Ring Polinomial

1. Konsep Dasar Polinomial

A. Bentuk Umum

Polinomial adalah bentuk aljabar yang terdiri dari variabel, konstanta, dan eksponen (pangkat). Bentuk umum suku banyak berderajat n adalah:

f(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + aₙ₋₂xⁿ⁻² + ... + a₂x² + a₁x + a₀   dengan aₙ ≠ 0

Keterangan:

n: Derajat polinom, sama dengan pangkat tertingginya. Dalam hal ini deg(f) = n.

a₀, a₁, a₂, ..., aₙ: Koefisien-koefisien polinom

a₀: Konstanta

Kasus Khusus:

• Polinom yang hanya terdiri dari 1 suku disebut mononom.

• Polinom yang hanya terdiri dari konstanta disebut polinom konstan.

• Polinom yang koefisien pangkat tertingginya adalah 1 disebut polinom monik.

B. Penjumlahan dan Pengurangan

Menjumlahkan atau mengurangkan antarkoefisien suku-suku yang mempunya variabel berpangkat sama.

Contoh:

Diberikan p(x) = 6x³ − 8x² + 7x + 10 dan q(x) = 10x² + 11x − 13. Tentukan jumlah p(x) dan q(x).

p(x) + q(x) = (6x³ − 8x² + 7x + 10) + (10x² + 11x − 13)

= 6x³ + (−8x² + 10x²) + (7x + 11x) + (10 − 13)  // Mengelompokkan suku-suku sejenis

= 6x³ + (−8 + 10)x² + (7 + 11)x + (−3)          // Menggabungkan koefisien suku sejenis

= 6x³ + 2x² + 18x − 3

Jadi, jumlah p(x) dan q(x) adalah 6x³ + 2x² + 18x − 3.

C. Perkalian

Mengalikan antarkoefisien suku-suku yang mempunya variabel berpangkat sama dengan menggunakan metode distributif.

Contoh:

Diberikan f(x) = x³ + x² − 3x + 1 dan g(x) = x³ − 2x² + 2x − 1. Tentukan hasil perkalian f(x) dan g(x), yaitu f(x) · g(x)

f(x) · g(x) = (x³ + x² − 3x + 1) · (x³ − 2x² + 2x − 1)

= x³(x³ − 2x² + 2x − 1) + x²(x³ − 2x² + 2x − 1) − 3x(x³ − 2x² + 2x − 1) + 1(x³ − 2x² + 2x − 1)

= x⁶ − 2x⁵ + 2x⁴ − x³ + x⁵ − 2x⁴ + 2x³ − x² − 3x⁴ + 6x³ − 6x² + 3x + x³ − 2x² + 2x − 1

= x⁶ + (−2x⁵ + x⁵) + (2x⁴ − 2x⁴ − 3x⁴) + (−x³ + 2x³ + 6x³ + x³) + (−x² − 6x² − 2x²) + (3x + 2x) − 1

= x⁶ + (−2 − 1)x⁵ + (2 − 2 − 3)x⁴ + (−1 + 2 + 6 + 1)x³ + (−1 − 6 − 2)x² + (3 + 2)x − 1

= x⁶ − 3x⁵ − 3x⁴ + 8x³ − 9x² + 5x − 1

Jadi, f(x) · g(x) = x⁶ − 3x⁵ − 3x⁴ + 8x³ − 9x² + 5x − 1.

2. Ring Polinomial

A. Polinom dengan Koefisien Anggota Ring

Misal R ring, dibentuk himpunan R[x] yang berisikan semua polinom dengan bentuk:

p(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + aₙ₋₂xⁿ⁻² + ... + a₂x² + a₁x + a₀   dengan aₙ ≠ 0

dan a₀, a₁, a₂, ..., aₙ ∈ R, sedangkan x variabel sebarang.

Keterangan:

n: Derajat suku banyak, sama dengan pangkat tertingginya

a₀, a₁, a₂, ..., aₙ: Koefisien-koefisien suku banyak

a₀: Konstanta

B. Ring oleh R[x]

Misal R ring dan x variabel sebarang, diperoleh R[x] dengan penjumlahan dan perkalian polinom merupakan ring.

Bukti:

Misal diberikan sebarang polinom p(x), q(x), dan r(x) ∈ R[x]:

dengan a₀, a₁, a₂, ..., aₗ, b₀, b₁, b₂, ..., bₘ, c₀, c₁, c₂, ..., cₙ ∈ R dan aₗ, bₘ, cₙ ≠ 0.

Perhatikan:

• Sifat tertutup penjumlahan

karena semua koefisiennya anggota R, jumlahnya juga anggota R, sehingga p(x) + q(x) ∈ R[x].

• Sifat asosiatif penjumlahan

• Eksistensi identitas penjumlahan

Pilih o(x) = 0, sehingga p(x) + o(x) = aₗxˡ + ... + a₂x² + a₁x + a₀ + 0 = aₗxˡ + ... + a₂x² + a₁x + a₀ = p(x).

