Metode Boole dan Weddle untuk Integrasi Numerik

Dalam analisis numerik, ketika kita membutuhkan presisi yang lebih tinggi daripada yang ditawarkan oleh Aturan Simpson, kita dapat menggunakan metode yang melibatkan polinomial derajat lebih tinggi. Dua metode yang populer adalah Aturan Boole dan Aturan Weddle.

Berikut adalah penjelasan mendalam mengenai kedua aturan tersebut berdasarkan penurunan rumus matematisnya.

1. Metode Boole

Aturan ini dinamakan menurut matematikawan George Boole. Metode ini dikembangkan dengan mensubstitusikan n = 4 ke dalam persamaan umum integrasi Newton-Cotes.

Dengan mengambil kurva yang melewati titik-titik data (xₙ, yₙ) untuk n = 0, 1, 2, 3, 4 sebagai sebuah polinomial berderajat 4, kita mengasumsikan bahwa selisih (difference) dengan orde lebih tinggi dari empat akan menghilang atau dapat diabaikan. Maka kita memperoleh:

Setelah disederhanakan, persamaan di atas menjadi:
(2/45)·h·[7y₀ + 32y₁ + 12y₂ + 32y₃ + 7y₄]

Demikian pula untuk selang berikutnya:

dan seterusnya.
Dengan menjumlahkan semua integral di atas dari x₀ hingga xₙ, di mana n adalah kelipatan dari 4, kita mendapatkan persamaan akhir:

Catatan Penting: Banyak sub-interval (n) harus diambil sebagai kelipatan 4.

Suku utama dalam galat (error) rumus ini dapat ditunjukkan sebagai:

2. Metode Weddle

Aturan Weddle biasanya memberikan akurasi yang lebih baik dan didasarkan pada penggunaan polinomial derajat 6.

Dengan mensubstitusikan n = 6 ke dalam persamaan umum dan mengambil kurva y = f(x) melalui titik (xₙ, yₙ) untuk n = 0, 1, ..., 6 sebagai polinomial derajat 6 (sehingga selisih orde lebih tinggi dari 6 diabaikan), kita memperoleh:

Untuk menyederhanakan koefisien agar lebih mudah dihitung, Weddle melakukan aproksimasi pada suku terakhir, yaitu 41/140 menjadi 3/10.
Dengan aproksimasi tersebut, kita mendapatkan bentuk yang jauh lebih sederhana:

(3/10)·h·[y₀ + 5y₁ + y₂ + 6y₃ + y₄ + 5y₅ + y₆]

Demikian pula untuk selang berikutnya:

Dengan menjumlahkan semua integral dari x₀ ke xₙ, dimana n adalah kelipatan dari 6, kita mendapatkan:

Aturan Weddle ditemukan lebih akurat dibandingkan sebagian besar aturan integrasi numerik lainnya.

Catatan Penting: Banyak sub-interval harus diambil sebagai kelipatan 6.

Estimasi galat diberikan oleh:

Contoh Soal

Selesaikan integral berikut:

menggunakan metode Boole dan Weddle, buat 12 pias.

Diberikan batas-batas integralnya 1 dan 4, jika dibagi menjadi 12 pias maka panjang masing-masing pias adalah 0,25. Susun tabel nilai fungsi:

x	f(x)
1	0,4
1,25	0,449438202
1,5	0,48
1,75	0,495575221
2	0,5
2,25	0,496551724
2,5	0,487804878
2,75	0,475675676
3	0,461538462
3,25	0,446351931
3,5	0,430769231
3,75	0,415224913
4	0,4

• Metode Boole

I = (2/45)·(0,25)·[7(0,4 + 0,4) + 32(0,449438 + 0,495575 + 0,496552 + 0,475676 + 0,446352 + 0,415225) + 12(0,48 + 0,487805 + 0,430769) + 14(0,5 + 0,461538)] = 1,386295479.

Hasil integral menggunakan metode Boole adalah 1,386295479.

• Metode Weddle

I = (3/10)·(0,25)·[0,4 + 0,4 + 5(0,449438 + 0,496552 + 0,475676 + 0,415225) + 0,48 + 0,5 + 0,461538 + 0,430769 + 6(0,495575 + 0,446352) + 2(0,487805)] = 1,386294971.

Hasil integral menggunakan metode Weddle adalah 1,386294971.

• Hasil eksak

Hasil eksak integral tersebut adalah ln(20) – ln(5) ≈ 1,386294361.

Dengan banyak pias yang sama, metode Weddle lebih mendekati hasil eksak daripada metode Boole.