Ring Polinomial

1. Konsep Dasar Polinomial

A. Bentuk Umum

Polinomial adalah bentuk aljabar yang terdiri dari variabel, konstanta, dan eksponen (pangkat). Bentuk umum suku banyak berderajat n adalah:

f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + aₙ₋₂xⁿ⁻² + ... + a₂x² + a₁x + a₀   dengan aₙ ≠ 0

Keterangan:

n: Derajat polinom, sama dengan pangkat tertingginya. Dalam hal ini deg(f) = n.

a₀, a₁, a₂, ..., aₙ: Koefisien-koefisien polinom

a₀: Konstanta

Kasus Khusus:

• Polinom yang hanya terdiri dari 1 suku disebut mononom.

• Polinom yang hanya terdiri dari konstanta disebut polinom konstan.

• Polinom yang koefisien pangkat tertingginya adalah 1 disebut polinom monik.

• Polinom yang FPB dari semua koefisiennya adalah 1 disebut polinom primitif.

B. Penjumlahan dan Pengurangan

Menjumlahkan atau mengurangkan antarkoefisien suku-suku yang mempunya variabel berpangkat sama.

Contoh:

Diberikan p(x) = 6x³ − 8x² + 7x + 10 dan q(x) = 10x² + 11x − 13. Tentukan jumlah p(x) dan q(x).

p(x) + q(x) = (6x³ − 8x² + 7x + 10) + (10x² + 11x − 13)

= 6x³ + (−8x² + 10x²) + (7x + 11x) + (10 − 13)  // Mengelompokkan suku-suku sejenis

= 6x³ + (−8 + 10)x² + (7 + 11)x + (−3)          // Menggabungkan koefisien suku sejenis

= 6x³ + 2x² + 18x − 3

Jadi, jumlah p(x) dan q(x) adalah 6x³ + 2x² + 18x − 3.

C. Perkalian

Mengalikan antarkoefisien suku-suku yang mempunya variabel berpangkat sama dengan menggunakan metode distributif.

Contoh:

Diberikan f(x) = x³ + x² − 3x + 1 dan g(x) = x³ − 2x² + 2x − 1. Tentukan hasil perkalian f(x) dan g(x), yaitu f(x) · g(x)

f(x) · g(x) = (x³ + x² − 3x + 1) · (x³ − 2x² + 2x − 1)

= x³(x³ − 2x² + 2x − 1) + x²(x³ − 2x² + 2x − 1) − 3x(x³ − 2x² + 2x − 1) + 1(x³ − 2x² + 2x − 1)

= x⁶ − 2x⁵ + 2x⁴ − x³ + x⁵ − 2x⁴ + 2x³ − x² − 3x⁴ + 6x³ − 6x² + 3x + x³ − 2x² + 2x − 1

= x⁶ + (−2x⁵ + x⁵) + (2x⁴ − 2x⁴ − 3x⁴) + (−x³ + 2x³ + 6x³ + x³) + (−x² − 6x² − 2x²) + (3x + 2x) − 1

= x⁶ + (−2 − 1)x⁵ + (2 − 2 − 3)x⁴ + (−1 + 2 + 6 + 1)x³ + (−1 − 6 − 2)x² + (3 + 2)x − 1

= x⁶ − 3x⁵ − 3x⁴ + 8x³ − 9x² + 5x − 1

Jadi, f(x) · g(x) = x⁶ − 3x⁵ − 3x⁴ + 8x³ − 9x² + 5x − 1.

2. Ring Polinomial

A. Polinom dengan Koefisien Anggota Ring

Misal R ring, dibentuk himpunan R[x] yang berisikan semua polinom dengan bentuk:

p(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + aₙ₋₂xⁿ⁻² + ... + a₂x² + a₁x + a₀   dengan aₙ ≠ 0

dan a₀, a₁, a₂, ..., aₙ ∈ R, sedangkan x variabel sebarang.

Keterangan:

n: Derajat suku banyak, sama dengan pangkat tertingginya

a₀, a₁, a₂, ..., aₙ: Koefisien-koefisien suku banyak

a₀: Konstanta

B. Ring oleh R[x]

Misal R ring dan x variabel sebarang, diperoleh R[x] dengan penjumlahan dan perkalian polinom merupakan ring.

Bukti:

Misal diberikan sebarang polinom p(x), q(x), dan r(x) ∈ R[x]:

dengan a₀, a₁, a₂, ..., aₗ, b₀, b₁, b₂, ..., bₘ, c₀, c₁, c₂, ..., cₙ ∈ R dan aₗ, bₘ, cₙ ≠ 0.

Perhatikan:

• Sifat tertutup penjumlahan

karena semua koefisiennya anggota R, jumlahnya juga anggota R, sehingga p(x) + q(x) ∈ R[x].

• Sifat asosiatif penjumlahan

• Eksistensi identitas penjumlahan

Pilih o(x) = 0, sehingga p(x) + o(x) = aₗxˡ + ... + a₂x² + a₁x + a₀ + 0 = aₗxˡ + ... + a₂x² + a₁x + a₀ = p(x).

Jadi, o(x) merupakan identitas penjumlahan di R[x].

• Eksistensi invers penjumlahan

Pilih –p(x) = –aₗxˡ – ... – a₂x² – a₁x – a₀ sehingga:

p(x) + [–p(x)] = aₗxˡ + ... + a₂x² + a₁x + a₀ –aₗxˡ – ... – a₂x² – a₁x – a₀ = 0xˡ + ... + 0x² + 0x + 0 = 0 = o(x).

