Ring Polinomial atas Field

1. Ring Polinomial atas Field

A. Sifat Bawaan Field ke Ring Polinomial

Misal F field, maka F ring komutatif dengan elemen satuan dan tanpa pembagi nol, sehingga F[x] merupakan ring komutatif dengan elemen satuan tanpa pembagi nol.

Secara bawaan, ring polinomial atas field memiliki sifat berikut:

• Komutatif

• Memiliki elemen satuan

• Tidak memiliki pembagi nol

Oleh karena itu, F[x] merupakan daerah integral.

B. Invers Perkalian

Misal F field dan f(x) polinomial di F[x]. Pertimbangkan bahwa deg(1) = 0, karena 1 merupakan polinom konstan. Misal deg(f) = n. Dikarenakan F[x] tidak memiliki pembagi nol, berlaku deg(fg) = deg(f) + deg(g), sehingga agar g(x) merupakan invers untuk f(x) diharuskan:

deg(g) = deg(1) – deg(f) = 0 – n = –n

Pertimbangkan bahwa derajat polinom tidak boleh negatif, sehingga satu-satunya n yang dibolehkan adalah n = 0, sehingga f(x) merupakan polinom konstan, tentunya f(x) bukan polinom nol.

Jadi, agar f(x) memiliki invers perkalian diharuskan f(x) polinom konstan taknol. Oleh karena itu polinom non-konstan tidak memiliki invers perkalian. Akibatnya F[x] bukan field.

2. Ring Euclid pada Ring Polinomial atas Field

Misal F field, ingat kembali bahwa F[x] merupakan ring komutatif tanpa pembagi nol. Selanjutnya misal didefinisikan fungsi d : F[x] → ℕ ∪ {0} dengan d(f) = deg(f).

• Derajat untuk polinom nol

deg(0) = 0 karena 0 polinom konstan.

• Derajat hasil kali

Untuk sebarang f(x) dan g(x) di F[x] berlaku:

deg(fg) = deg(f) + deg(g) ≥ deg(f), ini benar karena deg(g) ≥ 0.

• Algoritma Pembagian

Karena F field, setiap polinom tak konstan dapat dipastikan koefisien tertingginya merupakan unit, sehingga pembagian f(x) oleh p(x) selalu dapat dinyatakan:

f(x) = h(x)p(x) + s(x), dengan s(x) = 0 atau deg(s) < deg(p)

Sedangkan pembagian f(x) oleh polinom konstan taknol selalu tanpa sisa.

Oleh karena itu fungsi derajat merupakan fungsi penilaian Euclid, sehingga F[x] dengan fungsi derajat merupakan ring Euclid.

3. Faktorisasi pada Ring Polinomial atas Field

Misal F field, maka F[x] merupakan ring Euclid ⇒ ring ideal utama ⇒ daerah faktorisasi unik.

Setiap polinom f(x) ∈ F[x] dapat difaktorkan menjadi hasil kali berhingga polinom iredusibel.

4. Teorema Sisa dan Teorema Faktor

A. Teorema Sisa (Remainder Theorem)

Misal F field, dan f(x) ∈ F[x]. Sisa hasil bagi f(x) oleh polinom x – a adalah f(a).

B. Teorema Faktor

Misal F field, dan f(x) ∈ F[x]. Polinom f(x) terbagi habis oleh x – a jika dan hanya jika f(a) = 0.

Dalam hal ini, a disebut sebagai akar dari f(x) dan x – a disebut sebagai faktor dari f(x).

C. Faktor Khusus

Misal F field, dan f(x) ∈ F[x].

• f(x) terbagi habis oleh x – 1 jika dan hanya jika jumlah seluruh koefisien f(x) adalah 0.

• f(x) terbagi habis oleh x + 1 jika dan hanya jika jumlah koefisien suku-suku berpangkat ganjil sama dengan jumlah koefisien suku-suku berpangkat genap.