃a ∈ R) ∋ f(a) = p.

p = f(a) = f(1·a) = f(1)f(a)

p = f(a) = f(a·1) = f(a)f(1)

Ini berarti f(1) merupakan elemen satuan di S.

Jadi, S ring dengan elemen satuan.

C. Keawetan Ketiadaan Pembagi Nol

Bayangan isomorfik dari ring tanpa pembagi nol merupakan ring tanpa pembagi nol.

Bukti:

Misal f isomorfisma ring dari R ke S, dan R ring tanpa pembagi nol.

Ambil sebarang p, q ∈ S\{0}. Karena f surjektif, (∃a, b ∈ R) ∋ f(a) = p ∧ f(b) = q.

Karena f fungsi, f(a) = p ≠ 0 = f(0) dan f(b) = q ≠ 0 = f(0), diharuskan a ≠ 0 dan b ≠ 0.

Karena R tidak memiliki pembagi nol, a ≠ 0 dan b ≠ 0, maka ab ≠ 0.

Karena f injektif dan ab ≠ 0, maka f(ab) ≠ f(0) = 0.

pq = f(a)f(b) = f(ab) ≠ f(0) = 0. Ini berarti hasil kali sebarang elemen taknol di S selalu elemen taknol. Dengan kata lain, S tidak memiliki pembagi nol.

Akibat:

Karena bayangan isomorfik dari ring komutatif merupakan ring komutatif, dan bayangan isomorfik dari ring tanpa pembagi nol merupakan ring tanpa pembagi nol, akibatnya bayangan isomorfik dari daerah integral merupakan daerah integral.

D. Keawetan Field

Bayangan isomorfik dari field merupakan field.

Bukti:

Misal f isomorfisma ring dari F ke S, dan F merupakan field.

F merupakan field, berarti F komutatif, memiliki elemen satuan, dan setiap elemen taknol memiliki invers.

F komutatif, dan f isomorfisma dari F ke S, maka S komutatif.

F memiliki elemen satuan, dan f isomorfisma dari F ke S, maka S memiliki elemen satuan dan f(1) = 1.

Ambil sebarang p ∈ S\{0}, berarti (∃a ∈ R) ∋ f(a) = p. Karena p ≠ 0 dan f fungsi, maka a ≠ 0.

Karena setiap elemen taknol di F memiliki invers, (∃a⁻¹ ∈ F\{0}) ∋ aa⁻¹ = a⁻¹a = 1.

p·f(a⁻¹) = f(a)f(a⁻¹) = f(aa⁻¹) = f(1) = 1.

f(a⁻¹)·p = f(a⁻¹)f(a) = f(a⁻¹a) = f(1) = 1.

Ini berarti f(a⁻¹) merupakan invers perkalian dari p. Jadi, setiap elemen taknol di S memiliki invers perkalian.

Secara keseluruhan S merupakan field.

3. Sifat-Sifat Elemen yang Terawetkan oleh Isomorfisma

A. Keawetan Invertibilitas

Peta isomorfisma dari elemen invertibel adalah elemen invertibel dan prapeta isomorfisma dari elemen invertibel adalah elemen invertibel.

Bukti:

(i) Bukti peta isomorfisma dari elemen invertibel adalah elemen invertibel

Misal f isomorfisma dari ring R ke S.

Ambil sebarang elemen invertibel di R, misal a, berarti (∃a⁻¹ ∈ R) ∋ aa⁻¹ = a⁻¹a = 1.

f(a)f(a⁻¹) = f(aa⁻¹) = f(1) = 1.

f(a⁻¹)f(a) = f(a⁻¹a) = f(1) = 1.

Jadi, f(a) memiliki invers, yaitu f(a⁻¹). Ini berarti f(a) merupakan elemen invertibel.

(ii) Bukti prapeta isomorfisma dari elemen invertibel adalah elemen invertibel

Karena f isomorfisma, invers dari f, yaitu f⁻¹ juga merupakan isomorfisma. Oleh karena itu jika p merupakan sebarang elemen invertibel di S, f⁻¹(p) yang merupakan prapeta f dari p juga invertibel.

B. Keawetan Pembagi Nol

Peta isomorfisma dari pembagi nol adalah pembagi nol dan prapeta isomorfisma dari pembagi nol adalah pembagi nol.

Bukti:

(i) Bukti peta isomorfisma dari pembagi nol adalah pembagi nol

Ambil sebarang a ∈ R\{0} dengan a pembagi nol, berarti (∃b ∈ R\{0}) ∋ ab = 0.

Karena f injektif, f(a) ≠ 0 dan f(b) ≠ 0, akan tetapi

f(a)f(b) = f(ab) = f(0) = 0.

Ini berarti f(a) merupakan pembagi nol.

(ii) Bukti prapeta isomorfisma dari pembagi nol adalah pembagi nol

Karena f isomorfisma, invers dari f, yaitu f⁻¹ juga merupakan isomorfisma. Oleh karena itu jika p merupakan sebarang pembagi nol di S, f⁻¹(p) yang merupakan prapeta f dari p juga pembagi nol.

4. Karakteristik Ring

A. Karakteristik Taknol dan Karakteristik Nol

• Ring R dikatakan memiliki karakteristik taknol jika (∃n ∈ ℕ)(∀a ∈ R). na = 0

n terkecil yang memenuhi "(∀a ∈ R). na = 0" disebut karakteristik dari R.

• Ring R dikatakan memiliki karakteristik taknol jika (∀a ∈ R). na = 0 hanya dipenuhi oleh n = 0.

B. Kriteria Karakteristik Taknol untuk Ring dengan Elemen Satuan

Misal R ring dengan elemen satuan, pernyataan berikut ini ekivalen:

(i) Karakteristik dari R adalah n, dengan n ∈ ℕ

(ii) n merupakan bilangan asli terkecil yang memenuhi n·1 = 0

C. Kriteria Karakteristik Nol untuk Ring dengan Elemen Satuan

Misal R ring dengan elemen satuan, pernyataan berikut ini ekivalen:

(i) Karakteristik dari R adalah 0

(ii) 0 merupakan satu-satunya bilangan yang memenuhi n·1 = 0

D. Karakteristik Daerah Integral

Karakteristik daerah integral adalah 0 atau bilangan prima.

Bukti:

Andaikan karakteristik suatu daerah integral R taknol dan bukan bilangan prima, misalkan sebagai n. Berarti (∃k, l ∈ ℕ\[n, ∞)) ∋ kl = n. Karena n merupakan karakteristik R, berlaku:

n·1 = 0

(kl)·1 = 0

(k·1)(l·1) = 0

karena R daerah integral, R tidak memiliki pembagi nol, sehingga diharuskan k·1 = 0 ∨ l·1 = 0.

Ini kontradiksi dengan n karakteristik R, karena k dan l kurang dari n tetapi memenuhi definisi karakteristik. Oleh karena itu pengandaian harus diingkar dan yang benar adalah n = 0 atau n bilangan prima.

E. Hubungan Keterbagian dengan Karakteristik

Misal R ring dengan karakteristik n dan diberikan bilangan asli m, berlaku m·1 = 0 ⇔ n | m.

Bukti m·1 = 0 ⇒ n | m:

R ring dengan karakteristik n, berarti n merupakan bilangan asli terkecil yang memenuhi n·1 = 0.

Kontraposisi: n ∤ m ⇒ m·1 ≠ 0.

n ∤ m, menurut algoritma pembagian (∃k ∈ ℕ\[n, ∞))(∃l ∈ ℤ) ∋ m = ln + k.

m·1 = (ln + k)·1 = (ln)·1 + k·1 = l(n·1) + k·1 = l·0 + k·1 = 0 + k·1 = k·1

karena n merupakan bilangan asli terkecil yang memenuhi n·1 = 0 dan 1 ≤ k < n, berakibat

m·1 = k·1 ≠ 0.

Jadi, n ∤ m ⇒ m·1 ≠ 0. Kontraposisinya adalah m·1 = 0 ⇒ n | m.

Bukti n | m ⇒ m·1 = 0:

n | m, berarti (∃l ∈ ℤ) ∋ m = ln.

m·1 = (ln)·1 = l(n·1) = l·0 = 0.

Akibat:

Misal R ring dengan karakteristik m dan S ring dengan karakteristik n, karakteristik dari R × S adalah KPK dari m dan n.

F. Hubungan Karakteristik Daerah Integral dengan Elemen Taknol

Jika R suatu daerah integral dengan elemen satuan dan (∃a ∈ R\{0}) dan n bilangan asli terkecil yang memenuhi n·a = 0, maka n merupakan karakteristik dari R.

Bukti:

Misal R daerah integral dan a ∈ R.

Diberikan n bilangan asli terkecil yang memenuhi n·a = 0

0 = n·a = n(1·a) = (n·1)a, karena R daerah integral dan a ≠ 0, diharuskan n·1 = 0.

Jadi, n bilangan asli terkecil yang memenuhi n·1 = 0 sehingga n merupakan karakteristik R.

G. Eksistensi Subring yang Isomorfik dengan ℤ dari Daerah Integral Berkarakteristik 0

Misal R daerah integral dengan elemen satuan dan karakteristiknya adalah 0. R memiliki subring yang isomorfik dengan ℤ.

Bukti:

Misal didefinisikan homomorfisma f dari ℤ ke R dengan f(n) = n·1.

Ambil sebarang m, n ∈ ℤ dengan f(m) = f(n).

f(m) = f(n), berarti m·1 = n·1.

m·1 – n·1 = 0

(m – n)·1 = 0

Karena karakteristik R adalah 0, (m – n)·1 = 0 hanya dipenuhi oleh m – n = 0 ⇔ m = n.

Jadi, f merupakan monomorfisma.

Meskipun f dari ℤ ke R bukan epimorfisma, tetapi jika kita membatasi kodomain f untuk range(f), akan diperoleh f epimorfisma.

Jadi, f merupakan isomorfisma ke suatu subring dari R. Ini berarti R memiliki subring yang isomorfik dengan ℤ.

H. Keterbagian Banyak Anggota oleh Karakteristik

Misal banyak anggota dari ring R adalah n. Karakteristik dari R merupakan faktor dari n.

Bukti:

R merupakan ring, maka (R, +) merupakan grup, sehingga orde setiap anggota dari R merupakan faktor-faktor dari banyak anggotanya, yaitu n.

Akibatnya n merupakan kelipatan persekutuan dari orde-orde anggota R, sehingga KPK dari orde-orde anggota R merupakan faktor dari n.

Misal a ∈ R dan orde dari a adalah m, berarti m merupakan bilangan asli terkecil yang memenuhi ma = 0.

Oleh karena itu bilangan asli terkecil k yang memenuhi ka = 0 untuk setiap a ∈ R, yang berarti k merupakan karakteristik dari R, adalah KPK dari orde-orde anggota R yang merupakan faktor dari n.

Dengan kata lain, k merupakan faktor dari n.

I. Kesamaan Karakteristik Ring yang Isomorfik

Misal ring R dan S isomorfik, keduanya memiliki karakteristik yang sama.

Bukti:

Diberikan ring R dan S isomorfik, berarti terdapat isomorfisma f dari R ke S.

• Kasus untuk char(R) = 0

Andaikan char(S) = k ∈ ℕ, berarti (∀p ∈ S). k·p = 0

f merupakan isomorfisma, berarti f epimorfisma, sehingga (∀p ∈ S)(∃a ∈ R) ∋ f(a) = p.

Karena f homomorfisma, f(k·a) = k·f(a) = k·p = 0

Karena f monomorfisma dan f(k·a) = 0, diharuskan k·a = 0. Ini berarti (∃k ∈ ℕ) ∋ (∀a ∈ R). k·a = 0, kontradiksi dengan char(R) = 0, sehingga pengandaian harus diingkar, dan yang benar adalah char(S) = 0.

• Kasus untuk char(R) = k ∈ ℕ

(i) Bukti char(S) ≤ char(R):

char(R) = k ∈ ℕ, berarti (∀a ∈ R). k·a = 0

Ambil sebarang p ∈ S. Karena f isomorfisma, f epimorfisma, sehingga (∃a ∈ R) ∋ f(a) = p.

Karena f homomorfisma, k·p = k·f(a) = f(k·a) = f(0) = 0.

Karena k memenuhi (∀p ∈ S). k·p = 0, diharuskan char(S) ≤ k = char(R).

(ii) Bukti char(S) ≥ char(R):

Misal char(S) = m, berarti (∀p ∈ S). m·p = 0.

Ambil sebarang a ∈ R. Karena f fungsi, f(a) ∈ S, sehingga berlaku

f(m·a) = m·f(a) = 0

Karena f injektif, diharuskan m·a = 0.

Karena m memenuhi (∀a ∈ R). m·a = 0, diharuskan char(S) = m ≥ char(R).

Jadi, char(S) ≤ char(R) dan char(S) ≥ char(R), sehingga diharuskan char(S) = char(R).