Teorema Fundamental Kalkulus

1. Teorema Fundamental Kalkulus Bentuk Pertama

Bentuk Pertama dari Teorema Fundamental memberikan dasar teoritis untuk metode penghitungan integral yang telah dipelajari Sixtyfourians dalam kalkulus. Teorema ini menyatakan bahwa jika suatu fungsi f adalah turunan dari fungsi F, dan jika f termasuk dalam ℛ[a, b], maka integral f pada [a, b] dapat dihitung dengan cara evaluasi F(b) – F(a). Fungsi F sedemikian sehingga F'(x) = f(x) untuk semua x ∈ [a, b] disebut sebagai antiturunan atau primitif dari f pada [a, b]. Jadi, ketika f memiliki antiturunan, menghitung integralnya menjadi hal yang sangat sederhana.

Dalam praktiknya, lebih mudah untuk mengijinkan beberapa titik pengecualian c di mana F'(c) tidak ada dalam ℝ, atau di mana F'(c) tidak sama dengan f(c). Ternyata kita dapat mengijinkan sejumlah hingga titik pengecualian tersebut.

Berikut ini teorema fundamental kalkulus bentuk pertama:

Misalkan ada himpunan hingga E dalam [a, b] dan fungsi f, F : [a, b] → ℝ sedemikian sehingga:

(a) F kontinu pada [a, b],

(b) F'(x) = f(x) untuk semua x ∈ [a, b]\E,

(c) f termasuk dalam ℛ[a, b].

Maka kita memiliki:

Bukti:

Kita akan membuktikan teorema ini untuk kasus di mana E = {a, b}. Kasus umum dapat diperoleh dengan membagi interval menjadi gabungan dari sejumlah hingga interval.

Misalkan ε > 0 diberikan. Karena f ∈ ℛ[a, b] berdasarkan asumsi (c), maka terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika Ṗ adalah sebarang partisi bertanda dengan ‖Ṗ‖ < δ, maka:

Jika subinterval dalam Ṗ adalah [xᵢ₋₁, xᵢ], maka Teorema Nilai Rata-Rata yang diterapkan pada F pada [xᵢ₋₁, xᵢ] menunjukkan bahwa terdapat uᵢ ∈ (xᵢ₋₁, xᵢ) sedemikian sehingga:

F(xᵢ) – F(xᵢ₋₁) = F'(uᵢ) · (xᵢ – xᵢ₋₁) untuk i = 1, . . . , n.

Jika kita menjumlahkan suku-suku ini, perhatikan deret teleskopik dari penjumlahan tersebut, dan gunakan fakta bahwa F'(uᵢ) = f(uᵢ), kita memperoleh:

Sekarang misalkan Ṗᵤ = {([xᵢ₋₁, xᵢ], uᵢ) : i = 1, 2, ..., n}, sehingga jumlah di sisi kanan sama dengan S(f; Ṗᵤ). Jika kita mensubstitusikan F(b) – F(a) = S(f; Ṗᵤ) ke dalam

kita menyimpulkan bahwa:

Namun, karena ε > 0 adalah arbitrer (sebarang), kita menyimpulkan bahwa persamaan yang kita inginkan berlaku. Q.E.D.

Catatan:

Jika fungsi F dapat diturunkan di setiap titik pada [a, b], maka hipotesis (a) secara otomatis terpenuhi. Jika f tidak terdefinisi untuk beberapa titik c ∈ E, kita ambil f(c) = 0.

Bahkan jika F dapat diturunkan di setiap titik [a, b], kondisi (c) tidak secara otomatis terpenuhi, karena ada fungsi F sedemikian sehingga F' tidak terintegralkan secara Riemann, kita akan mengetahui contohnya ketika membahas integral dengan fungsi integran tak hingga.

2. Teorema Fundamental Kalkulus Bentuk Kedua

A. Definisi Integral Tak Tentu

Misal f ∈ ℛ[a, b], misal didefinisikan fungsi

dinamakan sebagai integral tak tentu f dengan titik dasar a.
B. Hasil Integral Tak Tentu Merupakan Fungsi Lipschits

Integral tak tentu F yang didefinisikan oleh poin (A) bersifat kontinu pada [a, b]. Faktanya, jika |f(x)| ≤ M untuk semua x ∈ [a, b], maka |F(v) – F(w)| ≤ M|v – w| untuk semua v, w ∈ [a, b].

