Daerah Faktorisasi Unik

1. Konsep Awal

A. Unit

Misal R merupakan ring dengan elemen satuan. Elemen a ∈ R disebut unit jika (∃b ∈ R) ∋ ab = ba = 1.

B. Fungsi Penilaian Euclid untuk Hasil Kali dengan Unit

Misalkan R suatu ring Euklid dengan fungsi penilaian d dan a, b ∈ D\{0}; berlaku:

d(a) = d(ab) jika dan hanya jika b unit.

Bukti:

• Jika b unit maka d(a) = d(ab)

Misalkan b unit. Jadi, misalkan u ∈ R sehingga b·u = u·b = 1.

Untuk setiap a ∈ R tak nol diperoleh

a = a·1 = a·(b·u) = (a·b)·u

Sehingga

d(a·b) ≤ d((a·b)·u) = d(a)

Selain itu jelas bahwa

d(a) ≤ d(a·b)

Jadi, dari kedua hal tersebut dapat disimpulkan bahwa

d(a) = d(a·b)

jika b suatu unit. 

• Jika d(a) = d(ab) maka b unit

Misal A ideal utama yang dibangun oleh a, diperoleh a, ab ∈ A (karena a ∈ A, b ∈ R, dan A ideal). Ingat bahwa R ring Euklid maka R ring ideal utama. Ingat juga bahwa setiap elemen c ∈ A dengan d(c) minimum merupakan pembangun A. Karena a pembangun A, d(a) minimum. Selain itu d(ab) = d(a) juga minimum, akibatnya ab juga pembangun A.

Selanjutnya karena a ∈ A dan A dibangun oleh ab maka (∃u ∈ R) ∋ a = (ab)u = a(bu).

Karena R daerah integral dan a ≠ 0, berlaku kanselasi, diperoleh bu = 1.

Jadi, b merupakan unsur unit di R. □

C. Elemen Iredusibel

Misal R ring komutatif. Elemen p ∈ R\{0} dikatakan prim atau iredusibel (tak tereduksi) jika faktor-faktor dari p hanyalah unit dan sekawannya. Dapat dituliskan:

(∀a ∈ R\{0}). a | p ⇒ p | a ∨ (∃b ∈ R) ∋ ab = ba = 1.

D. FPB Elemen Iredusibel

Misalkan R ring Euklid dan a, p ∈ R\{0} dengan p iredusibel. Diperoleh (p, a) = p atau (p, a) = 1.

Bukti:

Misalkan R ring Euklid dan a, p ∈ R\{0} dengan p iredusibel. Jika p | a diperoleh p merupakan FPB dari a dan p. Sebaliknya, jika p ∤ a maka semua sekawan p juga bukan faktor a. Sehingga semua faktor p yang juga membagi habis a hanya elemen unit. Karena itu, FPB dari p dan a adalah 1. □

E. Elemen Relatif Prima / Koprim

Misal R ring komutatif, dan diberikan a, b ∈ R\{0}. Elemen a dan b dikatakan relatif prima atau koprim jika FPB dari a dan b merupakan unit.

F. Keterbagian Hasil Kali oleh Iredusibel

Misal R ring Euclid dan a, b, p ∈ R dengan p iredusibel. Berlaku:

p | ab ⇒ p | a ∨ p | b, dapat juga dinyatakan kontraposisinya:

p ∤ a ∧ p ∤ b ⇒ p ∤ ab.

Perluasan:

p | a₁a₂...aₙ ⇒ (∃i) ∋ p | aᵢ; i = 1, 2, ..., n

2. Faktorisasi

A. Eksistensi Faktorisasi Elemen Taknol Non-Unit

Misal R ring Euclid dan a ∈ R\{0}. Jika a bukan unit, maka a dapat ditulis sebagai hasil kali dari berhingga elemen iredusibel.

Selanjutnya hasil kali berhingga elemen iredusibel itu disebut sebagai faktorisasi prima.

B. Eksistensi Kesekawanan Faktorisasi Prima

Misal R ring Euclid, a ∈ R\{0} dan a bukan unit. Misal terdapat 2 faktorisasi untuk a:

a = p₁p₂...pₙ = q₁q₂...qₘ; dengan pᵢ, qⱼ elemen iredusibel; i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., m.

Maka n = m, dan (∀i)(∃j) ∋ pᵢ sekawan dengan qⱼ.

C. Daerah Faktorisasi Unik

Misalkan D suatu daerah integral. D disebut daerah faktorisasi unik jika berlaku sebagai berikut.

(i). (∀a ∈ D\{0}) jika a bukan unit maka a dapat ditulis sebagai perkalian dari elemen-elemen iredusibel.

(ii). (∀a ∈ D\{0}) jika a bukan unit dan a = p₁p₂···pₙ = q₁q₂···qₘ dengan pᵢ, qⱼ iredusibel untuk i = 1, 2, ···, n dan j = 1, 2, ···, m. Maka n = m dan (∀i)(∃j) ∋ pᵢ sekawan dengan qⱼ.

D. Hubungan Ring Euclid dengan Daerah Faktorisasi Unik

Setiap ring Euclid merupakan daerah faktorisasi unik.

3. Hirarki Daerah Faktorisasi Unik

A. Ring Tak Hingga

Untuk ring dengan banyak anggota tak hingga, berlaku hubungan:

Field ⇒ Ring Euclid ⇒ Ring Ideal Utama ⇒ Daerah Faktorisasi Unik ⇒ Daerah Integral

Untuk ring tak hingga, hubungan berlaku searah, tidak 2 arah.

B. Ring Berhingga

Untuk ring dengan banyak anggota berhingga, berlaku hubungan:

Field ⇔ Ring Euclid ⇔ Ring Ideal Utama ⇔ Daerah Faktorisasi Unik ⇔ Daerah Integral

Untuk ring berhingga, hubungan berlaku 2 arah.