Field Kuosien

1. Penyisipan dan Field Kuosien

A. Definisi Dapat Disisipkan

Ring R dikatakan dapat disisipkan (can be imbedded) di dalam ring S jika terdapat monomorfisma (homomorfisma injektif) dari R ke S. Dalam kasus ini S disebut perluasan dari ring R.

B. Field Kuosien

Misalkan D adalah daerah integral. Field F dikatakan field kuosien dari daerah integral D jika F memuat D dan F termuat di dalam setiap field yang memuat D. Dengan kata lain, F merupakan field terkecil yang memuat D.

Contoh paling familiar untuk field kuosien adalah bahwa field kuosien dari ℤ adalah ℚ.

Field kuosien untuk field F adalah F itu sendiri dan field lain yang isomorfik dengannya.

2. Pembentukan Field Kuosien

A. Relasi Tidal

Misal D daerah integral, misal dibentuk himpunan D × D\{0} = {(a, b) : a, b ∈ D; b ≠ 0}. Misal didefinisikan relasi "~" di dalam D × D\{0} sebagai berikut:

(a, b) ~ (c, d) ⇔ ad = bc

Perhatikan:

• Relasi ~ bersifat refleksif

(a, b) ~ (a, b) karena ab = ba, dimana perkalian di dalam D bersifat komutatif.

• Relasi ~ bersifat simetrik

Misal (a, b) ~ (c, d) ⇔ ad = bc, karena perkalian di dalam D bersifat komutatif

⇔ cb = da ⇔ (c, d) ~ (a, b).

• Relasi ~ bersifat transitif

Misal (a, b) ~ (c, d) ∧ (c, d) ~ (e, f)

⇔ ad = bc ∧ cf = de

⇔ adf = bcf ∧ bcf = bde

⇔ adf = bde

⇔ daf = dbe

⇔ af = be

⇔ (a, b) ~ (e, f)

Jadi, relasi "~" merupakan relasi ekivalensi. Relasi ini membentuk kelas-kelas ekivalensi.

B. Field yang Terbentuk oleh Relasi Tidal

Misal F adalah himpunan kelas-kelas ekivalensi di dalam D × D\{0} yang terbentuk oleh "~".

F = {[a, b] : (a, b) ∈ D × D\{0}}.

Misal didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian pada F sebagai berikut:

[a, b] + [c, d] = [ad + bc, bd]

[a, b][c, d] = [ac, bd]

Ambil sebarang [a, b], [c, d], [e, f] ∈ F; perhatikan:

• Sifat Ketertutupan Penjumlahan

[a, b] + [c, d] = [ad + bc, bd] ∈ F, karena ad + bc ∈ D; dan dikarenakan b dan d bukan elemen nol, dan D daerah integral, bd bukan elemen nol.

• Sifat Asosiatif Penjumlahan

([a, b] + [c, d]) + [e, f] = [ad + bc, bd] + [e, f] = [adf + bcf + bde, bdf] = [a, b] + [cf + de, df] = [a, b] + ([c, d] + [e, f]).

• Eksistensi Elemen Nol

Pilih [0, 1] ∈ F, sehingga [a, b] + [0, 1] = [a + 0, b] = [a, b].

• Eksistensi Invers Penjumlahan

Pilih [–a, b] ∈ F, sehingga [a, b] + [–a, b] = [ab – ba, b²] = [0, b²] = [0, 1].

Keterangan: yang terakhir ini benar karena (0, b²) ~ (0, 1).

• Sifat Komutatif Penjumlahan

[a, b] + [c, d] = [ad + bc, bd] = [cb + da, db] = [a, b] + [c, d].

• Sifat Ketertutupan Perkalian

[a, b]·[c, d] = [ac, bd] ∈ F, karena ac ∈ D; dan dikarenakan b dan d bukan elemen nol, dan D daerah integral, bd bukan elemen nol.

• Sifat Asosiatif Perkalian

([a, b]·[c, d])·[e, f] = [ac, bd]·[e, f] = [ace, bdf] = [a, b]·[ce, df] = [a, b]·([c, d]·[e, f]).

