Ring Faktor

1. Koset

A. Koset

Misal I ideal dari R dan r ∈ R, misal didefinisikan himpunan

r + I = {r + i : r ∈ R, i ∈ I}

himpunan ini disebut koset kiri dari I. Karena operasi penjumlahan bersifat komutatif, koset kiri dan koset kanan merupakan himpunan yang sama, yaitu r + I = I + r.

B. Penjumlahan Koset

Misal r₁, r₂ ∈ R dan I ideal dari R. Misal dilakukan penjumlahan anggota koset:

(r₁ + i₁) ∈ r₁ + I dan (r₂ + i₂) ∈ r₂ + I, diperoleh

(r₁ + i₁) + (r₂ + i₂) = (r₁ + r₂) + (i₁ + i₂), karena I ring, (i₁ + i₂) ∈ I, diperoleh

(r₁ + I) + (r₂ + I) = (r₁ + r₂) + I

C. Perkalian Koset

Misal r₁, r₂ ∈ R dan I ideal dari R. Misal dilakukan perkalian anggota koset:

(r₁ + i₁) ∈ r₁ + I dan (r₂ + i₂) ∈ r₂ + I, diperoleh

(r₁ + i₁)(r₂ + i₂) = r₁r₂ + (r₁i₂ + i₁r₂ + i₁i₂), karena I ideal, (r₁i₂ + i₁r₂ + i₁i₂) ∈ I, diperoleh

(r₁ + I)(r₂ + I) = r₁r₂ + I

2. Pembentukan Ring Faktor

Misal R ring dan I ideal dari R, dibentuk himpunan R/I yaitu himpunan semua koset dari I. Himpunan R/I dengan operasi penjumlahan dan perkalian koset membentuk ring.

Bukti:

Ambil sebarang a, b, c ∈ R untuk membentuk a + I, b + I, c + I ∈ R/I; perhatikan

• Ketertutupan Penjumlahan

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I, karena a + b ∈ R, maka (a + b) + I ∈ R/I.

• Sifat Asosiatif Penjumlahan

[(a + I) + (b + I)] + (c + I) = [(a + b) + c] + I = [a + (b + c)] + I = (a + I) + [(b + I) + (c + I)].

• Eksistensi Identitas Penjumlahan

Pilih 0 ∈ R untuk membentuk 0 + I ∈ R/I.

(a + I) + (0 + I) = (a + 0) + I = a + I.

• Eksistensi Invers Penjumlahan

Pilih –a ∈ R untuk membentuk –a + I ∈ R/I.

(a + I) + (–a + I) = [a + (–a)] + I = 0 + I.

• Sifat Komutatif Penjumlahan

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I = (b + a) + I = (b + I) + (a + I).

• Ketertutupan Perkalian

(a + I)(b + I) = ab + I, karena ab ∈ R, maka ab + I ∈ R/I.

• Sifat Asosiatif Perkalian

[(a + I)·(b + I)]·(c + I) = [(a·b)·c] + I = [a·(b·c)] + I = (a + I)·[(b + I)·(c + I)].

• Sifat Distributif

(a + I)·[(b + I) + (c + I)] = a(b + c) + I = (ab + ac) + I = (a + I)(b + I) + (a + I)(c + I).

Jadi, himpunan R/I dengan penjumlahan dan perkalian koset membentuk ring.

3. Sifat-Sifat yang Dipertahankan dan Tidak Dipertahankan oleh Ring Faktor

A. Sifat Komutatif (Dipertahankan)

Misal R ring komutatif dan I ideal dari R. Ring faktor R/I merupakan ring komutatif.

Bukti:

Ambil sebarang a, b ∈ R untuk membentuk a + I, b + I ∈ R/I; perhatikan

(a + I)(b + I) = ab + I = ba + I = (b + I)(a + I).

B. Eksistensi Elemen Satuan (Dipertahankan, asalkan I ≠ R)

Misal R ring dengan elemen satuan dan I ideal dari R dengan I ≠ R. Ring faktor R/I merupakan ring dengan elemen satuan.

Bukti:

Ambil sebarang a ∈ R untuk membentuk a + I ∈ R/I; perhatikan

(a + I)(1 + I) = a·1 + I = a + I.

Catatan:

Untuk kasus dimana I = R, ring faktor R/I hanya memiliki 1 anggota, yaitu R, oleh karena itu R/I merupakan ring nol yang tidak memiliki elemen satuan.

C. Ketiadaan Pembagi Nol (Tidak Dipertahankan)

Ada ring R tanpa pembagi nol, tetapi R/I memiliki pembagi nol.

Counterexample:

Ring ℤ tidak memiliki pembagi nol, dimana (∀a, b ∈ ℤ). a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 ⇒ ab ≠ 0.

