Teorema Isomorfisma Ring

1. Eksistensi Homomorfisma ke Ring Faktor

Untuk setiap ring faktor R/S dari R, terdapat epimorfisma ring dari R ke R/S.

Bukti:

Misal S sebarang ideal dari R, kita dapat mendefinisikan fungsi f dari R ke R/S sebagai berikut:

f(a) = a + S, perhatikan:

• f mempertahankan penjumlahan dan perkalian

Ambil sebarang a, b ∈ R.

f(a + b) = (a + b) + S = (a + S) + (b + S) = f(a) + f(b)

f(ab) = ab + S = (a + S)(b + S) = f(a)f(b)

• f bersifat surjektif

Ambil sebarang a + S ∈ R/S, dapat dipilih a ∈ R sehingga f(a) = a + S.

Jadi, f merupakan homomorfisma ring yang bersifat surjektif (epimorfisma).

2. Teorema Isomorfisma Ring 1

Misal f homomorfisma ring dari R ke S, berlaku R/ker(f) ≅ f(R).

Bukti:

Misal f homomorfisma ring dari R ke S, ingat bahwa ker(f) merupakan ideal dari R dan f(R) subring dari S. Untuk memudahkan penulisan, kita misalkan ker(f) = I dan f(R) = R'.

Misal didefinisikan fungsi ϕ : R/I → R' dengan ϕ(a + I) = f(a).

• ϕ mempertahankan penjumlahan dan perkalian

Ambil sebarang a + I, b + I ∈ R/I.

ϕ[(a + I) + (b + I)] = ϕ[(a + b) + I] = f(a + b) = f(a) + f(b) = ϕ(a + I) + ϕ(b + I).

ϕ[(a + I)·(b + I)] = ϕ[ab + I] = f(ab) = f(a)·f(b) = ϕ(a + I)·ϕ(b + I).

• ϕ injektif

Ambil sebarang a + I, b + I ∈ R/I dengan ϕ(a + I) = ϕ(b + I).

ϕ(a + I) = ϕ(b + I) ⇔ f(a) = f(b) ⇔ 0 = f(a) – f(b) = f(a – b) ⇔ a – b ∈ I ⇔ a + I = b + I.

• ϕ surjektif

Ambil sebarang a' ∈ R', jelas (∃a ∈ R) ∋ a' = f(a) = ϕ(a + I).

Jadi, ϕ merupakan isomorfisma ring, sehingga R/ker(f) = R/I ≅ R' = f(R).

3. Teorema Isomorfisma Ring 2

Misal S dan T keduanya ideal dari R dan S ⊆ T, berlaku R/T ≅ (R/S)/(T/S).

Bukti:

S dan T keduanya ideal dari R, maka R/T dan R/S merupakan ring faktor.

• S ideal dari T

S dan T merupakan ring dan S ⊆ T, maka S subring dari T.

Ambil sebarang s ∈ S dan t ∈ T ⊆ R, maka st ∈ S dan ts ∈ S. Jadi, S ideal dari T, sehingga T/S merupakan ring faktor.

• T/S ideal dari R/S

Ambil sebarang t + S ∈ T/S, maka t ∈ T ⊆ R, sehingga t + S ∈ R/S. Jadi, T/S ⊆ R/S.

Karena T/S merupakan ring, operasi pengurangan di dalamnya bersifat tertutup.

Ambil sebarang t + S ∈ T/S ⊆ R/S dan r + S ⊆ R/S, berlaku:

(t + S)(r + S) = tr + S, karena t ∈ T, r ∈ R, dan T ideal, tr ∈ T, sehingga tr + S ∈ T/S.

(r + S)(t + S) = rt + S, karena t ∈ T, r ∈ R, dan T ideal, rt ∈ T, sehingga rt + S ∈ T/S.

Jadi, T/S merupakan ideal dari R/S, sehingga (R/S)/(T/S) merupakan ring faktor.

• Fungsi dari R/S ke R/T

Misal didefinisikan fungsi f : R/S → R/T dengan f(a + S) = a + T.

• f homorfisma ring

Ambil sebarang a + S, b + S ∈ R/S.

f[(a + S) + (b + S)] = f[(a + b) + S] = (a + b) + T = (a + T) + (b + T) = f(a + S) + f(b + S).

f[(a + S)·(b + S)] = f[ab + S] = ab + T = (a + T)·(b + T) = f(a + S)·f(b + S).

