Medan Vektor (Vector Fields)

1. Definisi Dasar

A. Definisi Dasar

Medan vektor (atau disebut juga Fungsi Titik Vektor) adalah sebuah fungsi F yang memetakan setiap titik p di dalam ruang ke satu vektor spesifik F(p).

• Dalam ruang 2D: F(x, y) = M(x, y)i + N(x, y)j

• Dalam ruang 3D: F(x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k

B. Perbedaan dengan Medan Skalar

• Medan Skalar: Memberikan nilai angka (skalar) pada setiap titik (contoh: suhu di setiap titik dalam ruangan).

• Medan Vektor: Memberikan nilai arah dan besar (vektor) pada setiap titik (contoh: kecepatan aliran air di sungai atau medan gravitasi).

C. Sifat Invarian

Medan vektor bersifat independen terhadap sistem koordinat. Artinya, arah dan besar panah di suatu titik tetap sama meski kita memutar sumbu x-y-z. Namun, komponen-komponen penyusunnya (F₁, F₂, F₃) akan berubah nilainya sesuai orientasi sumbu baru.

• Independensi Koordinat: Nilai fungsi F hanya bergantung pada titik p itu sendiri, bukan pada sistem koordinat yang kita pilih.

• Domain & Range: Domainnya adalah set titik p, dan rangenya adalah set vektor. Kita menulisnya sebagai F = F(p).

• Vektor Invariant: Nilai vektor F tetap sama meskipun kita memutar sistem koordinat (misal dari xyz ke x'y'z').

• Komponen Bukan Invarian: Meskipun vektornya tetap, komponen-komponennya (F₁, F₂, F₃) akan berubah nilainya jika sumbu koordinatnya berubah.

• Komponen F₁ pada sistem baru tidak sama dengan F₁ pada sistem lama: F₁(x, y, z) ≠ F'₁(x', y', z').

D. Representasi Grafis Medan Vektor

Karena vektor secara teknis tidak memiliki posisi tetap, dalam medan vektor kita menggambarkannya dengan menempatkan ekor vektor tepat pada titik (x, y) atau (x, y, z) yang bersesuaian.

Skala Visual: Dalam grafik, panjang vektor sering kali diperpendek menggunakan skala tertentu agar gambar tetap terbaca dan tidak saling tumpang tindih. Ini berguna untuk membandingkan besar relatif antar vektor di titik yang berbeda, meski bukan ukuran absolutnya.

2. Jenis Medan Vektor yang Utama

A. Medan Gradien (Konservatif)

Sebuah medan vektor F disebut medan gradien jika ia merupakan turunan (gradien) dari suatu fungsi skalar f.

F = ∇f = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)k

Medan vektor yang berasal dari gradien sebuah fungsi skalar disebut sebagai Medan Vektor Konservatif, dan fungsi f disebut sebagai fungsi potensial. Medan ini sangat penting karena memiliki sifat-sifat fisis yang efisien (seperti hukum kekekalan energi).

• Arah: Vektor gradien ∇f selalu menunjuk ke arah peningkatan maksimum dari fungsi skalar f.

• Fungsi Potensial: Medan vektor yang merupakan hasil gradien dari suatu fungsi skalar memiliki sifat-sifat matematis tertentu.

B. Hukum Kuadrat Terbalik (Inverse Square Law)

Contoh paling umum dalam fisika (gravitasi dan elektrostatik). Vektor selalu menunjuk ke pusat (radial) dan kekuatannya melemah seiring kuadrat jarak.

F = –k(M/r³)R

Di mana R = xi + yj + zk dan r = ‖R‖.

Besar gayanya adalah ‖F‖ = kM/r².

3. Analisis Operasional: Divergensi dan Curl

Diberikan medan vektor F = Mi + Nj + Pk, kita dapat menganalisis perilakunya menggunakan operator Del atau Nabla (∇).

A. Operator Nabla

∇ = (∂/∂x)i + (∂/∂y)j + (∂/∂z)k

B. Divergensi (div F), Ukuran Ekspansi

Menghasilkan skalar yang menunjukkan apakah fluida "memancar keluar" atau "terkumpul masuk" di suatu titik.

div F = ∇ · F = ∂M/∂x + ∂N/∂y + ∂P/∂z

div F > 0: Sumber (Source), fluida memancar keluar dari titik tersebut.

div F < 0: Sumur (Sink), fluida terkumpul/masuk ke titik tersebut.

C. Curl (curl F), Ukuran Rotasi

Menghasilkan vektor yang menunjukkan arah dan kecepatan rotasi di suatu titik.

curl F = ∇ × F

Dihitung dengan determinan:

curl F = (∂P/∂y – ∂N/∂z)i + (∂M/∂z – ∂P/∂x)j + (∂N/∂x – ∂M/∂y)k 

Arah vektor curl F menentukan sumbu rotasi (menggunakan aturan tangan kanan).

Besar ‖curl F‖ menunjukkan kecepatan rotasi tersebut.

4. Tabel Perbandingan Medan Skalar dan Medan Vektor

Aspek	Medan Skalar	Medan Vektor
Input	Titik (x, y, z)	Titik (x, y, z)
Output	Angka tunggal	Vektor (Arah & Besar)
Contoh	Suhu, Tekanan, Potensial	Gravitasi, Kecepatan Angin
Operator Utama	Gradien (menjadi vektor)	Divergensi & Curl

5. Kesimpulan Integratif

Untuk memahami medan vektor secara utuh, kita harus melihatnya dari tiga sisi:

• Fisika: Sebagai representasi gaya atau aliran fluida di dunia nyata.

• Geometri: Sebagai entitas yang tidak berubah meskipun kita mengganti sudut pandang koordinat.

• Kalkulus: Sebagai objek matematis yang bisa diturunkan dan diintegrasikan melalui operasi grad, div, dan curl.

Contoh Soal

1. Diberikan fungsi f: ℝ³ → ℝ dengan f(x, y, z) = x²y³ + xz², tentukan gradien f.

∇f = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)k = (2xy³ + z²)i + (3x²y²)j + (2xz)k 

2. Diberikan fungsi F: ℝ³ → ℝ³ dengan F(x, y, z) = (x²yz)i + (3xyz³)j + (x² – z²)k, tentukan divergensi dan curl F.

div F: ∂(x²yz)/∂x + ∂(3xyz³)/∂y + ∂(x² – z²)/∂z = 2xyz + 3xz³ – 2z

Diberikan M = x²yz, N = 3xyz³, P = x² – z².

curl F = (∂P/∂y – ∂N/∂z)i + (∂M/∂z – ∂P/∂x)j + (∂N/∂x – ∂M/∂y)k = (–9xyz²)i + (–2x + x²y)j + (3yz³ – x²z)k