Sixty Four Science

1. Teorema Fundamental Kalkulus Bentuk Pertama Bentuk Pertama dari Teorema Fundamental memberikan dasar teoritis untuk metode penghitungan integral yang telah dipelajari Sixtyfourians dalam kalkulus. Teorema ini menyatakan bahwa jika suatu fungsi f adalah turunan dari fungsi F, dan jika f termasuk dalam ℛ[a, b], maka integral f pada [a, b] dapat dihitung dengan cara evaluasi F(b) – F(a). Fungsi F sedemikian sehingga F'(x) = f(x) untuk semua x ∈ [a, b] disebut sebagai antiturunan atau primitif dari f pada [a, b]. Jadi, ketika f memiliki antiturunan, menghitung integralnya menjadi hal yang sangat sederhana. Dalam praktiknya, lebih mudah untuk mengijinkan beberapa titik pengecualian c di mana F'(c) tidak ada dalam ℝ, atau di mana F'(c) tidak sama dengan f(c). Ternyata kita dapat mengijinkan sejumlah hingga titik pengecualian tersebut. Berikut ini teorema fundamental kalkulus bentuk pertama: Misalkan ada himpunan hingga E dalam [a, b] dan fungsi f, F : [a, b] → ℝ sedemikian seh...

1. Kriteria Fungsi Terintegral Riemann A . Kriteria Cauchy Sebuah fungsi: [a, b] → ℝ termasuk dalam ℛ[a, b] jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat η > 0 sedemikian sehingga jika Ṗ dan Q̇ adalah sebarang partisi bertanda dari [a, b] dengan ‖Ṗ‖ < η dan ‖Q̇‖ < η, maka |S(f; Ṗ) – S(f; Q̇)| < ε. Bukti: (⇒) Jika f ∈ ℛ[a, b] dengan integral L, misalkan η = δ > 0 sedemikian sehingga jika Ṗ, Q̇ adalah partisi bertanda sedemikian sehingga ‖Ṗ‖ < η dan ‖Q̇‖ < η, maka: |S(f; Ṗ) – L| < ε/2 dan |S(f; Q̇) – L| < ε/2. Oleh karena itu kita memiliki: |S(f; Ṗ) – S(f; Q̇)| = |S(f; Ṗ) – L + L – S(f; Q̇)| ≤ |S(f; Ṗ) – L| + |L – S(f; Q̇)| < ε/2 + ε/2 = ε. (⇐) Untuk setiap n ∈ ℕ, misalkan δₙ > 0 sedemikian sehingga jika Ṗ dan Q̇ adalah partisi bertanda dengan norma < δₙ, maka: |S(f; Ṗ) – S(f; Q̇)| < 1/n. Jelas kita dapat mengasumsikan bahwa δₙ ≥ δₙ₊₁ untuk n ∈ ℕ; jika tidak, kita ganti δₙ dengan δ'ₙ = min{δ₁, ..., δₙ}. Untuk setiap n ∈ ℕ, m...

1. Partisi dan Jumlah Riemann A . Partisi Jika I = [a, b] adalah interval tertutup dan terbatas di R, maka partisi dari I adalah set berurutan hingga P = (x₀, x₁, ..., xₙ₋₁, xₙ) dari titik-titik di I sedemikian sehingga: a = x₀ < x₁ < ... < xₙ₋₁ < xₙ = b Titik-titik dari P digunakan untuk membagi I = [a, b] menjadi sub-interval yang tidak tumpang tindih: I₁ = [x₀, x₁], I₂ = [x₁, x₂], ..., Iₙ = [xₙ₋₁, xₙ] B . Norm (atau Mesh) Seringkali kita akan menotasikan partisi P dengan notasi P = {[xᵢ₋₁, xᵢ]}; i = 1, 2, ..., n. Kita mendefinisikan norm (atau mesh) dari P sebagai angka: ‖P‖ = max{x₁ – x₀, x₂ – x₁, ..., xₙ – xₙ₋₁} Jadi, norm dari suatu partisi hanyalah panjang dari sub-interval terbesar yang membagi [a, b]. Jelas bahwa banyak partisi dapat memiliki norm yang sama, sehingga partisi bukanlah fungsi dari norm tersebut. C . Partisi Bertanda (Tagged Partition) Jika sebuah titik tᵢ telah dipilih dari setiap sub-interval Iᵢ = [xᵢ₋₁, xᵢ], untuk i = 1, 2, ..., n, maka titik-titik...