Fungsi-Fungsi Terintegral Riemann

1. Kriteria Fungsi Terintegral Riemann

A. Kriteria Cauchy

Sebuah fungsi: [a, b] → ℝ termasuk dalam ℛ[a, b] jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat η > 0 sedemikian sehingga jika Ṗ dan Q̇ adalah sebarang partisi bertanda dari [a, b] dengan ‖Ṗ‖ < η dan ‖Q̇‖ < η, maka

|S(f; Ṗ) – S(f; Q̇)| < ε.

Bukti:

(⇒) Jika f ∈ ℛ[a, b] dengan integral L, misalkan η = δ > 0 sedemikian sehingga jika Ṗ, Q̇ adalah partisi bertanda sedemikian sehingga ‖Ṗ‖ < η dan ‖Q̇‖ < η, maka:

|S(f; Ṗ) – L| < ε/2 dan |S(f; Q̇) – L| < ε/2.

Oleh karena itu kita memiliki:

|S(f; Ṗ) – S(f; Q̇)| = |S(f; Ṗ) – L + L – S(f; Q̇)| ≤ |S(f; Ṗ) – L| + |L – S(f; Q̇)| < ε/2 + ε/2 = ε.

(⇐) Untuk setiap n ∈ ℕ, misalkan δₙ > 0 sedemikian sehingga jika Ṗ dan Q̇ adalah partisi bertanda dengan norma < δₙ, maka:

|S(f; Ṗ) – S(f; Q̇)| < 1/n.

Jelas kita dapat mengasumsikan bahwa δₙ ≥ δₙ₊₁ untuk n ∈ ℕ; jika tidak, kita ganti δₙ dengan δ'ₙ = min{δ₁, ..., δₙ}.

Untuk setiap n ∈ ℕ, misalkan Ṗₙ adalah partisi bertanda dengan ‖Ṗₙ‖ < δₙ. Jelas, jika m > n maka baik Ṗₘ dan Ṗₙ memiliki norma < δₙ, sehingga:

|S(f; Ṗₙ) – S(f; Ṗₘ)| < 1/n untuk m > n.

Konsekuensinya, barisan (S(f; Ṗₘ)) adalah barisan Cauchy di ℝ. Oleh karena itu barisan ini konvergen di ℝ dan kita misalkan A = limₘ S(f; Ṗₘ).

Mengambil limit pada |S(f; Ṗₙ) – S(f; Ṗₘ)| saat m → ∞, kita peroleh:

|S(f; Ṗₙ) – A| ≤ 1/n untuk semua n ∈ ℕ.

Untuk melihat bahwa A adalah integral Riemann dari f, diberikan ε > 0, misalkan k ∈ ℕ memenuhi k > 2/ε. Jika Q̇ adalah sebarang partisi bertanda dengan ‖Q̇‖ < δₖ, maka:

|S(f; Q̇) – A| ≤ |S(f; Q̇) – S(f; Ṗₖ)| + |S(f; Ṗₖ) – A| ≤ 1/K + 1/K < ε.

Karena ε > 0 adalah sembarang, maka f ∈ ℛ[a, b] dengan integral A.

Q.E.D.

B. Teorema Apit

Misalkan f : [a, b] → ℝ. Maka f ∈ ℛ[a, b] jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat fungsi-fungsi α dan ω dalam ℛ[a, b] dengan

α(x) ≤ f(x) ≤ ω(x) untuk semua x ∈ [a, b],

dan sedemikian sehingga

Bukti:
(⇒) Ambil α = ω = f untuk semua ε > 0.

(⇐) Misalkan ε > 0. Karena α dan ω termasuk dalam ℛ[a, b], maka terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika Ṗ adalah sebarang partisi bertanda dengan ‖Ṗ‖ < δ, maka

Dari pertidaksamaan tersebut, diperoleh bahwa

Karena α(x) ≤ f(x) ≤ ω(x), kita memiliki S(α; Ṗ) ≤ S(f; Ṗ) ≤ S(ω; Ṗ), yang menghasilkan

Jika Q̇ adalah partisi bertanda lainnya dengan ‖Q̇‖ < δ, maka kita juga memiliki

Jika kita mengurangkan kedua pertidaksamaan ini dan menggunakan

kita menyimpulkan bahwa

Karena ε > 0 adalah sembarang, Kriteria Cauchy menunjukkan bahwa f ∈ ℛ[a, b].

Q.E.D.

2. Kelas-Kelas Fungsi Terintegral Riemann

A. Lemma Fungsi Tangga Elementer

Jika J adalah sub-interval dari [a, b] yang memiliki titik ujung c < d dan jika φ(x) = 1 untuk x ∈ J dan φ(x) = 0 di tempat lain dalam [a, b], maka φ ∈ ℛ[a, b] dan

Bukti:

Jika J = [c, d] dengan c ≤ d, kita dapat memilih δ = ε/4.

Ada tiga sub-interval J lainnya yang memiliki titik ujung yang sama c dan d, yaitu: [c, d), (c, d], dan (c, d). Karena kita dapat mengubah nilai suatu fungsi pada sejumlah titik yang berhingga tanpa mengubah nilai integralnya, maka kita mendapatkan hasil yang sama untuk ketiga sub-interval lainnya tersebut. Oleh karena itu, kita menyimpulkan bahwa keempat fungsi φ tersebut dapat diintegralkan dengan nilai integral sama dengan d – c.

Q.E.D.

B. Integrabilitas Fungsi Tangga

Jika φ : [a, b] → ℝ adalah fungsi tangga, maka φ ∈ ℛ[a, b].

