Gradien, Divergensi, dan Curl

1. Gradien Medan Skalar

A. Definisi Dasar

Medan skalar adalah sebuah fungsi titik f yang memberikan nilai skalar f(P) pada setiap titik P di suatu wilayah R. Gradien dari fungsi skalar ini adalah sebuah fungsi vektor.

Dalam sistem koordinat persegi xyz, gradien dari fungsi f(x, y, z) didefinisikan sebagai:

∇f = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂F/∂z)k 

Simbol ∇ (nabla) atau grad digunakan untuk menyatakan operasi ini. Gradien bersifat invarian, artinya hasil vektornya akan tetap sama meskipun kita memutar atau menggeser sistem koordinat yang digunakan.

B. Laju Perubahan Maksimum

• Laju perubahan u = f(P) pada titik tertentu dalam arah tertentu sama dengan komponen gradien pada arah tersebut.

• Jika ∇u ≠ 0, maka arah gradien adalah arah di mana laju peningkatan u paling besar.

C. Hubungan dengan Permukaan Level

Pada setiap titik di mana gradien tidak bernilai nol, vektor gradien akan tegak lurus (normal) terhadap permukaan level (u = u₀) yang melalui titik tersebut.

2. Divergensi Medan Vektor

A. Definisi Dasar

Misalkan F adalah sebuah medan vektor dengan komponen-komponen yang dapat didiferensialkan:

F = F₁(x, y, z)i + F₂(x, y, z)j + F₃(x, y, z)k

Divergensi dari medan vektor F, yang dilambangkan dengan div F, didefinisikan sebagai fungsi skalar:

div F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

B. Fluida

Jika F mewakili kecepatan fluida, maka ∇ · F pada titik (x, y, z) adalah laju ekspansi fluida tersebut. Jika ∇ · F > 0, titik tersebut adalah source (sumber). Jika ∇ · F < 0, titik tersebut adalah sink (sumur).

C. Sifat Invariansi

Ekspresi divergensi di atas bersifat skalar invarian. Artinya, nilai divergensi tidak berubah meskipun dilakukan rotasi atau translasi pada sistem koordinat (gerak tegar). Nilai yang diperoleh pada sistem xyz akan sama dengan nilai pada sistem x'y'z' yang diputar.

D. Notasi Operator Del (∇)

Divergensi sering dituliskan menggunakan operator diferensial vektor ∇ (del):

∇ = i(∂/∂x) + j(∂/∂y) + k(∂/∂z)

Sehingga divergensi dapat dinyatakan sebagai hasil kali titik (dot product) antara operator ∇ dan vektor F:

div F = ∇ · F 

E. Medan Solenoidal / Inkompresibel

Medan vektor disebut solenoidal (inkompresibel) jika divergensinya bernilai nol di setiap titik (div F = 0). Contoh:

• Medan gaya yang mengikuti hukum kuadrat terbalik (seperti medan gravitasi atau elektrostatik) bersifat solenoidal di luar titik sumbernya.

• Medan kecepatan fluida yang tak termampatkan (incompressible) dalam keadaan tunak (steady state).

F. Laplasian (∇²) dan Persamaan Laplace

Divergensi dari gradien suatu medan skalar u menghasilkan operator yang sangat penting dalam matematika terapan, yaitu Laplacian:

div(grad u) = ∇ · ∇u = ∇²u = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²

Persamaan di mana Laplasian bernilai nol disebut Persamaan Laplace, yaitu ∇²u = 0.

Contoh:

1. Medan Elektrostatik

Untuk medan yang dihasilkan oleh muatan positif satuan: E = (1/r³) OP = (x/r³)i + (y/r³)j + (z/r³)k.

Komponen-komponennya adalah E₁ = x/r³, E₂ = y/r³, E₃ = z/r³.

Perhatikan r² = x² + y² + z² ⇒ 2r(∂r/∂x) = 2x ⇔ ∂r/∂x = x/r.

∂E₁/∂x = [r³ – 3r²x(∂r/∂x)]/r⁶ = [r³ – 3rx²]/r⁶ = (r² – 3x²)/r⁵.

Secara analog, akan diperoleh ∂E₂/∂y = (r² – 3y²)/r⁵, ∂E₃/∂z = (r² – 3z²)/r⁵

Setelah dilakukan penurunan parsial terhadap komponen E₁, E₂, E₃, diperoleh:

div E = ∂E₁/∂x + ∂E₂/∂y + ∂E₃/∂z = [3r² – 3(x² + y² + z²)]/r⁵ = 0 (untuk semua titik kecuali di titik asal O).