Jadi, f merupakan homomorfisma ring.

• f surjektif

Ambil sebarang a + T ∈ R/T, jelas a ∈ R, sehingga dapat dibentuk koset a + S, diperoleh f(a + S) = a + T.

Jadi, f surjektif, dengan kata lain range f adalah R/T.

• Kernel f

ker(f) = {a + S ∈ R/S : f(a + S) = 0 + T}.

Agar f(a + S) = 0 + T, diharuskan a ∈ T, sehingga a + S ∈ T/S.

Jadi, ker(f) = T/S.

Menurut teorema isomorfisma ring 1, berlaku (R/S)/(T/S) = (R/S)/ker(f) ≅ f(R/S) = R/T.

4. Teorema Isomorfisma Ring 3

Misal diberikan ring R dengan I ideal dari R dan S subring dari R, berlaku (S + I)/I ≅ S/(S ∩ I).

Bukti:

• S + I subring R

S + I = {s + i : s ∈ S, i ∈ I}.

Jelas bahwa S + I ⊆ R.

Untuk sebarang (s₁ + i₁), (s₂ + i₂) ∈ S + I berlaku:

(s₁ + i₁) – (s₂ + i₂) = (s₁ – s₂) + (i₁ – i₂) ∈ S + I. Ini benar karena S dan I merupakan ring, berakibat tertutup terhadap pengurangan.

(s₁ + i₁)(s₂ + i₂) = s₁s₂ + s₁i₂ + i₁s₂ + i₁i₂ ∈ S + I, karena s₁s₂ ∈ S dan s₁i₂ + i₁s₂ + i₁i₂ ∈ I.

Jadi, S + I subring dari R.

• I ideal dari S + I

Jelas bahwa I ⊆ R karena (∀i ∈ I). i = 0 + i dan 0 ∈ S, sehingga i ∈ S + I.

I merupakan ring, sehingga I subring dari S + I.

Untuk sebarang s + i ∈ S + I ⊆ R dan j ∈ I, berlaku (s + i)j ∈ I dan j(s + i) ∈ I.

Jadi, I ideal dari S + I, sehingga (S + I)/I merupakan ring faktor.

• S ∩ I ideal dari S

Jelas bahwa S ∩ I ⊆ S.

Ambil sebarang t₁, t₂ ∈ S ∩ I, berarti t₁, t₂ ∈ S ∧ t₁, t₂ ∈ I. Karena S dan I merupakan ring, tertutup pengurangan, sehingga t₁ – t₂ ∈ S ∧ t₁ – t₂ ∈ I. Dengan kata lain t₁ – t₂ ∈ S ∩ I.

Ambil sebarang s ∈ S ⊆ R dan t ∈ S ∩ I. Karena S ring dan I ideal dari R, berakibat st ∈ S ∩ I dan ts ∈ S ∩ I.

Jadi, S ∩ I ideal dari S, sehingga S/(S ∩ I) merupakan ring faktor.

• Fungsi dari S ke (S + I)/I

Misal didefinisikan fungsi f : S → (S + I)/I dengan f(a) = a + I.

• f merupakan homomorfisma ring

Ambil sebarang a, b ∈ S.

f(a + b) = (a + b) + I = (a + I) + (b + I) = f(a) + f(b).

f(ab) = ab + I = (a + I)·(b + I) = f(a)·f(b).

Jadi, f merupakan homomorfisma ring.

• f bersifat surjektif

Ambil sebarang a + I ∈ (S + I)/I, berarti a ∈ S + I dan a = s + i, untuk suatu s ∈ S dan i ∈ I.

a + I = (s + i) + I = (s + I) + (i + I) = (s + I) + (0 + I) = (s + 0) + I = s + I = f(s), dengan s ∈ S.

Jadi, untuk sebarang a + I ∈ (S + I)/I selalu terdapat s ∈ S sehingga f(s) = a + I. Oleh karena itu f bersifat surjektif. Dengan kata lain, f(S) = (S + I)/I.

• Kernel f

ker(f) = {s ∈ S : f(s) = 0 + I}.

Agar f(s) = 0 + I, diharuskan s ∈ I, sehingga ker(f) = {s : s ∈ S ∧ s ∈ I} = S ∩ I.

Menurut teorema isomorfisma ring 1, S/(S ∩ I) = S/ker(f) ≅ f(S) = (S + I)/I.