Akan tetapi ℤ/6ℤ memiliki pembagi nol, pilih koset 2 + 6ℤ dan 3 + 6ℤ yang keduanya bukan koset nol, karena 0 ∉ 2 + 6ℤ dan 0 ∉ 3 + 6ℤ. Kalikan kedua koset, diperoleh:

(2 + 6ℤ)(3 + 6ℤ) = 6 + 6ℤ = 0 + 6ℤ, hasil kalinya elemen nol.

4. Proyeksi Kanonik

Misal R ring dan I ideal dari R. Fungsi f yang memetakan dari R ke R/I dengan f(a) = a + I merupakan homomorfisma ring yang bersifat surjektif.

Bukti:

• f merupakan fungsi

Ambil sebarang a, b ∈ R dengan a = b.

f(a) = a + I = b + I = f(b).

• f mengawetkan penjumlahan dan perkalian

Ambil sebarang a, b ∈ R.

f(a + b) = (a + b) + I = (a + I) + (b + I) = f(a) + f(b).

f(ab) = ab + I = (a + I)(b + I) = f(a)f(b).

Jadi, f merupakan homomorfisma ring.

• f bersifat surjektif

Ini jelas benar menurut definisi koset, dimana untuk membentuk koset a + I diharuskan a ∈ R.

Jadi, f bersifat surjektif.

Tambahan:

Fungsi f ini disebut sebagai Proyeksi Kanonik.

5. Pembentukan Ring Faktor yang Merupakan Field / Daerah Integral

A. Pembentukan Ring Faktor yang Merupakan Field

Misalkan R adalah ring komutatif dengan elemen satuan dan I ideal di dalam R. Ideal I maksimal jika dan hanya jika R/I field.

Bukti:

• Jika I ideal maksimal maka R/I field

Diberikan R ring komutatif dengan elemen satuan dan I ideal maksimal, jelas bahwa I ≠ R.

Oleh karena itu R/I ring komutatif dengan elemen satuan, dimana elemen nol R/I adalah 0 + I dan elemen satuan R/I adalah 1 + I.

Ambil sebarang elemen taknol dalam R/I, misal a + I ≠ 0 + I, berarti a ∉ I.

Pertimbangkan ideal yang dibentuk oleh I dan a, yaitu 〈a〉 + I = {ra + i : r ∈ R, i ∈ I}.

Karena I ideal maksimal, diharuskan 〈a〉 + I = R, sehingga 1 ∈ 〈a〉 + I. Oleh karena itu, (∃r ∈ R) ∋ ra + i = 1.

Karena ra + i = 1, maka 1 + I = (ra + i) + I = ra + I = (r + I)(a + I). Ini berarti r + I merupakan invers perkalian dari a + I.

Jadi, setiap elemen taknol dalam R/I memiliki invers perkalian. Karena R/I ring komutatif dengan elemen satuan, R/I merupakan field.

• Jika R/I field maka I ideal maksimal

Misal J ideal di dalam R dengan I subset sejati dari J.

Ambil sebarang a ∈ J dengan a ∉ I, berarti a + I ≠ 0 + I, sehingga a + I bukan elemen nol R/I.

Karena R/I field dan a + I bukan elemen nol, maka a + I memiliki invers perkalian, misal b + I.

Kita peroleh 1 + I = (a + I)(b + I) = ab + I, berarti 1 – ab ∈ I ⊂ J.

Karena a ∈ J, b ∈ R, dan J ideal dari R, maka ab ∈ J.

1 – ab ∈ J dan ab ∈ J, maka 1 – ab + ab = 1 + 0 = 1 ∈ J.

Ingat kembali bahwa satu-satunya ideal dari R yang memiliki elemen satuan hanyalah R itu sendiri. Oleh karena itu, diharuskan J = R.

Jadi, satu-satunya ideal yang merupakan superset sejati dari I adalah R. Dengan kata lain, I merupakan ideal maksimal.

B. Pembentukan Ring Faktor Tanpa Pembagi Nol

Misalkan R  dan I ideal di dalam R. R/I tidak memiliki elemen nol jika dan hanya jika I ideal prima.

Bukti:

• Jika I ideal prima maka R/I tidak memiliki pembagi nol.

Ambil sebarang a, b ∈ R untuk membentuk a + I, b + I ∈ R/I.

Misal a + I dan b + I bukan elemen nol di R/I, berarti a, b ∉ I.

Karena a, b ∉ I dan I ideal prima, ab ∉ I, akibatnya ab + I bukan elemen nol di R/I.

Jadi, R/I tidak memiliki pembagi nol.

• Jika R/I tidak memiliki pembagi nol maka I ideal prima

Ambil sebarang a, b ∈ R dengan a, b ∉ I; berarti a + I dan b + I bukan elemen nol di R/I.

Karena R/I tidak memiliki pembagi nol, (a + I)(b + I) = ab + I bukan elemen nol di R/I.

Akibatnya ab ∉ I.

∴ (∀a, b ∈ R). a ∉ I ∧ ab ∉ I ⇒ ab ∉ I.

Dengan kata lain, I ideal prima.