Metode Simpson ⅓ dan Simpson ⅜ untuk Integrasi Numerik
1. Metode Simpson ⅓
Dalam Aturan Simpson ⅓, fungsi f(x) didekati (diaproksimasi) menggunakan polinomial derajat dua (parabola) di antara titik-titik yang berurutan.
Karena parabola memiliki tiga konstanta, kita memerlukan tiga titik fungsi yang berurutan untuk membentuk dua interval.
A. Penurunan Rumus
Misalkan kita memiliki tiga titik dengan jarak yang sama: x₀, x₁, x₂. Jarak antar titik disebut h, dimana h = xₙ₊₁ – xₙ.
Dengan menggunakan pendekatan deret Taylor dan ekspansi polinomial, kita mendapatkan rumus dasar untuk dua interval pertama:
Rumus ini terkadang ditulis sebagai I = ⅓h[B + 4O + E], dimana
B = y₀ + yₙ; jumlah nilai fungsi di ujung
O = y₁ + y₃ + y₅ + ... + yₙ₋₁; jumlah nilai fungsi di titik-titik bernomor ganjil
E = y₂ + y₄ + y₆ + ... + yₙ₋₂; jumlah nilai fungsi di titik-titik bernomor genap selain ujung
Catatan Penting: Aturan Simpson 1/3 mengharuskan seluruh rentang interval dibagi menjadi banyak sub-interval yang GENAP.B. Estimasi Error pada Simpson 1/3
Seberapa akurat metode ini? Mari kita lihat estimasi error-nya.
• Error Lokal (per sub-interval):
Berdasarkan ekspansi Deret Taylor, error pada satu bagian (x₀ ke x₂) adalah:
• Error Total (Global):
Jika kita menjumlahkan semua error dari setiap interval, total error E diberikan oleh:
2. Metode Simpson ⅜
Berbeda dengan aturan 1/3 yang menggunakan parabola, Aturan Simpson ⅜ mendekati fungsi menggunakan polinomial derajat tiga (kubik). Untuk membuat kurva ini, kita memerlukan 4 titik data (n = 0, 1, 2, 3).
A. Penurunan Rumus
Dengan menetapkan n = 3 pada persamaan umum integrasi Newton-Cotes, kita mendapatkan rumus untuk satu bagian (3 interval):
Untuk memudahkan mengingatnya, nilai fungsi di titik-titik bernomor bukan kelipatan 3 dikalikan dengan 3, dan nilai fungsi di titik-titik bernomor kelipatan 3 (selain kedua ujung) dikalikan dengan 2.
Catatan Penting: Aturan Simpson 3/8 hanya dapat digunakan jika banyak sub-interval adalah KELIPATAN 3.B. Estimasi Error pada Simpson 3/8
Meskipun menggunakan derajat polinomial yang lebih tinggi, secara umum Aturan Simpson 3/8 tidak serta merta lebih akurat daripada Simpson 1/3 secara signifikan, namun ia berguna ketika banyak interval kita ganjil (tetapi kelipatan 3). Suku dominan dalam error metode ini adalah:
3. Campuran Metode Simpson ⅓ dan ⅜
Seringkali dalam praktek komputasi, jika banyak interval ganjil dan tidak bisa dibagi rata, insinyur atau ilmuwan akan menggunakan kombinasi: menggunakan Simpson 3/8 untuk 3 interval pertama (atau terakhir), dan sisanya menggunakan Simpson 1/3.
Contoh Soal
1. Selesaikan
Batas-batas integrasi adalah 0,4 dan 1,4 yang berarti panjang interval adalah 1. Misal ingin dibagi menjadi 10 subinterval dengan panjang masing-masing 0,1; karena banyak subinterval genap, gunakan metode Simpson 1/3.
Susun tabel nilai fungsi:
|
x |
f(x) |
|
0,4 |
0,217661 |
|
0,5 |
0,315301 |
|
0,6 |
0,427002 |
|
0,7 |
0,551939 |
|
0,8 |
0,689443 |
|
0,9 |
0,838956 |
|
1 |
1 |
|
1,1 |
1,172159 |
|
1,2 |
1,355067 |
|
1,3 |
1,548394 |
|
1,4 |
1,751845 |
I = ⅓·(0,1)·[0,217661 + 4(0,315301 + 0,551939 + 0,838956 + 1,172159 + 1,548394) + 2(0,427002 + 0,689443 + 1 + 1,355067) + 1,751845] = 0,887317.
Hasil integralnya adalah 0,887317.
2. Selesaikan
Batas-batas integrasi adalah 0,3 dan 1,2 yang berarti panjang interval adalah 0,9. Misal ingin dibagi menjadi 9 subinterval dengan panjang masing-masing 0,1; karena banyak subinterval kelipatan 3, gunakan metode Simpson 3/8.
Susun tabel nilai fungsi:
|
x |
f(x) |
|
0,3 |
0,762712 |
|
0,4 |
0,909091 |
|
0,5 |
1 |
|
0,6 |
1,046512 |
|
0,7 |
1,060606 |
|
0,8 |
1,052632 |
|
0,9 |
1,030534 |
|
1 |
1 |
|
1,1 |
0,964912 |
|
1,2 |
0,927835 |
Masukkan ke rumus:
I = ⅜·(0,1)·[0,762712 + 3(0,909091 + 1 + 1,060606 + 1,052632 + 1 + 0,964912) + 2(1,046512 + 1,030534) + 0,927835] = 0,892739.
Hasil integralnya adalah 0,892739.
Komentar
Posting Komentar