Matriks untuk Interpolasi Lagrange dan Turunan Numerik

1. Interpolasi Lagrange dalam Bentuk Matriks

Misalkan y(x) adalah fungsi mulus bernilai tunggal (single-valued smooth function) dari variabel x. Sebanyak n sampel diambil pada n titik yang berbeda x₁ < x₂ < ... < xₙ untuk mendapatkan nilai-nilai fungsi yang sesuai y₁, y₂, ..., yₙ.

Sebuah polinomial berderajat (n – 1) digunakan untuk mencocokkan fungsi y(x) dalam interval x₁ ≤ x ≤ xₙ:

Fungsi y harus dicocokkan pada n titik sampel (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (xₙ, yₙ). Dengan metode kolokasi (collocation), koefisien aᵢ dari polinomial berderajat (n – 1) dapat ditentukan sebagai berikut:

Di mana V adalah matriks Vandermonde berukuran n × n yang bergantung pada nilai-nilai x dari titik sampel, dan y menunjukkan vektor kolom berdimensi n dari nilai-nilai y pada titik sampel yang diberikan oleh:

Sehingga diperoleh:

Dimana x adalah titik target dan nilainya bisa berapa saja asalkan memenuhi x₁ ≤ x ≤ xₙ. Hasil V⁻¹y bisa dicari dengan OBE.

2. Diferensiasi Numerik (Turunan Numerik)

Turunan dari y terhadap x dapat diperoleh dengan mudah dengan menurunkan persamaan terhadap x.

Karena matriks V⁻¹y tidak bergantung pada x, cukup menurunkan matriks yang berisikan perpangkatan dari x.

Contoh Soal

Seorang pengemudi melihat rintangan dan menginjak rem, mobil pun melambat hingga berhenti. Berikut data waktu dan jarak tempuhnya:

Waktu (detik)	0	1	3	4
Jarak (meter)	0	19	51	58

Tentukan jarak, kecepatan, dan percepatan ketika waktu 2 detik.

Solusi:

Susun matriks Vandermonde teraugmentasi [V | y] berikut:

Lakukan OBE sehingga diperoleh [I | V⁻¹y] sebagai berikut:

Kalikan perpangkatan 2 dengan V⁻¹y, diperoleh:

Jadi, ketika waktu 2 detik, jarak tempuhnya 37 m; kecepatannya 16,5 m/s; dan percepatannya adalah –4 m/s².