Ring Lokalisasi

1. Bahan Pembuatan Ring Lokalisasi

A. Himpunan Tertutup Perkalian

Misal diberikan R ring komutatif dengan S ⊆ R. Himpunan S disebut tertutup terhadap perkalian di R jika berlaku:

(∀a, b ∈ S). ab ∈ S.

B. Relasi Tidal

Misal didefinisikan relasi “~” pada R × S dengan (a, s) ~ (a', s') ⇔ (∃u ∈ S) ∋ u(as' – a's) = 0, perhatikan:

• Sifat Refleksif

Diberikan sebarang (a, s) ∈ R × S, perhatikan bahwa untuk sebarang u ∈ S berlaku u(as – as) = u⋅0 = 0, ini berarti (a, s) ~ (a, s), sehingga relasi ~ bersifat refleksif.

• Sifat Simetrik

Diberikan sebarang (a, s), (a', s') ∈ R × S dengan (a, s) ~ (a', s'), berarti (∃u ∈ S) ∋ u(as' – a's) = 0 ⇔ uas' – ua' s = 0 ⇔ uas' = ua's ⇔ ua's – uas' = 0 ⇔ u(a's – as') = 0.

Ini berarti dengan u yang sama berlaku u(a's – as') = 0, sehingga (a', s') ~ (a, s). Jadi, relasi ~ bersifat simetrik.

• Sifat Transitif

Diberikan sebarang (a₁, s₁), (a₂, s₂), (a₃, s₃) ∈ R × S dengan (a₁, s₁) ~ (a₂, s₂) dan (a₂, s₂) ~ (a₃, s₃), berarti (∃u₁, u₂ ∈ S) ∋ u₁(a₁s₂ – a₂s₁) = 0 ∧ u₂(a₂s₃ – a₃s₂) = 0.

Perhatikan  u₁(a₁s₂ – a₂s₁) = 0 ⇔ u₁a₁s₂ = u₁a₂s₁, kalikan masing-masing ruas dengan u₂s₃ diperoleh:

(u₁a₁)(s₂u₂s₃) = (u₁a₂)(s₁u₂s₃) ⇔ (u₁u₂)(a₁s₂s₃) = (u₁u₂)(a₂s₁s₃) …(i)

Perhatikan u₂(a₂s₃ – a₃s₂) = 0 ⇔ u₂a₂s₃ = u₂a₃s₂, kalikan masing-masing ruas dengan u₁s₁ diperoleh:

(u₁s₁)(u₂a₂s₃) = (u₁s₁)(u₂a₃s₂) ⇔ (u₁u₂)(a₂s₁s₃) = (u₁u₂)(a₃s₁s₂) …(ii)

Dari (i) dan (ii) diperoleh (u₁u₂)(a₁s₂s₃) = (u₁u₂)(a₃s₁s₂) ⇔ (u₁u₂)(a₁s₂s₃ – a₃s₁s₂) = 0 ⇔ (u₁u₂s₂)(a₁s₃ – a₃s₁) = 0.

Karena u₁, u₂, s₂ ∈ S dan S tertutup terhadap perkalian, u₁u₂s₂ ∈ S. Ini berarti (a₁, s₃) ~ (a₃, s₁), sehingga relasi ~ bersifat transitif.

Jadi, relasi “~” merupakan relasi ekivalensi.

2. Ring Lokalisasi

A. Lokalisasi

Lokalisasi ring komutatif R pada S yang tertutup terhadap operasi perkalian di R adalah himpunan semua kelas ekivalensi S⁻¹R = {[a, s] : a ∈ R, s ∈ S}.

B. Ring Lokalisasi

Misal didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian di S⁻¹R dengan:

[a, s] + [b, t] = [at + bs, st] dan [a, s][b, t] = [ab, st].

Ambil sebarang [a, s], [b, t], [c, u] ∈ S⁻¹R, perhatikan:

• Sifat Tertutup Penjumlahan

[a, s] + [b, t] = [at + bs, st].

Karena a, b ∈ R; s, t ∈ S ⊆ R; dan R ring berlaku at + bs ∈ R.

Karena S tertutup terhadap perkalian di R, berlaku st ∈ S.

Jadi, [a, s] + [b, t] = [at + bs, st] ∈ S⁻¹R.

• Sifat Asosiatif Penjumlahan

([a, s] + [b, t]) + [c, u] = [at + bs, st] + [c, u] = [atu + bsu + stc, stu] = [atu + s(bu + ct), stu] = [a, s] + [bu + ct, tu] = [a, s] + ([b, t] + [c, u]).

• Eksistensi Identitas Penjumlahan / Elemen Nol

Pilih [0, t] ∈ S⁻¹R sehingga [a, s] + [0, t] = [at + s⋅0, st] = [at, st] = [a, s], karena (at, st) ~ (s, t).