• Eksistensi Elemen Satuan

Pilih [1, 1] ∈ F, sehingga [a, b]·[1, 1] = [a, b].

• Eksistensi Invers Perkalian untuk Elemen Taknol

Untuk [a, b] yang bukan elemen nol dapat dipilih [b, a] ∈ F, karena a taknol, sehingga

[a, b][b, a] = [ab, ba] = [ab, ab] = [1, 1].

• Sifat Komutatif Perkalian

[a, b][c, d] = [ac, bd] = [ca, db] = [c, d][a, b].

• Sifat Distributif

[a, b]([c, d] + [e, f]) = [a, b][cf + de, df] = [acf + ade, bdf] = [acfbdf + adebdf, bdfbdf] = [acf, bdf] + [ade, bdf] = [ac, bd] + [ae, bf] = [a, b][c, d] + [a, b][e, f].

Jadi, F dengan operasi yang didefinisikan tersebut membentuk field. Dalam kasus ini, F disebut field kuosien dari D.

C. Penyisipan Daerah Integral ke Field Kuosien

Misal dibentuk himpunan D* = {[a, 1] : a ∈ D} ⊆ F. Misal didefinisikan fungsi f : D → D* dengan

f(a) = [a, 1]

Perhatikan

• f mempertahankan penjumlahan dan perkalian

Ambil sebarang a, b ∈ D.

f(a + b) = [a + b, 1] = [a, 1] + [b, 1] = f(a) + f(b).

f(ab) = [ab, 1] = [a, 1][b, 1] = f(a)f(b).

• f injektif

Ambil sebarang a, b ∈ D dengan f(a) = f(b)

⇔ [a, 1] = [b, 1], karena keduanya kelas yang sama, berlaku

⇔ a·1 = b·1

⇔ a = b.

Jadi, fungsi f merupakan homomorfisma injektif.

Tambahan:

• Dengan fungsi f ini, setiap daerah integral dapat disisipkan ke field kuosiennya.

• Fungsi f ini surjektif dari D ke D*

Ambil sebarang [a, 1] ∈ D*, pilih a ∈ D sehingga f(a) = [a, 1].

Jadi, f merupakan isomorfisma. Lebih lanjut D isomorfik dengan D*.

• Field kuosien dari D tidak tunggal, yang mana F ini merupakan salahsatunya. Field lain yang isomorfik dengan F juga merupakan field kuosien untuk D.

3. Eksistensi Subring untuk Field dengan Karakteristik Tertentu

Ingat kembali bahwa field merupakan daerah integral, sehingga karakteristik field adalah 0 atau bilangan prima. Berikut ini eksistensi subring untuk field:

a. Field dengan karakteristik 0 memiliki subring yang isomorfik dengan ℚ.

b. Field dengan karakteristik p (yang mana p merupakan bilangan prima) memiliki subring yang isomorfik dengan ℤₚ.

Bukti (a):

Misal field F memiliki karakteristik 0, berarti (∀n ∈ ℕ). n·1 ≠ 0; dimana 1 elemen satuan F.

Misal didefinisikan fungsi φ : ℤ → F dengan φ(n) = n·1. Satu-satunya n yang memenuhi n·1 = 0 adalah 0, sehingga φ injektif. Dan dikarenakan sifat distributif dan bahwa 1 merupakan elemen satuan F, fungsi φ merupakan homomorfisma ring, sehingga φ(ℤ) merupakan subring dari F. Jadi, φ merupakan monomorfisma dari ℤ ke F. Lebih lanjut, φ(ℤ) isomorfik dengan ℤ, sehingga merupakan daerah integral.

Jika dikonstruksi field kuosien dari φ(ℤ), akan isomorfik dengan ℚ (yang merupakan field kuosien dari ℤ), juga isomorfik dengan suatu subring dari F. Oleh karena itu, subring tersebut isomorfik dengan ℚ.

Dengan cara serupa, kita juga dapat membuktikan (b).