Integral Riemann : Muqodimah
1. Partisi dan Jumlah Riemann
A. Partisi
Jika I = [a, b] adalah interval tertutup dan terbatas di R, maka partisi dari I adalah set berurutan hingga P = (x₀, x₁, ..., xₙ₋₁, xₙ) dari titik-titik di I sedemikian sehingga:
a = x₀ < x₁ < ... < xₙ₋₁ < xₙ = b
Titik-titik dari P digunakan untuk membagi I = [a, b] menjadi sub-interval yang tidak tumpang tindih:
I₁ = [x₀, x₁], I₂ = [x₁, x₂], ..., Iₙ = [xₙ₋₁, xₙ]
B. Norm (atau Mesh)
Seringkali kita akan menotasikan partisi P dengan notasi P = {[xᵢ₋₁, xᵢ]}; i = 1, 2, ..., n. Kita mendefinisikan norm (atau mesh) dari P sebagai angka:
‖P‖ = max{x₁ – x₀, x₂ – x₁, ..., xₙ – xₙ₋₁}
Jadi, norm dari suatu partisi hanyalah panjang dari sub-interval terbesar yang membagi [a, b]. Jelas bahwa banyak partisi dapat memiliki norm yang sama, sehingga partisi bukanlah fungsi dari norm tersebut.
C. Partisi Bertanda (Tagged Partition)
Jika sebuah titik tᵢ telah dipilih dari setiap sub-interval Iᵢ = [xᵢ₋₁, xᵢ], untuk i = 1, 2, ..., n, maka titik-titik tersebut disebut tanda (tags) dari sub-interval Iᵢ. Sebuah set pasangan berurutan:
Ṗ = {([xᵢ₋₁, xᵢ], tᵢ)}ⁿᵢ₌₁
dari sub-interval dan tanda yang bersesuaian disebut sebagai partisi bertanda dari I. (Titik di atas P menunjukkan bahwa sebuah tanda telah dipilih untuk setiap sub-interval.)
Tanda-tanda tersebut dapat dipilih secara bebas; sebagai contoh, kita dapat memilih tanda berupa titik ujung kiri, titik ujung kanan, atau titik tengah sub-interval, dan sebagainya. Perlu dicatat bahwa satu titik ujung dari suatu sub-interval dapat digunakan sebagai tanda untuk dua sub-interval yang berurutan. Karena setiap tanda dapat dipilih dalam cara yang tak terhingga banyaknya, setiap partisi dapat diberi tanda dalam cara yang tak terhingga pula. Norm dari partisi bertanda didefinisikan sama seperti partisi biasa dan tidak bergantung pada pemilihan tanda.
D. Jumlah Riemann (Riemann Sum)
Jika Ṗ adalah partisi bertanda yang diberikan di atas, kita mendefinisikan jumlah Riemann dari sebuah fungsi f : [a, b] → R yang bersesuaian dengan Ṗ sebagai angka:
Kita juga akan menggunakan notasi ini ketika Ṗ menunjukkan bagian (subset) dari sebuah partisi, dan bukan keseluruhan partisi.
Sixtyfourians akan memahami bahwa jika fungsi f bernilai positif pada [a, b], maka jumlah Riemann di atas adalah jumlah luas dari n buah persegi panjang yang alasnya adalah sub-interval Iᵢ = [xᵢ₋₁, xᵢ] dan tingginya adalah f(tᵢ).
Contoh:
Hitung jumlah Riemann untuk f(x) = –2x + 5 yang bersesuaian dengan partisi P: –3 < –1,3 < 0 < 0,9 < 2; dengan titik sampel –2; –0,5; 0,5; 1,5.
2. Pengenalan Integral Riemann
A. Definisi Integral Riemann
Sebuah fungsi f : [a, b] → ℝ dikatakan terintegrasi Riemann pada [a, b] jika terdapat sebuah bilangan L ∈ ℝ sedemikian sehingga untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika Ṗ adalah sembarang partisi bertanda (tagged partition) dari [a, b] dengan ‖Ṗ‖ < δ, maka:
|S(f; Ṗ) – L| < ε
Himpunan dari semua fungsi yang terintegrasi Riemann pada [a, b] akan dinotasikan dengan ℛ[a, b].
Catatan: Terkadang dikatakan bahwa integral L adalah "limit" dari jumlah Riemann S(f; Ṗ) saat norma ‖Ṗ‖ → 0. Namun, karena S(f; Ṗ) bukan merupakan fungsi dari ‖Ṗ‖, limit ini bukan tipe yang telah kita pelajari sebelumnya.
Pertama, kita akan menunjukkan bahwa jika f ∈ ℛ[a, b], maka bilangan L ditentukan secara unik. Bilangan tersebut akan disebut sebagai integral Riemann dari f atas [a, b]. Sebagai ganti L, kita biasanya akan menulis:
Harus difahami bahwa huruf apa pun selain x dapat digunakan dalam ekspresi yang terakhir, selama tidak menimbulkan ambiguitas.