Jadi, o(x) merupakan identitas penjumlahan di R[x].

• Eksistensi invers penjumlahan

Pilih –p(x) = –aₗxˡ – ... – a₂x² – a₁x – a₀ sehingga:

p(x) + [–p(x)] = aₗxˡ + ... + a₂x² + a₁x + a₀ –aₗxˡ – ... – a₂x² – a₁x – a₀ = 0xˡ + ... + 0x² + 0x + 0 = 0 = o(x).

Jadi, –p(x) merupakan invers penjumlahan untuk p(x).

• Sifat komutatif penjumlahan

• Sifat tertutup perkalian

karena semua koefisiennya anggota R, jumlah dan hasil kalinya juga anggota R, sehingga p(x)q(x) ∈ R[x].

• Sifat asosiatif perkalian

• Sifat distributif

Jadi, R[x] dengan operasi penjumlahan dan perkalian polinomial merupakan ring.
Ring R[x] ini disebut sebagai ring polinomial atas ring R.

3. Sifat-Sifat yang Dipertahankan oleh Ring Polinomial

A. Eksistensi Elemen Satuan

Misal R ring dengan elemen satuan. Polinom i(x) = 1 merupakan elemen satuan di R[x], dimana untuk p(x) = aₗxˡ + ... + a₂x² + a₁x + a₀:

i(x)p(x) = 1(aₗxˡ + ... + a₂x² + a₁x + a₀) = aₗxˡ + ... + a₂x² + a₁x + a₀ = p(x).

Jadi, untuk R ring dengan elemen satuan, R[x] juga ring dengan elemen satuan.

B. Sifat Komutatif Perkalian

Misal R ring komutatif dan diberikan sebarang polinom p(x) dan q(x) di R[x]:

p(x) = aₗxˡ + ... + a₂x² + a₁x + a₀, q(x) = bₘxᵐ + ... + b₂x² + b₁x + b₀

Kalikan

Jadi, untuk R ring komutatif, R[x] juga ring komutatif.

C. Tidak Ada Pembagi Nol
Misal R ring tanpa pembagi nol, dan diberikan sebarang polinom polinom p(x) dan q(x) di R[x]:

p(x) = aₗxˡ + ... + a₂x² + a₁x + a₀; q(x) = bₘxᵐ + ... + b₂x² + b₁x + b₀; jelas bahwa aₗ ≠ 0, bₘ ≠ 0.

Suku tertinggi dari p(x)q(x) adalah aₗbₘxˡ⁺ᵐ, karena R tidak memiliki pembagi nol, aₗbₘ ≠ 0.

Akibatnya p(x)q(x) bukan polinom nol.

Jadi, untuk R ring tanpa pembagi nol, R[x] juga ring tanpa pembagi nol.

Tambahan:

• Dikarenakan sifat-sifat yang dipertahankan, ring polinomial atas daerah integral juga merupakan daerah integral.

• Kasus untuk p(x)q(x) dengan aₗbₘ ≠ 0 berlaku deg(pq) = deg(p) + deg(q).

4. Algoritma Pembagian Polinom

Misal f(x) polinom di R[x] dan p(x) polinom di R[x] dengan koefisien tertinggi p(x) merupakan unit. Kita dapat melakukan algoritma pembagian:

f(x) = h(x)·p(x) + s(x) dengan s(x) = 0 atau deg(s) < deg(p).

Dalam hal ini p(x) merupakan pembagi, h(x) merupakan hasil bagi, dan s(x) merupakan sisa.

deg(h) = deg(f) – deg(p).

Contoh pembagian polinom:

Misal di dalam ℤ₆[x] diberikan polinom f(x) = 2x³ + 3x² + x + 4 dibagi dengan p(x) = 5x² + 2x + 1.

Diperoleh 2x³ + 3x² + x + 4 = (4x + 5)(5x² + 2x + 1) + 5x + 5

h(x) = 4x + 5 dan s(x) = 5x + 5.

5. Redusibilitas

A. Polinom Iredusibel

Polinom iredusibel adalah polinom tak konstan yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua polinom yang derajatnya lebih rendah darinya.

Contoh:

1. Polinom berderajat kurang dari 2 pasti iredusibel.

2. Polinom f(x) = x² + 1 di ℝ[x] iredusibel, akan tetapi f(x) = x² + 1 di ℂ[x] redusibel menjadi (x + i)(x – 1).

B. Polinom Redusibel

Sebaliknya, polinom redusibel adalah polinom yang dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua polinom yang derajatnya lebih rendah darinya.

Contoh:

1. Polinom f(x) = x² – 1 di ℝ[x] redusibel menjadi (x + 1)(x – 1).

2. Polinom f(x) = x² + 1 di ℤ₅[x] redusibel menjadi (x + 2)(x + 3).