• Eksistensi Invers Penjumlahan / Elemen Negatif

Pilih [–a, s] ∈ S⁻¹R sehingga [a, s] + [–a, s] = [as – as, s²] = [0, s²] = [0, t], karena (0, s²) ~ (0, t).

• Sifat Komutatif Penjumlahan

[a, s] + [b, t] = [at + bs, st] = [bs + at, ts] = [b, t] + [a, s].

• Sifat Tertutup Perkalian

[a, s][b, t] = [ab, st].

Karena R ring dan S tertutup terhadap perkalian di R, berlaku ab ∈ R, st ∈ S, sehingga [ab, st] ∈ S⁻¹R.

• Sifat Asosiatif Perkalian

([a, s][b, t])[c, u] = [ab, st][c, u] = [abc, stu] = [a, s][bc, tu] = [a, s]([b, t][c, u]).

• Sifat Komutatif Perkalian

[a, s][b, t] = [ab, st] = [ba, ts] = [b, t][a, s].

• Sifat Distributif Perkalian terhadap Penjumlahan

[a, s]([b, t] + [c, u]) = [a, s][bu + ct, tu] = [abu + act, stu] = [sabu + sact, s²tu] = [ab, st] + [ac, su] = [a, s][b, t] + [a, s][c, u].

Jadi, himpunan S⁻¹R dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan diatas merupakan ring komutatif.

C. Homomorfisma Standar ke Ring Lokalisasi

Misal R ring komutatif, S ⊆ R dan S tertutup terhadap perkalian di R. Didefinisikan ϕ : R → S⁻¹R dengan ϕ(a) = [as, s], perhatikan:

• ϕ merupakan fungsi

Ambil sebarang a, b ∈ R dengan a = b.

ϕ(a) = [as, s] = [bs, s] = ϕ(b).

• ϕ mengawetkan penjumlahan dan perkalian

Ambil sebarang a, b ∈ R.

ϕ(a + b) = [as + bs, s] = [as² + bs², ss] = [as, s] + [bs, s] = ϕ(a) + ϕ(b).

ϕ(ab) = [abs, s] = [abs², s²] = [as, s][bs, s] = ϕ(a)ϕ(b).

Jadi, ϕ merupakan homomorfisma ring.

3. Ring Lokalisasi Nol dan Taknol

A. Ring Lokalisasi Nol

Jika 0 ∈ S, maka S⁻¹R = {[0, s] : s ∈ S}.

Bukti:

Ambil sebarang [a, s] ∈ S⁻¹R.

Pilih t = 0 ∈ S, sehingga t(as – 0s) = 0 ⇔ (a, s) ~ (0, s) ⇔ [a, s] = [0, s].

Jadi, tidak ada anggota lain dari S⁻¹R yang bukan [0, s].

B. Eksistensi Elemen Satuan untuk Ring Lokalisasi Taknol

Jika S⁻¹R taknol, maka S⁻¹R terdapat elemen satuan.

Bukti:

Ingat kembali bahwa jika 0 ∈ S, maka S⁻¹R merupakan ring nol, sehingga tidak memiliki elemen satuan. Sekarang kita fokus untuk kasus dimana S⁻¹R bukan ring nol. Pilih [t, t] ∈ S⁻¹R, dengan t ∈ S ⊆ R, sehingga untuk sebarang [a, s] ∈ S⁻¹R berlaku [a, s][t, t] = [at, st] = [a, s], karena (at, st) ~ (a, s). Ini berarti [t, t] merupakan elemen satuan.

Contoh

1. Misal D daerah integral, lokalisasi D pada D\{0} menghasilkan field.

2. Misal R ring komutatif dengan elemen satuan dan a ∈ R. Misal didefinisikan subset S yang merupakan perpangkatan dari a, yaitu S = {1, a, a², …}. Himpunan S tertutup terhadap perkalian karena untuk aᵐ, aⁿ ∈ S berlaku aᵐaⁿ = aᵐ⁺ⁿ ∈ S. Oleh karena itu S⁻¹R merupakan ring lokalisasi.

3. Misal R ring komutatif dan P merupakan ideal prima dari R. Misal S = R\P, himpunan S tertutup terhadap perkalian, karena untuk a, b ∈ S = R\P yang mana a, b ∉ P; berlaku ab ∉ P yang mana ab ∈ S = R\P. Oleh karena itu S⁻¹R merupakan ring lokalisasi. Dalam kasus ini S⁻¹R disebut sebagai Ring Lokal R pada P.

4. Misal R = ℤₙ dengan n bilangan genap, R merupakan ring komutatif karena perkalian modular bersifat komutatif. Misal S himpunan semua elemen ganjil di R, kita peroleh S tertutup terhadap perkalian, karena perkalian modulo genap yang dikenakan pada elemen-elemen ganjil selalu menghasilkan elemen ganjil. Oleh karena itu S⁻¹R merupakan ring lokalisasi.