Kurva, Panjang, Vektor Singgung, dan Kelengkungan
1. Representasi Kurva
Secara intuitif, kita menganggap kurva sebagai konfigurasi satu dimensi, seperti lintasan dari partikel yang bergerak, atau sesuatu yang mungkin kita peroleh dengan membengkokkan dan memutarkan garis lurus. Kita akan mendefinisikan kurva dengan menyatakan bahwa ia adalah sebuah konfigurasi titik-titik (x, y, z) terurut yang diberikan oleh tiga fungsi kontinu dari sebuah parameter:
x = f(t), y = g(t), z = h(t);
rentang dari parameter tersebut berupa suatu interval (terbatas atau tak terbatas) dari sumbu riil. Kita menyebutnya sebagai representasi parametrik dari kurva. Sebuah kurva dapat memiliki lebih dari satu representasi parametrik. Jika kita menafsirkan t sebagai waktu, konfigurasi tersebut dapat dianggap sebagai penentu lintasan dari suatu titik yang bergerak. Titik tersebut dapat melewati posisi yang sama di dalam ruang beberapa kali; dalam hal ini, kurva tersebut memotong dirinya sendiri. Jelas bahwa kurva dalam pengertian kata di atas sangatlah umum, dan mungkin tidak sangat mulus. Bayangkan, sebagai contoh, lintasan dari partikel kecil dalam gerakan Brownian selama periode waktu yang lama.
Untuk menghindari beberapa kerumitan yang mungkin terjadi dalam menangani kurva secara umum, kita menerapkan beberapa pembatasan. Yang dimaksud dengan busur (arc) adalah kurva yang tidak memotong dirinya sendiri, yang memiliki dua ujung berbeda, dan yang direpresentasikan dengan rentang terbatas dari parameter t, katakanlah a ≤ t ≤ b, di mana a < b. Sebuah setengah lingkaran adalah busur, tetapi sebuah lingkaran utuh bukan. Jika sebuah kurva didefinisikan dengan rentang terbatas a ≤ t ≤ b dari parameter tersebut, dan jika titik-titik yang bersesuaian dengan t = a dan t = b saling berhimpit, kita katakan bahwa kurva tersebut tertutup (ia tidak memiliki ujung bebas). Kurva tertutup tanpa perpotongan diri seperti itu disebut kurva tertutup sederhana, atau kurva Jordan tertutup (berdasarkan nama seorang matematikawan Prancis).
Prototipe dari sebuah busur adalah interval unit 0 ≤ x ≤ 1, sedangkan prototipe dari kurva tertutup sederhana adalah lingkaran unit x² + y² = 1. Deformasi kontinu (pembengkokan, pemutaran, peregangan, penyusutan) dari sebuah busur menjadikannya tetap berupa busur, asalkan tidak ada titik-titik yang disatukan yang awalnya berbeda. Hal yang sama dapat dikatakan tentang kurva Jordan tertutup. Batas dari sebuah persegi adalah kurva Jordan tertutup. Sebuah parabola bukanlah busur maupun kurva tertutup. Bagaimanapun, ia dapat dianggap sebagai sejumlah busur tak terbatas yang disambungkan ujung ke ujung.
Sebuah kurva dikatakan mulus (smooth) jika dua kondisi terpenuhi:
• Ia tidak memotong dirinya sendiri, dan
• Ia memiliki garis singgung di setiap titik, yang arahnya bervariasi secara kontinu saat titik tersebut bergerak di sepanjang kurva.
Kondisi kedua ini terpenuhi jika fungsi f, g, h memiliki turunan kontinu yang tidak semuanya bernilai nol secara bersamaan untuk nilai t apapun. Arah garis singgung ditentukan oleh rasio
f'(t) : g'(t) : h'(t),
dan kita dapat menemukan kosinus arah dengan normalisasi (yaitu, pembagian dengan akar kuadrat dari jumlah kuadrat dari ketiga kuantitas).
Kurva yang biasanya kita tangani berupa kurva mulus atau setiap bagian terbatas dari kurva tersebut adalah mulus secara bagian demi bagian (sectionally smooth), yaitu, terdiri dari sejumlah terbatas busur mulus yang disambungkan ujung ke ujung. Kurva seperti itu mungkin memiliki sudut pada titik-titik persambungannya. Keliling dari sebuah persegi adalah contoh kurva tertutup dengan sudut.
Seringkali kita menjumpai kurva sebagai perpotongan dari dua permukaan. Sebuah representasi parametrik mungkin tidak langsung muncul dengan sendirinya, tetapi secara teoritis dapat diturunkan dari representasi analitis permukaan-permukaan tersebut melalui argumen fungsi implisit.
2. Panjang Busur (Arc Length)
Panjang dari sebuah busur mulus dari t = a ke t = b diberikan oleh sebuah integral:
Rumus ini, atau bentuk khususnya untuk kurva bidang, sudah dikenal dari kalkulus dasar. Penurunannya akan diberikan sekarang.
Perhatikan sembarang kurva C, tertutup atau tidak, tanpa perpotongan diri, dan didefinisikan dengan interval parameter terbatas a ≤ t ≤ b. Perhatikan sebuah subdivisi
a = t₀ < t₁ < t₂ < ··· < tₙ = b
dari interval (a, b) menjadi n subinterval, dan misalkan Pₖ menjadi titik dari C yang bersesuaian dengan t = tₖ. Dengan menghubungkan titik-titik P₀, P₁, . . ., Pₙ secara berurutan, kita mendapatkan sebuah garis poligonal yang terinskripsi pada C. Panjang dari garis poligonal tersebut adalah
P₀P₁⁻ + ··· + Pₙ₋₁Pₙ⁻.
Sekarang perhatikan apa yang terjadi jika kita membiarkan n meningkat, dan membuat panjang dari segmen terpanjang Pₖ₋₁Pₖ mendekati nol. Jika jumlahannya mendekati batas terbatas, kita menyebut batas ini sebagai panjang dari kurva C, dan kita katakan bahwa C dapat diratakan (rectifiable). Sebuah kurva mungkin dapat diratakan tanpa harus mulus atau bahkan mulus secara bagian demi bagian; kita akan membatasi diri untuk menunjukkan bahwa sebuah busur mulus dapat diratakan, dengan panjang yang diberikan oleh L. Panjang dari kurva yang mulus secara bagian demi bagian ditemukan dengan menjumlahkan panjang dari busur-busur komponennya.
Perhatikan sebuah segmen Pₖ₋₁Pₖ dari garis poligonal. Panjangnya adalah
dimana
Δxₖ = f(tₖ) – f(tₖ₋₁),
dengan rumus serupa untuk Δyₖ dan Δzₖ. Berdasarkan aturan nilai rata-rata, kita menemukan
Δxₖ = f'(αₖ)Δtₖ, Δyₖ = g'(βₖ)Δtₖ, Δzₖ = h'(γₖ)Δtₖ,
di mana Δtₖ = tₖ – tₖ₋₁ dan titik-titik αₖ, βₖ, γₖ berada di antara tₖ₋₁ dan tₖ. Dengan demikian rumusnya menjadi
yang sama dengan L.
Misalkan C menjadi busur mulus dan misalkan s menjadi panjang yang diukur sepanjang C dari t = a ke suatu titik variabel. Konsekuensinya, dengan batas atas b digantikan oleh suatu variabel, adalah
Oleh karena itu
(ds)² = (dx)² + (dy)² + (dz)²
Integral yang memberikan panjang busur sering kali sedemikian rupa sehingga evaluasi integral tidak dapat dibuat dalam bentuk fungsi-fungsi elementer. Hal ini terjadi bahkan pada kurva bidang. Kadang-kadang panjang busur dapat dinyatakan dalam bentuk integral standar, seperti integral eliptik.3. Vektor Singgung
Misalkan C menjadi sebuah busur mulus. Mari kita pilih suatu arah tertentu di sepanjang busur sebagai arah positif. Pada sembarang titik di C, kita akan mendefinisikan apa yang kita sebut sebagai vektor singgung (tangent vector). Ini adalah sebuah vektor dengan panjang satu satuan (vektor satuan) di sepanjang garis singgung pada arah positif.
Vektor ini dinotasikan dengan T; vektor T adalah fungsi titik vektor yang didefinisikan di sepanjang C. Jika sudut-sudut yang dibentuk T dengan sumbu koordinat positif adalah α, β, γ, kita dapat menuliskan
T = cos(α)i + cos(β)j + cos(γ)k.
Jika s adalah panjang busur yang diukur di sepanjang C pada arah positif dari beberapa titik tetap, kosinus arahnya diberikan oleh cos(α) = dx/ds, dan seterusnya, sehingga
T = (dx/ds)i + (dy/ds)j + (dz/ds)k.
Jika x, y, z adalah fungsi dari t dengan turunan kontinu yang tidak pernah semuanya bernilai nol secara bersamaan,
Untuk berbagai tujuan, sangatlah mudah untuk membahas T sepenuhnya dalam notasi vektor, tanpa menggunakan sistem koordinat. Jika P(x, y, z) adalah titik variabel pada C, kita menotasikan vektor OP dengan R. Dalam notasi koordinat
R = xi + yj + zk.
Dapat ditulis sebagai
dR/ds = T.
Rumus untuk vektor singgung ini dapat diturunkan secara langsung dengan metode vektor.
Kita menganggap R sebagai fungsi dari s. Misalkan titik P, P' pada C berturut-turut bersesuaian dengan s dan s + Δs. Tulis
OP = R, OP' = R + ΔR,
sehingga
ΔR = PP'.
Hasil bagi ΔR/Δs adalah sebuah vektor di sepanjang garis tali busur PP'.
Karena panjang dari ΔR adalah panjang dari tali busur PP', kita melihat bahwa ketika P' mendekati P, batas dari panjang ΔR/Δs adalah satu (satuan). Lebih jauh lagi, arah batas dari PP' adalah arah dari garis singgung di P. Oleh karena itu
Diferensiasi dari R terhadap t memberikan
Jika t adalah variabel waktu, dR/dt adalah vektor kecepatan (vector velocity) dari titik P yang bergerak pada C.
4. Kelengkungan
Kita definisikan dua vektor satuan lagi, yaitu normal utama N dan binormal B, yang bersama dengan vektor singgung T, membentuk sekumpulan vektor ortonormal yang dikaitkan dengan titik (x, y, z) pada kurva C. Vektor-vektor ini, khususnya T dan N, sangat penting dalam studi gerakan titik (x, y, z) di sepanjang kurva. Vektor percepatan terletak pada bidang yang dibentuk oleh T dan N. Komponen percepatan di sepanjang garis N akan ditunjukkan bergantung pada kelengkungan dari C. Kita akan mengasumsikan bahwa x, y, z memiliki turunan kedua terhadap s. Kita memiliki
T · (dT/ds) = 0
Ketika dT/ds bukan 0, arahnya tegak lurus terhadap T. Sebuah vektor satuan dalam arah dT/ds disebut sebagai normal utama terhadap C pada titik yang bersangkutan. Normal utama dinotasikan dengan N, dan panjang dari dT/ds dinotasikan dengan κ. Oleh karena itu
dT/ds = κN.
κ = ‖dT/ds‖ = ‖dT/dt‖ |dt/ds| = ‖dT/dt‖/|ds/dt| = ‖dT/dt‖/‖v‖ = ‖dT/dt‖/‖dR/dt‖
Skalar κ disebut sebagai kelengkungan (curvature) dari C; yang diberikan oleh
Definisi ini membuat kelengkungan selalu bernilai positif atau nol. Dalam kasus kurva bidang, mudah untuk melihat dengan membuat sketsa gambar bahwa normal utama terletak pada bidang kurva dan mengarah ke sisi cekung dari kurva. Dalam teori kurva bidang, normal utama sering disebut secara singkat sebagai normal.
Jika dT/ds = 0, definisi kita tentang N menjadi tidak berlaku. Hal ini terjadi di semua titik pada C jika C adalah sebuah garis lurus, dan dalam kasus ini tidak ada dasar untuk menyebut normal tertentu sebagai normal utama. Selain dari itu, lenyapnya nilai dT/ds adalah hal yang pengecualian (kasus khusus).
Normal utama dan kelengkungan memainkan peran penting dalam kaitannya dengan percepatan suatu partikel yang bergerak dalam sebuah kurva.
Kita telah melihat sebelumnya bahwa vektor kecepatan adalah
v = dR/dt.
Oleh karena itu, vektor percepatan adalah
a = dv/dt = d²R/dt².
Sekarang, kita melihat bahwa
Vektor percepatan terdiri dari sebuah komponen dengan magnitudo d²s/dt² di sepanjang vektor singgung, dan sebuah komponen dengan magnitudo κ(ds/dt)² di sepanjang normal utama.
Kebalikan (reciprocal) dari kelengkungan disebut sebagai jari-jari kelengkungan (radius of curvature) ρ:
ρ = 1/κ.Jika kita menulis v = |ds/dt| untuk laju kelajuan partikel yang bergerak di sepanjang C, komponen κ(ds/dt)² dapat ditulis sebagai v²/ρ. Untuk gerakan dalam lintasan melingkar, ini adalah bentuk yang sudah dikenal dari percepatan sentripetal.
Ujung dari vektor ρN, yang ditarik dari titik P sebagai titik awal, disebut sebagai pusat kelengkungan (center of curvature) dari C yang bersesuaian dengan P.
Bidang yang memuat T dan N disebut sebagai bidang oskulasi (osculating plane) dari C di P.
5. Binormal dan Torsi
Vektor
B = T × N
disebut sebagai vektor binormal dari C di P. Perhatikan bahwa T, N, dan B adalah vektor-vektor satuan yang saling tegak lurus; selain itu, mereka membentuk sistem tangan kanan, persis seperti yang dilakukan oleh i, j, dan k. Vektor binormal B tegak lurus terhadap bidang oskulasi.
Terdapat sebuah kuantitas skalar bernama torsi (torsion) yang dikaitkan dengan C pada setiap titik. Untuk mendefinisikan torsi, kita perhatikan dB/ds. Kita memiliki
dB/ds = T × dN/ds + dT/ds × N.
Kita tahu bahwa
dT/ds × N = κN × N = 0,
karena perkalian silang dari sembarang vektor dengan dirinya sendiri adalah nol. Oleh karena itu
dB/ds = T × dN/ds.
Juga, B · B = 1, karena B memiliki panjang satu satuan. Oleh karena itu,
B · dB/ds = 0.
Sekarang, jika dB/ds ≠ 0, dua persamaan sebelumnya menunjukkan bahwa dB/ds tegak lurus baik terhadap B maupun terhadap T; oleh karena itu ia merupakan kelipatan dari N, karena N juga tegak lurus baik terhadap B maupun T. Dengan demikian kita dapat menuliskan
dB/ds = –τN,
di mana –τ hanyalah kelipatan yang tepat dari N untuk menghasilkan dB/ds. Kuantitas τ yang didefinisikan dengan cara ini disebut sebagai torsi dari C pada titik yang ditinjau. Jika dB/ds = 0, kita mendefinisikan τ = 0, sehingga persamaan tetap berlaku.
Untuk kurva bidang, B bernilai konstan, karena ia merupakan vektor satuan yang tegak lurus terhadap bidang tersebut. Untuk kurva seperti itu τ = 0 di semua titik. Sebuah kurva yang tidak terletak pada satu bidang tunggal disebut sebagai kurva puntir (twisted curve); torsinya mengukur, sampai batas tertentu, jumlah seberapa besar kurva tersebut memuntir.
6. Rumus-Rumus dalam Vektor R dan Turunannya
Misal vektor R dengan R' = dR/dt, R'' = d²R/dt², dan R''' = dR³/dt³. Berikut rumus-rumus untuk vektor singgung, normal utama, binormal, kelengkungan, dan torsi:
Contoh Soal
1. Perhatikan bagian oktan pertama dari kurva perpotongan bola dan silinder
x² + y² + z² = 4a², x² + (y – a)² = a²,
Sangatlah mudah untuk menggunakan z = t sebagai parameter untuk kurva ini. Jika kita mengeliminasi x dengan mengurangkan kedua persamaan, kita menemukan
y = (4a² – z²)/2a.
Dengan menyubstitusikan hasil ini ke persamaan kedua, kita menemukan
x = (z / 2a)√(4a² – z²).
Sebagai persamaan parametrik dari kurva, kita memiliki
x = (t / 2a)√(4a² – t²), y = (4a² – t²)/2a, z = t.
Perhitungan langsung menunjukkan bahwa
ds² = (8a² – t²)/(4a² – t²) dt².
Rentang dari t adalah dari 0 hingga 2a, sehingga panjang dari bagian oktan pertama dari kurva adalah
Integral ini tidak sejati (improper integral) pada batas t = 2a, tetapi ia konvergen.
2. Diketahui sebuah kurva memiliki persamaan posisi R(t) = t²i + (2t – 1)j + t³k. Tentukan vektor singgung satuan T(t) dari kurva tersebut pada saat t = 1.
dR/dt = (2t)i + 2j + (3t²)k
Substitusikan nilai t = 1 ke dalam dR/dt
dR/dt = 2i + 2j + 3k
‖dR/dt‖ = √(2² + 2² + 3²) = √(4 + 4 + 9) = √17
T(1) = (1 / ‖dR/dt‖) · (dR/dt) = (1 / √17)(2i + 2j + 3k) = (2/√17)i + (2/√17)j + (3/√17)k
Jadi, vektor singgung satuan pada t = 1 adalah (2/√17)i + (2/√17)j + (3/√17)k.
3. Tentukan kelengkungan κ dari kurva lingkaran dengan persamaan parameter:
x = a cos t, y = a sin t, z = 0 (di mana a > 0 adalah jari-jari lingkaran).
R(t) = a cos t i + a sin t j
dR/dt = –a sin(t) i + a cos(t) j
‖dR/dt‖ = √(a²sin²(t) + a²cos²(t)) = √a² = a
T(t) = (1 / ‖dR/dt‖) · (dR/dt) = (1/a)[–a sin(t) i + a cos(t) j] = –sin(t)i + cos(t)j
dT/dt = –cos(t)i – sin(t)j
‖dT/dt‖ = √(sin²(t) + cos²(t)) = 1
κ = ‖dT/dt‖/‖dR/dt‖ = 1/a.
4. Diketahui sebuah kurva ruang memiliki persamaan parameter:
R(t) = cos(t)i + sin(t)j + tk
Tentukan vektor binormal saat t = π/4 dan torsinya.
R'(t) = –sin(t)i + cos(t)j + k
R''(t) = –cos(t)i – sin(t)j
R'''(t) = sin(t)i – cos(t)j
Diperoleh vektor binormalnya adalah [sin(t)i – cos(t)j + k]/(√2) = (1/√2)sin(t)i – (1/√2)cos(t)j + (1/√2)k
Saat t = π/4, vektor binormalnya adalah (1/√2)(1/√2)i – (1/√2)(1/√2)j + (1/√2)k = ½i – ½j + (1/√2)k
(𝑹′ × 𝑹′′)·(𝑹′′′) = [sin(t)i – cos(t)j + k]·[sin(t)i – cos(t)j] = sin²(t) + cos²(t) + 0 = 1
Diperoleh torsinya adalah
Komentar
Posting Komentar