B. Teorema Ketunggalan Hasil Integral Riemann
Jika f ∈ ℛ[a, b], maka nilai integralnya tunggal.
Bukti:
Asumsikan bahwa L' dan L'' keduanya memenuhi definisi dan misalkan ε > 0. Maka terdapat δ' > 0 sedemikian sehingga jika Ṗ₁ adalah sembarang partisi bertanda dengan ‖Ṗ₁‖ < δ', maka:
|S(f; Ṗ₁) – L'| < ε/2.
Juga terdapat δ'' > 0 sedemikian sehingga jika Ṗ₂ adalah sembarang partisi bertanda dengan ‖Ṗ₂‖ < δ'', maka:
|S(f; Ṗ₂) – L''| < ε/2.
Sekarang misalkan δ := min{δ', δ''} > 0 dan misalkan Ṗ adalah partisi bertanda dengan ‖Ṗ‖ < δ. Karena ‖Ṗ‖ < δ' dan ‖Ṗ‖ < δ'', maka:
|S(f; Ṗ) – L'| < ε/2 dan |S(f; Ṗ) – L''| < ε/2
yang mana berdasarkan Ketaksamaan Segitiga diperoleh bahwa:
|L' – L''| = |L' – S(f; Ṗ) + S(f; Ṗ) – L''| ≤ |L' – S(f; Ṗ)| + |S(f; Ṗ) – L''| < ε/2 + ε/2 = ε
Karena ε > 0 adalah sebarang (arbitrer), maka disimpulkan bahwa L' = L''.
Q.E.D.
C. Teorema Kesamaan Integral Fungsi-Fungsi yang Hanya Berbeda di Berhingga Titik
Jika g terintegrasi Riemann pada [a, b] dan jika f(x) = g(x) kecuali untuk sejumlah titik yang berhingga di [a, b], maka f terintegrasi Riemann dan
Jika kita membuktikan pernyataan ini untuk kasus satu titik pengecualian, maka perluasan ke sejumlah titik yang berhingga dilakukan dengan argumen induksi standar.
Misalkan c adalah suatu titik dalam interval dan misalkan
Asumsikan bahwa f(x) = g(x) untuk semua x ≠ c. Untuk sembarang partisi bertanda Ṗ, suku-suku dalam kedua jumlah S(f; Ṗ) dan S(g; Ṗ) adalah identik kecuali untuk maksimal dua suku (dalam kasus di mana c = xᵢ = xᵢ₋₁ adalah titik ujung). Oleh karena itu, kita memiliki:
|S(f; Ṗ) – S(g; Ṗ)| = |Σ(f(xᵢ) – g(xᵢ))(xᵢ – xᵢ₋₁)| ≤ 2(|g(c)| + |f(c)|)‖Ṗ‖
Sekarang, diberikan ε > 0, kita tetapkan δ₁ > 0 yang memenuhi δ₁ < ε/(4(|f(c)| + |g(c)|)), dan misalkan δ₂ > 0 sedemikian sehingga ‖Ṗ‖ < δ₂ mengakibatkan |S(g; Ṗ) – L| < ε/2. Kita sekarang menetapkan δ = min{δ₁, δ₂}. Kemudian, jika ‖Ṗ‖ < δ, kita memperoleh:
|S(f; Ṗ) – L| ≤ |S(f; Ṗ) – S(g; Ṗ)| + |S(g; Ṗ) – L| < ε/2 + ε/2 = ε.
Maka, fungsi f terintegrasi dengan integral L.
Q.E.D.
Contoh
1. Setiap fungsi konstan pada [a, b] termasuk dalam ℛ[a, b]. Misalkan f(x) = k untuk semua x ∈ [a, b]. Jika Ṗ = {([xᵢ₋₁, xᵢ], tᵢ)}ⁿᵢ₌₁ adalah sembarang partisi bertanda dari [a, b], maka jelas bahwa: S(f; Ṗ) = Σⁿᵢ₌₁ k(xᵢ – xᵢ₋₁) = k(b – a)
Oleh karena itu, untuk setiap ε > 0, kita dapat memilih δ = 1 (berapapun bisa dipilih) sedemikian sehingga jika ‖Ṗ‖ < δ, maka: |S(f; Ṗ) – k(b – a)| = 0 < ε
Karena ε > 0 adalah sembarang, kita menyimpulkan bahwa f ∈ ℛ[a, b] dan integralnya adalah k(b – a).
2. Fungsi yang konstan sepotong-sepotong pada [a, b] termasuk dalam ℛ[a, b]. Misalkan f(x) = kᵢ untuk x ∈ Iᵢ, dimana Iᵢ merupakan subinterval dari I = [a, b]. Penentuan batas-batas subinterval boleh diatur, misalkan boleh Iᵢ = [xᵢ₋₁, xᵢ], boleh [xᵢ₋₁, xᵢ), (xᵢ₋₁, xᵢ], ataupun (xᵢ₋₁, xᵢ), yang terpenting adalah titik-titik batasnya tidak tumpang tindih, dan gabungan seluruh subinterval tersebut adalah I = [a, b].
Jika ‖Ṗ‖ < δ, maka S(f, Ṗ) > Σkᵢ(xᵢ – xᵢ₋₁) – 2(Σkᵢ)δ.
Ambil sebarang ε > 0, pilih δ = ε/[2(Σkᵢ)], sehingga jika Ṗ sebarang partisi dari [a, b] dengan ‖Ṗ‖ < δ, maka
|S(f, Ṗ) – Σkᵢ(xᵢ – xᵢ₋₁)| < |Σkᵢ(xᵢ – xᵢ₋₁) – 2(Σkᵢ)δ – Σkᵢ(xᵢ – xᵢ₋₁)| = |–2(Σkᵢ)δ| = 2(Σkᵢ)δ = ε.
Jadi, f terintegral Riemann, dan integralnya adalah Σkᵢ(xᵢ – xᵢ₋₁).
Secara visual, fungsi yang konstan sepotong-sepotong terlihat seperti kumpulan persegi panjang.
3. Sifat-Sifat Integral Riemann
Misal f dan g fungsi terintegral Riemann dan k suatu bilangan real, berlaku:
a. Sifat Homogen
Jika (∀x ∈ [a, b]). f(x) ≤ g(x), maka
4. Keterbatasan Fungsi Terintegral Riemann
Jika f ∈ ℛ[a, b], maka f terbatas pada [a, b].
Bukti:
Andaikan bahwa f adalah fungsi yang tidak terbatas dalam ℛ[a, b] dengan integral L. Maka terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika Ṗ adalah partisi bertanda apa pun dari [a, b] dengan ‖Ṗ‖ < δ, maka kita memiliki |S(f; Ṗ) – L| < 1, yang berarti bahwa:
|S(f; Ṗ)| < |L| + 1.
Sekarang misalkan Q = {[xᵢ₋₁, xᵢ]}ⁿᵢ₌₁ adalah partisi dari [a, b] dengan ‖Q‖ < δ. Karena |f| tidak terbatas pada [a, b], maka setidaknya ada satu sub-interval dalam Q, katakanlah [xₖ₋₁, xₖ], di mana |f| tidak terbatas, karena, jika |f| terbatas pada setiap sub-interval [xᵢ₋₁, xᵢ] oleh Mᵢ, maka ia akan terbatas pada [a, b] oleh max{M₁, . . . , Mₙ}.
Kita sekarang akan memilih tanda (tags) untuk Q yang akan memberikan kontradiksi. Kita tandai Q dengan tᵢ = xᵢ untuk i ≠ k dan kita pilih tₖ ∈ [xₖ₋₁, xₖ] sedemikian sehingga:
Dari Ketaksamaan Segitiga (dalam bentuk |A + B| ≥ |A| – |B|), kita mendapatkan:
yang kontradiksi dengan |S(f; Ṗ)| < |L| + 1.
Q.E.D.
Catatan: Kebalikan teorema ini tidak berlaku, dimana ada fungsi yang terbatas tetapi tidak terintegral Riemann. Misal diberikan fungsi f : [0, 1] → ℝ sebagai berikut:
• Untuk L ≠ 1:
Pilih ε = ½|1 – L| > 0, ambil sebarang δ > 0 sehingga untuk
Ṗ = 0 < 1/n < 2/n < ... < 1 dengan tₖ = (2k – 1)/(2n) ∈ ((k – 1)/n, k/n) ∩ ℚ dengan ‖Ṗ‖ < δ berlaku:
|S(f; Ṗ) – L| = |1 – L| > ½|1 – L| = ε.
• Untuk L = 1:
Pilih ε = ½ > 0, ambil sebarang δ > 0 sehingga untuk
Ṗ = 0 < 1/n < 2/n < ... < 1 dengan tₖ ∈ ((k – 1)/n, k/n) \ ℚ (ini ada karena diantara 2 bilangan real selalu ada bilangan irasional) dengan ‖Ṗ‖ < δ berlaku:
|S(f; Ṗ) – 1| = |0 – 1| = 1 > ½ = ε.
Jadi, untuk sebarang L ∈ ℝ terdapat ε > 0, sehingga untuk setiap δ > 0, terdapat partisi bertanda Ṗ dari [0, 1] dengan ‖Ṗ‖ < δ dan berlaku |S(f; Ṗ) – L| ≥ ε.
Dengan kata lain, f tidak terintegral Riemann pada [0, 1].
Komentar
Posting Komentar