2. Potensial Dipol

Untuk potensial V dari sebuah dipol, medan listriknya adalah E = –∇V. Medan ini memenuhi persamaan Laplace:

∇ · E = –∇²V = 0

3. Curl Medan Vektor

A. Definisi Dasar

Curl adalah operasi pada medan vektor yang mengukur kecenderungan vektor tersebut untuk "berputar" di sekitar suatu titik. Jika diberikan medan vektor:

F = F₁(x, y, z)i + F₂(x, y, z)j + F₃(x, y, z)k 

Secara formal, curl F didefinisikan melalui perkalian silang (cross product) antara operator del (∇) dan vektor F:

curl F = ∇ × F 

Dalam bentuk determinan matriks, ini dituliskan sebagai:

Jika determinan di atas dijabarkan, maka komponen-komponen dari curl F adalah:

∇ × F = (∂F₃/∂y – ∂F₂/∂z)i + (∂F₁/∂z – ∂F₃/∂x)j + (∂F₂/∂x – ∂F₁/∂y)k 

B. Medan Irrotational / Konservatif

Sebuah medan vektor disebut irrotational jika curl-nya bernilai nol di mana-mana (∇ × F = 0).

• Dalam hidrodinamika, ini mendeskripsikan aliran fluida yang tidak memiliki pusaran (vortex).

• Dalam fisika gaya, medan irrotational adalah medan konservatif, di mana prinsip kekekalan energi berlaku.

• Jika F didefinisikan pada seluruh ruang dan ∇ × F = 0, maka terdapat fungsi potensial f sedemikian hingga F = ∇f.

C. Fluida

Jika F adalah medan kecepatan fluida, maka curl F searah dengan sumbu rotasi fluida, dan besarnya menunjukkan seberapa cepat fluida berputar.

D. Rotasi Benda Tegar

Jika sebuah benda tegar berputar di sekitar sumbu z dengan kecepatan sudut konstan ω, maka medan kecepatannya adalah V = ωk × OP. Perhatikan:

Hasil perhitungan menunjukkan:

∇ × V = 2ωk 

Hal ini menunjukkan bahwa curl dari medan kecepatan adalah vektor yang searah dengan sumbu rotasi dengan besar dua kali kecepatan sudutnya.

4. Identitas Khusus

A. Curl dari Gradien

Jika u adalah medan skalar, maka ∇ × (∇u) = 0. (Medan gradien selalu irrotational).

B. Divergensi dari Curl

Untuk setiap medan vektor F, berlaku ∇ · (∇ × F) = 0.

5. Medan Listrik dan Medan Magnet

A. Hukum Gauss

Divergensi mengukur kerapatan fluks vektor yang keluar dari suatu titik. Divergensi dari kerapatan fluks listrik D pada suatu titik sama dengan kerapatan muatan volume ρᵥ di titik tersebut:

div D = ∇ · D = ρᵥ

Sifat-Sifat Penting:

Medan Listrik Statis: Memiliki divergensi yang tidak nol di lokasi di mana terdapat muatan listrik. Muatan positif bertindak sebagai sumber (source), muatan negatif sebagai sink.

Medan Magnet (Hukum Gauss untuk Magnetisme): Divergensi dari kerapatan fluks magnet B selalu nol:

div B = ∇ · B = 0

Ini menunjukkan bahwa tidak ada monopol magnetik; garis medan magnet selalu membentuk loop tertutup.

B. Hukum Faraday

Curl mengukur rotasi atau "pusaran" dari suatu medan vektor, dan menjelaskan bagaimana medan dihasilkan oleh arus atau perubahan medan lainnya.

Perubahan medan magnet terhadap waktu menghasilkan pusaran medan listrik:

curl E = ∇ × E = –∂B/∂t

Pada kondisi statis (∂B/∂t = 0), maka ∇ × E = 0, yang berarti medan listrik statis bersifat konservatif/irrotational.

C. Hukum Ampere

Curl dari medan magnet H dihasilkan oleh kerapatan arus listrik J dan perubahan kerapatan fluks listrik terhadap waktu (arus pergeseran):

curl H = ∇ × H = J + ∂D/∂t