Metode Trapesium untuk Integrasi Numerik

Jika F(x) adalah fungsi terdiferensiasi (dapat diturunkan) yang turunannya adalah f(x), maka kita dapat mengevaluasi integral tentu I sebagai:

Persamaan ini dikenal sebagai teorema dasar kalkulus. Sebagian besar integral dapat dievaluasi dengan rumus yang diberikan oleh persamaan tersebut dan terdapat banyak teknik untuk melakukan evaluasi semacam itu. Namun, dalam banyak aplikasi di bidang sains dan teknik, sebagian besar integral tidak dapat dievaluasi karena integral-integral tersebut tidak memiliki anti-turunan F(x) yang dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi elementer.

Dalam keadaan lain, integran (fungsi yang diintegralkan) bisa berupa fungsi empiris yang didapat dari nilai-nilai terukur tertentu. Dalam semua kejadian ini, kita perlu menggunakan metode integrasi numerik. Perlu dicatat di sini bahwa, terkadang, sulit untuk mengevaluasi integral dengan metode analitis. Integrasi numerik adalah pendekatan alternatif untuk menyelesaikan masalah tersebut. Seperti teknik numerik lainnya, metode ini sering menghasilkan solusi pendekatan (aproksimasi).

Integrasi dapat dilakukan pada fungsi kontinu atau sekumpulan data. Rentang integrasi (b – a) dibagi menjadi sejumlah interval berhingga (finite) dalam integrasi numerik. Teknik integrasi yang terdiri dari interval-interval yang sama didasarkan pada rumus-rumus yang dikenal sebagai rumus kuadratur tertutup Newton-Cotes.

1. Pengenalan

Dalam dunia metode numerik, seringkali kita perlu menghitung integral tentu (luas di bawah kurva) dari suatu fungsi yang sulit atau tidak mungkin diintegralkan secara analitik. Salah satu metode pendekatan yang paling dasar dan populer adalah Aturan Trapesium (Trapesoidal Rule).

Seperti yang terlihat pada gambar, konsep utamanya sederhana: nilai-nilai fungsi yang diketahui dihubungkan dengan garis lurus. Luas daerah yang dibatasi oleh garis-garis ini di antara titik-titik ujung dihitung untuk memperkirakan nilai integral yang sebenarnya.

2. Konsep Dasar dan Penurunan Rumus

Bayangkan sebuah kurva y = f(x). Kita membagi area di bawah kurva menjadi beberapa sub-interval dengan lebar yang sama, yaitu h.

Setiap sub-interval dengan pendekatan garis lurus membentuk sebuah trapesium. Luas setiap trapesium dihitung dengan mengalikan lebar interval (h) dengan nilai rata-rata fungsi pada sub-interval tersebut. Setelah luas masing-masing trapesium didapatkan, semuanya dijumlahkan untuk mendapatkan perkiraan integral secara keseluruhan.

Jika kita meninjau satu interval saja (misalnya antara x₀ dan x₁), dengan menganggap kurva y = f(x) sebagai garis lurus (polinomial derajat pertama), maka perumusannya adalah:

Secara serupa, untuk interval berikutnya kita memiliki:

Dan seterusnya hingga interval terakhir:

3. Rumus Umum Aturan Trapesium

Dengan menjumlahkan semua integral subinterval tersebut (menggunakan sifat aditif interval dari integral tentu), kita mendapatkan rumus total:

Ringkasan: Aturan trapesium berarti kurva y = f(x) digantikan oleh n buah garis lurus yang menghubungkan titik-titik (xₙ, yₙ). Luas area kemudian dihitung sebagai jumlah dari n buah trapesium.

4. Estimasi Kesalahan (Error Estimate)

Setiap pendekatan numerik pasti memiliki error atau galat. Mari kita lihat seberapa besar kesalahan pada Aturan Trapesium.

Misalkan y = f(x) adalah fungsi kontinu dengan turunan yang juga kontinu dalam interval [x₀, xₙ]. Dengan mengekspansikan y dalam deret Taylor di sekitar x = x₀, kita bisa membandingkan nilai integral sebenarnya dengan nilai pendekatan trapesium.

A. Kesalahan Per Langkah (Local Error)

Selisih antara integral eksak dan rumus trapesium untuk satu sub-interval (e₁) adalah: