Turunan Numerik dengan Rumus Interpolasi Stirling

Misalkan yᵢ = f(xᵢ), untuk i = 0, ± 1, ± 2, ..., ± n diberikan untuk 2n + 1 titik yang berjarak sama (equispaced) yaitu x₀, x₀ ± h, x₀ ± 2h, ..., x₀ ± nh; di mana: xᵢ = x₀ + ih; i = 0, ± 1, ± 2, ..., ± n.

Rumus polinom interpolasi Stirling diberikan oleh persamaan berikut:

dimana p = (x – x₀)/h. Jika diteruskan, berikut polinom dari p:

Orde 5: (p + 2)(p – 2)(p³ – p) = p⁵ – 5p³ + 4p

Orde 6: p(p⁵ – 5p³ + 4p) = p⁶ – 5p⁴ + 4p²

Orde 7: (p + 3)(p – 3)(p⁵ – 5p³ + 4p) = p⁷ – 14p⁵ + 49p³ – 36p, dan seterusnya...

Ketika persamaan tersebut didiferensiasikan (diturunkan) terhadap x secara berturut-turut, kita memperoleh rumus turunan pertama:

Jika diteruskan, berikut polinom dari p:

Orde 5: 5p⁴ – 15p² + 4

Orde 6: 6p⁵ – 20p³ + 8p

Orde 7: 7p⁶ – 70p⁴ + 147p² – 36, dan seterusnya...

Turunan keduanya adalah:

Jika diteruskan, berikut polinom dari p:

Orde 5: 20p³ – 30p

Orde 6: 30p⁴ – 60p² + 8

Orde 7: 42p⁵ – 280p³ + 294p, dan seterusnya...

Kasus khusus untuk turunan di titik awal, yaitu x₀, diperoleh p = 0, sehingga turunannya adalah:

Contoh Soal

Jarak x, dalam satuan kilometer, dari pembalap motor dari suatu titik diukur setiap 0,25 jam. Diperoleh data:

t (jam)	0	0,25	0,5	0,75	1	1,25	1,50
x (km)	0	3,2	6,8	15	18,4	20,9	25,7

Tentukan kecepatan dan percepatan ketika t = 0,8 jam.

Solusi:

Diberikan h = 0,25 – 0 = 0,25. Waktu 0,8 terletak di tengah; gunakan rumus Stirling.

Buat tabel selisih berikut:

t	x
0	0
		3,2
0,25	3,2		0,4
		3,6		4,2
0,5	6,8		4,6		-13,6
		8,2		-9,4		26,9
0,75	15	5,8	-4,8	-2,75	13,3	6,45	-40,9
		3,4		3,9		-14
1	18,4		-0,9		-0,7
		2,5		3,2
1,25	20,9		2,3
		4,8
1,5	25,7

p = (0,8 – 0,75)/(0,25) = 0,2

≈ 20,562684.

≈ –109,233.

Jadi, kecepatan ketika t = 0,8 jam adalah 20,562684 km/jam dan percepatannya –109,233 km/jam².