Metode Romberg untuk Integrasi Numerik

Apakah Sixtyfourians pernah merasa hasil perhitungan integral menggunakan Aturan Trapesium (Trapesoidal Rule) masih kurang akurat? Atau mungkin butuh akurasi tinggi tapi tidak ingin memperkecil interval (h) secara manual terus-menerus yang memakan waktu komputasi?.

Di sinilah Integrasi Romberg berperan. Metode ini adalah teknik untuk "memurnikan" hasil perkiraan integral kita agar jauh lebih akurat dengan memanipulasi error-nya. Mari kita bedah konsepnya menjadi panduan praktis.

1. Konsep Dasar Ekstrapolasi Richardson

Sebelum masuk ke Romberg, kita perlu faham fondasinya, yaitu Ekstrapolasi Richardson. Bayangkan ada rumus pendekatan untuk menghitung kuantitas G. Hasil hitungan (g(h)) bergantung pada seberapa kecil langkah parameternya (h). Pasti ada error (E(h)).

G = g(h) + E(h)

Richardson menemukan bahwa jika kita tahu pola error-nya (misalnya E(h) = chᵖ), kita bisa menghitung ulang dengan dua nilai h yang berbeda untuk menghilangkan error tersebut. Jika kita menghitung dengan h₁ dan h₂, kita dapat:

G = g(h₁) + ch₁ᵖ

G = g(h₂) + ch₂ᵖ

Dengan sedikit aljabar (eliminasi konstanta c), kita mendapatkan Rumus Ekstrapolasi Richardson:

Biasanya, kita menggunakan langkah yang diperkecil setengahnya (h₂ = h₁/2), sehingga rumusnya menjadi lebih sederhana:

2. Masuk ke Integrasi Romberg

Integrasi Romberg adalah penerapan langsung dari Ekstrapolasi Richardson pada Aturan Trapesium.

A. Mulai dengan Aturan Trapesium

Pertama, kita hitung integral I menggunakan aturan Trapesium standar:

I = ½·h·[y₀ + 2(y₁ + y₂ + ... + yₙ₋₁) + yₙ]

Di mana error utamanya sebanding dengan h² (artinya p = 2 dalam rumus Richardson di atas).

B. Menggabungkan Dua Perkiraan

Kita hitung integral dengan lebar h (sebut saja I₁) dan lebar h/2 (sebut saja I₂). Karena errornya diketahui (O(h²)), kita bisa menggunakan rumus Richardson (dengan p = 2) untuk mendapatkan perkiraan baru yang lebih baik (I):

sering ditulis sebagai:

Rumus di atas mengambil dua hasil "biasa saja" dari aturan Trapesium dan mengombinasikannya untuk menghasilkan satu hasil yang "sangat akurat" (setara dengan akurasi Aturan Simpson).

3. Skema Integrasi Romberg (The Romberg Table)

Kekuatan sebenarnya dari metode ini muncul ketika kita melakukannya berulang-ulang. Kita membuat tabel segitiga.

• Kolom Pertama: Hasil aturan Trapesium dengan h yang terus dibagi dua (h, h/2, h/4, ...).

• Kolom Kedua: Hasil perbaikan menggunakan kombinasi nilai kolom pertama.

• Kolom Ketiga: Hasil perbaikan lebih lanjut dari kolom kedua, dan seterusnya.

Bentuk tabelnya seperti ini:

O(h²)	O(h⁴)	O(h⁶)	O(h⁸)
I(h)
I(h/2)	I(h, h/2)
I(h/4)	I(h/2, h/4)	I(h, h/2, h/4)
I(h/8)	I(h/4, h/8)	I(h/2, h/4, h/8)	I(h, h/2, h/4, h/8)

Setiap kali kita bergerak ke kanan (kolom berikutnya), error berkurang secara drastis (dari h² ke h⁴, lalu h⁶, dst).

4. Rumus Umum (Algoritma)

Untuk menghitung nilai di kolom-kolom selanjutnya tanpa menurunkan rumus manual terus-menerus, kita menggunakan Rumus Rekursif Umum Romberg:

Di mana:

i adalah baris (tingkat pembagian interval).

j adalah kolom (tingkat perbaikan ekstrapolasi).

j = 2, 3, ..., I.
Nilai baru (Rᵢ,ⱼ) dibentuk dari dua nilai di kolom sebelumnya:

Koefisien α dan β bergantung pada kolom j. Contohnya:

j	2	3	4	5	6
α	–1/3	–1/15	–1/63	–1/255	–1/1023
β	4/3	16/15	64/63	256/255	1024/1023

Gambaran bentuk umum tabel segitiga:

i\j	1	2	3	…
1	R₁,₁
2	R₂,₁	R₂,₂
3	R₃,₁	R₃,₂	R₃,₃
…	…	…	…	…

Integrasi Romberg adalah metode yang efisien. Daripada membagi interval menjadi jutaan bagian kecil yang membebani komputer, kita cukup menghitung beberapa variasi interval kasar, lalu menggunakan matematika (ekstrapolasi) untuk "menghilangkan" error dan mendapatkan hasil yang sangat presisi.

Contoh Soal

Tentukan hasil integral R₄,₄ dari

Untuk mencari R₄,₄; diperlukan nilai fungsi sampai 2⁴⁻¹ = 8 bagian. Panjang seluruh interval adalah 1, sehingga untuk 8 bagian, panjang masing-masing adalah 0,125.

x	f(x)
0	0
0,125	0,013789
0,25	0,048675
0,375	0,09665
0,5	0,151633
0,625	0,209086
0,75	0,265706
0,875	0,31916
1	0,367879

Mulai dari menentukan R₁,₁:

R₁,₁ = ½·1·[0 + 0,367879] = 0,18394

R₂,₁ = ½·(0,5)·[0 + 2(0,151633) + 0,367879] = 0,167786

R₂,₂ = [4(0,167786) – 0,18394]/3 = 0,162402

R₃,₁ = ½·(0,25)·[0 + 2(0,048675 + 0,151633 + 0,265706) + 0,367879] = 0,162488

R₃,₂ = [4(0,162488) – 0,167786]/3 = 0,160722

R₃,₃ = [16(0,160722) – 0,162402]/15 = 0,160611

R₄,₁ = ½·(0,125)·[0 + 2(0,013789 + 0,048675 + 0,09665 + 0,151633 + 0,209086 + 0,265706 + 0,31916) + 0,367879] = 0,16108

R₄,₂ = [4(0,16108) – 0,162488]/3 = 0,16061

R₄,₃ = [16(0,16061) – 0,160722]/15 = 0,160602921

R₄,₄ = [64(0,160602921) – 0,160611]/63 = 0,1606028

Hasil integral R₄,₄ adalah 0,1606028.

Pada kasus ini, hanya dengan membagi interval menjadi 8 pias, diperoleh hasil yang cukup akurat dimana hasil integral numeriknya adalah 0,1606028; sedangkan hasil eksaknya adalah

2 – 5/e ≈ 0,160602794

Hasil integral numerik sangat mendekati hasil eksaknya.