Bukti:

Sebarang fungsi tangga φ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari fungsi tangga elementer:

di mana Jⱼ memiliki titik ujung cⱼ < dⱼ. Lemma menyiratkan bahwa φ ∈ ℛ[a, b] dan bahwa:

Q.E.D.

C. Integrabilitas Fungsi Kontinu

Jika f : [a, b] → ℝ kontinu pada [a, b], maka f ∈ ℛ[a, b].

Bukti:

Karena f kontinu pada interval tertutup terbatas, f kontinu seragam pada [a, b]. Oleh karena itu, untuk ε > 0 yang diberikan, terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika u, v ∈ [a, b] dan |u – v| < δ, maka kita memperoleh |f(u) – f(v)| < ε/(b – a).

Misalkan 𝒫 = {Iᵢ}; i = 1, 2, ..., n; adalah sebuah partisi sedemikian sehingga ‖𝒫‖ < δ. Dengan menerapkan Teorema Maksimum-Minimum, kita misalkan uᵢ ∈ Iᵢ adalah titik di mana f mencapai nilai minimumnya pada Iᵢ, dan misalkan vᵢ ∈ Iᵢ adalah titik di mana f mencapai nilai maksimumnya pada Iᵢ.

Misalkan α adalah fungsi tangga yang didefinisikan oleh α(x) = f(uᵢ) untuk x ∈ [xᵢ₋₁, xᵢ) (i = 1, . . . , n – 1) dan α(x) = f(uₙ) untuk x ∈ [xₙ₋₁, xₙ]. Misalkan ω didefinisikan dengan cara yang sama menggunakan titik vᵢ sebagai pengganti uᵢ. Maka kita memiliki:

α(x) ≤ f(x) ≤ ω(x) untuk semua x ∈ [a, b].

Terlebih lagi, jelas bahwa:

Oleh karena itu, berdasarkan Teorema Apit, maka f ∈ ℛ[a, b].

Q.E.D.

Catatan:

Fungsi yang tidak kontinu pada [a, b] yang ketidakkontinuannya di berhingga titik juga terintegral Riemann, fungsi semacam ini dinamakan sebagai fungsi kontinu sepotong-sepotong. Adapun fungsi yang ketidakkontinuannya di tak hingga titik, tidak terintegral Riemann.

D. Integrabilitas Fungsi Monoton

Jika f : [a, b] → ℝ monoton pada [a, b], maka f ∈ ℛ[a, b].

Bukti:

Asumsikan bahwa f naik pada I = [a, b]. Membagi interval menjadi n sub-interval yang sama Iₖ = [xₖ₋₁, xₖ] memberikan kita xₖ – xₖ₋₁ = (b – a)/n, k = 1, 2, ..., n. Karena f naik pada Iₖ, nilai minimumnya dicapai pada titik ujung kiri xₖ₋₁ dan nilai maksimumnya dicapai pada titik ujung kanan xₖ. Oleh karena itu, kita mendefinisikan fungsi tangga α(x) = f(xₖ₋₁) dan ω(x) = f(xₖ) untuk x ∈ [xₖ₋₁, xₖ), k = 1, 2, ..., n – 1, dan α(x) = f(xₙ₋₁) dan ω(x) = f(xₙ) untuk x ∈ [xₙ₋₁, xₙ]. Maka kita memiliki α(x) ≤ f(x) ≤ ω(x) untuk semua x ∈ I, dan

Dengan mengurangkan, dan memperhatikan banyak pembatalan (cancellation), kita memperoleh

Jadi untuk ε > 0 yang diberikan, kita memilih n sedemikian sehingga n > (b – a)[f(b) – f(a)]/ε. Maka kita memiliki

dan Teorema Apit menyiratkan bahwa f terintegralkan pada I.

Q.E.D.

3. Batas-Batas Integrasi

A. Teorema Aditifitas (Partisioning Batas)

Misal f terintegral Riemann pada [a, b] dan c ∈ (a, b); berlaku:

B. Akibat Teorema Aditifitas
Jika f terintegral Riemann pada [a, b] dan [c, d] ⊆ [a, b], maka f terintegral Riemann pada [c, d].

C. Perluasan Teorema Aditifitas

Jika f terintegral Riemann pada [a, b] dan a = c₁ < c₂ < ... < cₘ = b, maka

D. Pembalikan Batas dan Integral Titik
Misal f terintegral Riemann pada [a, b] dan α, β ∈ [a, b] dengan α < β, didefinisikan

E. Teorema Aditifitas (Rantai Batas)

Misal f terintegral Riemann pada [a, b] dan α, β, γ ∈ [a, b], berlaku sifat berikut:

Contoh Soal

Diberikan fungsi f : I = [0, 1] → ℝ dengan (∀x ∈ I). f(x) = x². Buktikan bahwa f terintegral Riemann pada I.

Ambil sebarang ε > 0, menurut akibat sifat Archimedes, (∃n ∈ ℕ) ∋ 1/n < ε. Pilih fungsi αₙ dan ωₙ dalam ℛ[0, 1] dengan

Jelas bahwa αₙ dan ωₙ keduanya terintegral Riemann pada [0, 1] karena konstan sepotong-sepotong. Selain itu, berlaku juga (∀x ∈ I). αₙ(x) ≤ f(x) ≤ ωₙ(x), karena αₙ(x) merupakan infimum f di masing-masing subinterval dan ωₙ(x) merupakan supremum f di masing-masing subinterval.

Selanjutnya

Tentukan integral dari ωₙ – αₙ

Menurut teorema apit, fungsi f terintegral Riemann pada [0, 1].