Bukti:

Teorema Aditifitas menyiratkan bahwa jika v, w ∈ [a, b] dan w ≤ v, maka:

yang darinya kita memperoleh:

Sekarang jika –M ≤ f(x) ≤ M untuk semua x ∈ [a, b], maka:

yang darinya dapat disimpulkan bahwa:

seperti yang ditegaskan. Q.E.D.

C. Teorema Fundamental Kalkulus Bentuk Kedua

Misalkan f ∈ ℛ[a, b] dan misalkan f kontinu di suatu titik c ∈ [a, b]. Maka integral tak tentu, yang didefinisikan oleh poin (A), dapat diturunkan pada c dan F'(c) = f(c).

Bukti:

Kita akan mengasumsikan bahwa c ∈ [a, b) dan mempertimbangkan turunan sisi kanan dari F pada c. Karena f kontinu di c, untuk ε > 0 yang diberikan terdapat η > 0 sedemikian sehingga jika c ≤ x < c + η, maka:

f(c) – ε < f(x) < f(c) + ε

Misalkan h memenuhi 0 < h < η. Teorema Aditifitas menyiratkan bahwa f terintegralkan pada interval [a, c], [a, c + h] dan [c, c + h] dan bahwa:

Sekarang pada interval [c, c + h], fungsi f memenuhi pertidaksamaan

f(c) – ε < f(x) < f(c) + ε

sehingga kita memperoleh:

Jika kita membagi dengan h > 0 dan mengurangkan f(c), kita memperoleh:

Namun, karena ε > 0 bersifat arbitrer (sebarang), kita menyimpulkan bahwa limit sisi kanan diberikan oleh:

Dibuktikan dengan cara yang sama bahwa limit sisi kiri dari hasil bagi selisih ini juga sama dengan f(c) ketika c ∈ (a, b], yang darinya pernyataan tersebut terbukti.

Q.E.D.

D. Integral Tak Tentu dan Antiturunan

Jika f kontinu pada [a, b], maka integral tak tentu F, yang didefinisikan oleh poin (A), dapat diturunkan pada [a, b] dan F'(x) = f(x) untuk semua x ∈ [a, b].

Teorema ini dapat diringkas sebagai berikut:

Jika f kontinu pada [a, b], maka integral tak tentunya adalah sebuah antiturunan dari f.

3. Subsitusi dan Komposisi

A. Substitusi

Misal J = [α, β] dan misal φ : J → ℝ memiliki turunan yang kontinu pada J. Jika f : I → ℝ kontinu pada interval I ⊇ φ(J), maka

B. Komposisi
Misal f ∈ ℛ[a, b] dengan f([a, b]) ⊆ [c, d] dan misal φ : [c, d] → ℝ kontinu, maka φ ∘ f ∈ ℛ[a, b].

C. Nilai Mutlak

Misal f ∈ ℛ[a, b] dan (∀x ∈ [a, b]). |f(x)| ≤ M, berlaku ketaksamaan:

D. Integrabilitas Hasil Kali
Jika f, g ∈ ℛ[a, b]; maka fg ∈ ℛ[a, b].

Ini benar karena dapat dituliskan fg = ½[(f + g)² – f² – g²], dimana perkalian skalar, penjumlahan dan pengurangan, dan komposisi dari fungsi-fungsi terintegral Riemann juga terintegral Riemann.

4. Teorema Taylor dengan Sisa

Misalkan n ∈ ℕ, misalkan I = [a, b], dan misalkan f : I → ℝ sedemikian sehingga f dan turunan-turunannya f', f'', ... , f⁽ⁿ⁾ terdefinisi pada I dan f⁽ⁿ⁺¹⁾ terintegral Riemann pada (a, b). Kita memiliki:

dengan sisanya diberikan oleh: