Sixty Four Science

1. Interpolasi Lagrange dalam Bentuk Matriks Misalkan y(x) adalah fungsi mulus bernilai tunggal (single-valued smooth function) dari variabel x. Sebanyak n sampel diambil pada n titik yang berbeda x₁ < x₂ < ... < xₙ untuk mendapatkan nilai-nilai fungsi yang sesuai y₁, y₂, ..., yₙ. Sebuah polinomial berderajat (n – 1) digunakan untuk mencocokkan fungsi y(x) dalam interval x₁ ≤ x ≤ xₙ: Fungsi y harus dicocokkan pada n titik sampel (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (xₙ, yₙ). Dengan metode kolokasi (collocation), koefisien aᵢ dari polinomial berderajat (n – 1) dapat ditentukan sebagai berikut: Di mana V adalah matriks Vandermonde berukuran n × n yang bergantung pada nilai-nilai x dari titik sampel, dan y menunjukkan vektor kolom berdimensi n dari nilai-nilai y pada titik sampel yang diberikan oleh: Sehingga diperoleh: Dimana x adalah titik target dan nilainya bisa berapa saja asalkan memenuhi x₁ ≤ x ≤ xₙ. Hasil V⁻¹ y  bisa dicari dengan OBE. 2....

Misalkan yᵢ = f(x ᵢ ), untuk i = 0, ± 1, ± 2, ..., ± n diberikan untuk 2n + 1 titik yang berjarak sama (equispaced) yaitu x₀, x₀ ± h, x₀ ± 2h, ..., x₀ ± nh; di mana: xᵢ = x₀ + ih; i = 0, ± 1, ± 2, ..., ± n. Rumus polinom interpolasi Stirling diberikan oleh persamaan berikut: dimana p = (x – x₀)/h. Jika diteruskan, berikut polinom dari p: Orde 5: (p + 2)(p – 2)(p³ – p) = p⁵ – 5p³ + 4p Orde 6: p(p⁵ – 5p³ + 4p) = p⁶ – 5p⁴ + 4p² Orde 7: (p + 3)(p – 3)(p⁵ – 5p³ + 4p) = p⁷ – 14p⁵ + 49p³ – 36p, dan seterusnya... Ketika persamaan tersebut didiferensiasikan (diturunkan) terhadap x secara berturut-turut, kita memperoleh rumus turunan pertama: Jika diteruskan, berikut polinom dari p: Orde 5: 5p⁴ – 15p² + 4 Orde 6: 6p⁵ – 20p³ + 8p Orde 7: 7p⁶ – 70p⁴ + 147p² – 36, dan seterusnya... Turunan keduanya adalah: Jika diteruskan, berikut polinom dari p: Orde 5: 20p³ – 30p Orde 6: 30p⁴ – 60p² + 8 Orde 7: 42p⁵ – 280p³ + 294p, dan seterusnya... Kasus khusus untuk turunan di titik awal...

Misalkan fungsi y = f(x) diketahui nilainya pada (n + 1) titik yang berjarak sama (ekuidistan), yaitu x₀, x₁, x₂, ..., xₙ. Nilai fungsi pada titik-titik tersebut berturut-turut adalah y₀, y₁, y₂, ..., yₙ. Kita definisikan hubungan variabel bebasnya sebagai berikut: xᵢ = x₀ + ih, untuk i = 0, 1, 2, ..., n dan p = (x – xₙ)/h Di mana h adalah jarak antar titik (spacing). Berdasarkan Rumus Interpolasi Belakang Newton dinyatakan sebagai: Untuk memudahkan proses penurunan (diferensiasi), kita perlu menjabarkan suku-suku perkalian p pada persamaan di atas menjadi bentuk polinomial biasa. Persamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi: Jika diteruskan, berikut polinom dari p: Orde 5: (p + 4)(p⁴ + 6p³ + 11p² + 6p) = p⁵ + 10p⁴ + 35p³ + 50p² + 24p Orde 6: (p + 5)(p⁵ + 10p⁴ + 35p³ + 50p² + 24p) = p⁶ + 15p⁵ + 85p⁴ + 225p³ + 274p² + 120p Orde 7: (p + 6)(p⁶ + 15p⁵ + 85p⁴ + 225p³ + 274p² + 120p) = p⁷ + 21p⁶ + 175p⁵ + 735p⁴ + 1624p³ + 1764p² + 720p, dan seterusnya... Ketika persamaan tersebut diturunka...