Jadi, –p(x) merupakan invers penjumlahan untuk p(x).

• Sifat komutatif penjumlahan

• Sifat tertutup perkalian

karena semua koefisiennya anggota R, jumlah dan hasil kalinya juga anggota R, sehingga p(x)q(x) ∈ R[x].

• Sifat asosiatif perkalian

• Sifat distributif

Jadi, R[x] dengan operasi penjumlahan dan perkalian polinomial merupakan ring.
Ring R[x] ini disebut sebagai ring polinomial atas ring R.

C. Ring Polinomial Multivariabel

Untuk ring polinom dengan multivariabel R[x₁, x₂, ..., xₙ], bisa dipastikan memiliki ideal tak-utama, bentuk paling sederhananya adalah:

I = {x₁f₁(x₁, x₂) + x₂f₂(x₁, x₂) : f₁(x₁, x₂), f₂(x₁, x₂) ∈ R[x₁, x₂, ..., xₙ]}.

Ideal I ini memerlukan 2 elemen pembangun, yaitu x₁ dan x₂, sehingga ideal I tak-utama.

Oleh karena itu, ring polinom dengan multivariabel bukan ring ideal utama.

3. Sifat-Sifat yang Dipertahankan oleh Ring Polinomial

A. Eksistensi Elemen Satuan

Misal R ring dengan elemen satuan. Polinom i(x) = 1 merupakan elemen satuan di R[x], dimana untuk p(x) = aₗxˡ + ... + a₂x² + a₁x + a₀:

i(x)p(x) = 1(aₗxˡ + ... + a₂x² + a₁x + a₀) = aₗxˡ + ... + a₂x² + a₁x + a₀ = p(x).

Jadi, untuk R ring dengan elemen satuan, R[x] juga ring dengan elemen satuan.

B. Sifat Komutatif Perkalian

Misal R ring komutatif dan diberikan sebarang polinom p(x) dan q(x) di R[x]:

p(x) = aₗxˡ + ... + a₂x² + a₁x + a₀, q(x) = bₘxᵐ + ... + b₂x² + b₁x + b₀

Kalikan

Jadi, untuk R ring komutatif, R[x] juga ring komutatif.

C. Tidak Ada Pembagi Nol
Misal R ring tanpa pembagi nol, dan diberikan sebarang polinom polinom p(x) dan q(x) di R[x]:

p(x) = aₗxˡ + ... + a₂x² + a₁x + a₀; q(x) = bₘxᵐ + ... + b₂x² + b₁x + b₀; jelas bahwa aₗ ≠ 0, bₘ ≠ 0.

Suku tertinggi dari p(x)q(x) adalah aₗbₘxˡ⁺ᵐ, karena R tidak memiliki pembagi nol, aₗbₘ ≠ 0.

Akibatnya p(x)q(x) bukan polinom nol.

Jadi, untuk R ring tanpa pembagi nol, R[x] juga ring tanpa pembagi nol.

Tambahan:

• Dikarenakan sifat-sifat yang dipertahankan, ring polinomial atas daerah integral juga merupakan daerah integral.

• Kasus untuk p(x)q(x) dengan aₗbₘ ≠ 0 berlaku deg(pq) = deg(p) + deg(q).

D. Daerah Faktorisasi Unik

Ring polinomial atas daerah faktorisasi unik merupakan daerah faktorisasi unik, baik itu ring polinomial satu variabel maupun ring polinomial multivariabel.

4. Algoritma Pembagian Polinom

Misal f(x) polinom di R[x] dan p(x) polinom di R[x] dengan koefisien tertinggi p(x) merupakan unit. Kita dapat melakukan algoritma pembagian:

f(x) = h(x)·p(x) + s(x) dengan s(x) = 0 atau deg(s) < deg(p).

Dalam hal ini p(x) merupakan pembagi, h(x) merupakan hasil bagi, dan s(x) merupakan sisa.

deg(h) = deg(f) – deg(p).

Contoh pembagian polinom:

Misal di dalam ℤ₆[x] diberikan polinom f(x) = 2x³ + 3x² + x + 4 dibagi dengan p(x) = 5x² + 2x + 1.

Diperoleh 2x³ + 3x² + x + 4 = (4x + 5)(5x² + 2x + 1) + 5x + 5

h(x) = 4x + 5 dan s(x) = 5x + 5.

5. Redusibilitas

A. Polinom Iredusibel

Polinom iredusibel adalah polinom tak konstan yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua polinom yang derajatnya lebih rendah darinya.

Contoh:

1. Polinom berderajat kurang dari 2 pasti iredusibel.

2. Polinom f(x) = x² + 1 di ℝ[x] iredusibel, akan tetapi f(x) = x² + 1 di ℂ[x] redusibel menjadi (x + i)(x – 1).

B. Polinom Redusibel

Sebaliknya, polinom redusibel adalah polinom yang dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua polinom yang derajatnya lebih rendah darinya.

Contoh:

1. Polinom f(x) = x² – 1 di ℝ[x] redusibel menjadi (x + 1)(x – 1).

2. Polinom f(x) = x² + 1 di ℤ₅[x] redusibel menjadi (x + 2)(x + 3).

C. Faktorisasi Unik Polinom Primitif

Misal D daerah faktorisasi unik dan p(x) ∈ D[x] merupakan polinom primitif. Polinom p(x) dapat difaktorkan secara unik sebagai hasil kali polinom-polinom iredusibel dalam D[x].

D. Lemma Gauss

Hasil kali sesama polinom primitif adalah polinom primitif.