Turunan Numerik dengan Rumus Interpolasi Depan Newton

Misalkan fungsi y = f(x) diketahui nilainya pada (n + 1) titik yang berjarak sama (ekuidistan), yaitu x₀, x₁, x₂, ..., xₙ. Nilai fungsi pada titik-titik tersebut berturut-turut adalah y₀, y₁, y₂, ..., yₙ. Kita definisikan hubungan variabel bebasnya sebagai berikut:

xᵢ = x₀ + ih, untuk i = 0, 1, 2, ..., n

dan p = (x – x₀)/h

Di mana h adalah jarak antar titik (spacing).

Berdasarkan Rumus Interpolasi Depan Newton dinyatakan sebagai:

Untuk memudahkan proses penurunan (diferensiasi), kita perlu menjabarkan suku-suku perkalian p pada persamaan di atas menjadi bentuk polinomial biasa. Persamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi:

Jika diteruskan, berikut polinom dari p:

Orde 5: (p – 4)(p⁴ – 6p³ + 11p² – 6p) = p⁵ – 10p⁴ + 35p³ – 50p² + 24p

Orde 6: (p – 5)(p⁵ – 10p⁴ + 35p³ – 50p² + 24p) = p⁶ – 15p⁵ + 85p⁴ – 225p³ + 274p² – 120p

Orde 7: (p – 6)(p⁶ – 15p⁵ + 85p⁴ – 225p³ + 274p² – 120p) = p⁷ – 21p⁶ + 175p⁵ – 735p⁴ + 1624p³ – 1764p² + 720p, dan seterusnya...

Sekarang, kita akan menurunkan persamaan terhadap x, perlu diingat aturan rantai (chain rule):

Karena p = (x – x₀)/h, turunan p terhadap x adalah dp/dx = 1/h, sehingga turunan y terhadap x adalah:

Jika diteruskan, berikut polinom dari p:

Orde 5: 5p⁴ – 40p³ + 105p² – 100p + 24

Orde 6: 6p⁵ – 75p⁴ + 340p³ – 675p² + 548p – 120

Orde 7: 7p⁶ – 126p⁵ + 875p⁴ – 2940p³ + 4872p² – 3528p + 720, dan seterusnya...

Untuk turunan kedua, berikut aturan rantainya:

Dengannya, turunan kedua y terhadap x adalah:

Jika diteruskan, berikut polinom dari p:

Orde 5: 20p³ – 120p² + 210p – 100

Orde 6: 30p⁴ – 300p³ + 1020p² – 1350p + 548

Orde 7: 42p⁵ – 630p⁴ + 3500p³ – 8820p² + 9744p – 3528, dan seterusnya...

Kasus khusus untuk turunan di titik awal, yaitu x₀, diperoleh p = 0, sehingga turunannya adalah:

Contoh Soal

Jarak x, dalam satuan kilometer, dari pembalap motor dari suatu titik diukur setiap 0,25 jam. Diperoleh data:

t (jam)	0	0,25	0,5	0,75	1	1,25	1,50
x (km)	0	3,2	6,8	15	18,4	20,9	25,7

Tentukan kecepatan dan percepatan ketika t = 0,2 jam.

Solusi:

Diberikan h = 0,25 – 0 = 0,25. Waktu 0,2 terletak di awal; gunakan rumus selisih depan Newton.

Buat tabel selisih berikut:

t	x
0	0
		3,2
0,25	3,2		0,4
		3,6		4,2
0,5	6,8		4,6		-13,6
		8,2		-9,4		26,9
0,75	15		-4,8		13,3		-40,9
		3,4		3,9		-14
1	18,4		-0,9		-0,7
		2,5		3,2
1,25	20,9		2,3
		4,8
1,5	25,7

p = (0,2 – 0)/(0,25) = 0,8

≈ –7,70103.

≈ 8,789262.

Jadi, kecepatan ketika t = 0,2 jam adalah –7,70103 km/jam dan percepatannya 8,789262 km/jam².