Pengenalan Dasar Vektor (Kalvek)

1. Vektor di Ruang Euklidan

A. Ruang Euklidan (ℝⁿ)

• ℝ¹ (Satu Dimensi): Garis bilangan riil di mana setiap titik adalah angka riil. Titik asal (origin) adalah 0.

• ℝ² (Dua Dimensi): Bidang geometri analitik dengan koordinat (x, y). Titik asal adalah (0, 0).

• ℝ³ (Tiga Dimensi): Ruang tiga dimensi dengan koordinat (x, y, z). Titik asal adalah (0, 0, 0).

B. Notasi dan Definisi Vektor

• Elemen ℝ³: Dinyatakan sebagai A = (A₁, A₂, A₃). Angka-angka ini disebut sebagai komponen dari vektor A.

• Representasi Visual: Vektor sering digambarkan sebagai panah dari titik asal (0, 0, 0) ke titik (A₁, A₂, A₃).

• Vektor Nol (0): Vektor yang semua komponennya adalah nol, yaitu (0, 0, 0).

C. Operasi Aljabar Vektor

Diberikan vektor A = (A₁, A₂, A₃) dan B = (B₁, B₂, B₃) serta skalar c:

Operasi	Rumus
Penjumlahan	A + B = (A₁ + B₁, A₂ + B₂, A₃ + B₃)
Pengurangan	A – B = (A₁ – B₁, A₂ – B₂, A₃ – B₃)
Perkalian Skalar	cA = (cA₁, cA₂, cA₃)

Hukum Aljabar Utama:

• Komutatif: A + B = B + A

• Asosiatif: (A + B) + C = A + (B + C)

• Distributif: c(A + B) = cA + cB dan (a + b)A = aA + bA

D. Produk Skalar (Dot Product)

Produk skalar dari dua vektor menghasilkan sebuah skalar (bukan vektor).

• Definisi Komponen: A · B = A₁B₁ + A₂B₂ + A₃B₃

• Definisi Geometris: A · B = ‖A‖ ‖B‖ cos θ, di mana θ adalah sudut antara dua vektor.

• Ortogonalitas: A tegak lurus (ortogonal) terhadap B jika dan hanya jika A · B = 0.

E. Norma (Panjang) dan Arah

• Norma (‖A‖): Panjang vektor A, dihitung dengan:

‖A‖ = √(A · A) = √(A₁² + A₂² + A₃²)

• Arah yang Sama: Dua vektor memiliki arah yang sama jika satu adalah kelipatan positif dari yang lain (B = cA, c > 0).

• Arah Berlawanan: Jika kelipatan negatif (c < 0).

F. Interpretasi Geometris (Visualisasi)

• Penjumlahan: Menggunakan Hukum Jajaran Genjang.

• Pengurangan: Vektor A – B adalah vektor yang jika ditambahkan ke B akan menghasilkan A.

• Translasi: Menambahkan vektor konstan C ke setiap vektor A menggeser seluruh ruang sejauh ‖C‖ ke arah C.

2. Vektor Satuan Ortogonal di ℝ³

A. Sistem Koordinat Tangan Kanan

Dalam aplikasi fisika dan matematika, konvensi yang umum digunakan adalah sistem koordinat tangan kanan dengan titik asal O. Sistem ini terdiri dari tiga sumbu yang saling tegak lurus: sumbu x, y, dan z.

B. Vektor Satuan Standar (i, j, k)

• Definisi: Didefinisikan tiga vektor satuan i, j, dan k yang masing-masing searah dengan sumbu positif x, y, dan z.

• Panjang Vektor: Setiap vektor ini memiliki panjang tepat satu unit (unit length).

• Representasi Vektor A: Setiap vektor A dalam ℝ³ dapat dinyatakan dalam bentuk kombinasi linear:

A = A₁i + A₂j + A₃k

Di mana A₁, A₂, dan A₃ adalah komponen-komponen dari vektor A.

C. Konsep Ortonormal

Himpunan vektor {i, j, k} disebut sebagai triad ortonormal fundamental. Istilah "ortonormal" merupakan gabungan dari dua properti:

• Ortogonal: Vektor-vektor tersebut saling tegak lurus satu sama lain.

• Normal: Vektor-vektor tersebut memiliki panjang unit (satu).

D. Hubungan Produk Skalar (Dot Product)

Sifat ortonormal dari triad i, j, k dinyatakan melalui hubungan berikut:

• Hasil kali dengan diri sendiri: i · i = j · j = k · k = 1

• Hasil kali antar vektor berbeda: i · j = i · k = k · i = 0

3. Perkalian Silang di ℝ³

Berbeda dengan perkalian titik (dot product) yang menghasilkan skalar, perkalian silang antar dua vektor menghasilkan sebuah vektor baru. Operasi ini hanya didefinisikan secara khusus untuk ruang tiga dimensi.

A. Definisi Geometris

Jika diberikan vektor A dan B dengan sudut θ di antaranya, maka A × B adalah vektor dengan karakteristik berikut:

• Magnitudo (Besar): ‖A × B‖ = ‖A‖ ‖B‖ sin θ.

• Arah: Tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh A dan B.

• Sistem Tangan Kanan: Vektor A, B, dan A × B membentuk sistem tangan kanan

Catatan Penting: Magnitudo ‖A × B‖ sama dengan luas jajargenjang yang dibentuk oleh vektor A dan B.
B. Aturan Aljabar Utama

Perkalian silang memiliki sifat–sifat unik yang membedakannya dari perkalian bilangan biasa:

• Antikomutatif: A × B = –(B × A).

• Distributif: A × (B + C) = (A × B) + (A × C).

• Perkalian Skalar: (cA) × B = c(A × B) = A × (cB).

C. Perhitungan dengan Komponen

Untuk menghitung hasil perkalian silang menggunakan komponen vektor A = (A₁, A₂, A₃) dan B = (B₁, B₂, B₃), kita dapat menggunakan tabel perkalian unit vektor berikut:

i × i = 0,    i × j = k,    i × k = –j

j × i = –k,    j × j = 0,    j × k = i

k × i = j,    k × j = –i,    k × k = 0

Rumus Determinan

Cara termudah untuk mengingat rumus perkalian silang adalah dengan menggunakan bentuk matriks determinan 3 × 3:

Hasil ekspansinya adalah:

A × B = (A₂B₃ – A₃B₂)i + (A₃B₁ – A₁B₃)j + (A₁B₂ – A₂B₁)k 

4. Ruang Vektor ℝⁿ

A. Definisi dan Properti Dasar

• Ruang ℝⁿ: Himpunan dari semua n-tupel terurut (u₁, ..., uₙ) dari bilangan riil.

• Produk Skalar (Dot Product): Ditentukan oleh rumus u · v = u₁v₁ + ... + uₙvₙ.

• Norma (Panjang): Panjang vektor u didefinisikan sebagai ‖u‖ = √(u₁² + ... + uₙ²).

• Jarak: Jarak antara dua vektor (sebagai titik) adalah d(u, v) = ‖u – v‖.

B. Ketidaksamaan Fundamental

Dua ketidaksamaan fundamental dalam ruang vektor ini adalah:

• Ketidaksamaan Cauchy: ‖u · v‖ ≤ ‖u‖ ‖v‖.

• Ketidaksamaan Segitiga: ‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖.

C. Dependensi Linear dan Basis

• Kebebasan Linear: Sekumpulan vektor {u₁, ..., uₖ} disebut tergantung linear jika terdapat skalar cᵢ (tidak semua nol) sehingga c₁u₁ + ... + cₖuₖ = 0. Jika hanya bisa dipenuhi saat semua cᵢ = 0, maka disebut bebas linear.

• Basis Standar: Ruang ℝⁿ memiliki basis standar {e₁, ..., eₙ} di mana setiap eᵢ memiliki nilai 1 pada komponen ke-i dan 0 di tempat lainnya.

• Dimensi: ℝⁿ disebut berdimensi-n karena setiap basisnya terdiri dari tepat n vektor.