Turunan Berarah dan Diferensiabilitas

1. Diferensial dan Derivatif Fungsi ℝⁿ ke ℝᵐ

A. Pergeseran Sudut Pandang (Diferensial Dahulu, Baru Derivatif)

Pada kalkulus elementer (f: ℝ → ℝ), kita biasanya mempelajari derivatif (turunan) terlebih dahulu, baru kemudian diferensial.

Namun, untuk fungsi f: ℝⁿ → ℝᵐ dengan n > 1, pendekatan yang paling alami adalah mendefinisikan diferensial terlebih dahulu, baru kemudian memahami derivatif.

Pada tingkat yang lebih tinggi ini, derivatif tidak lagi dipandang sebagai sekadar bilangan real atau vektor, melainkan sebagai sebuah fungsi yang memetakan suatu titik ke sebuah transformasi linear. Dengan kata lain, f'(x) merupakan anggota dari ℒ(ℝⁿ, ℝᵐ).

B. Diferensial untuk Fungsi Bernilai Real (f: ℝⁿ → ℝ)

Sebagai batu loncatan (ketika m = 1), diferensial dari fungsi f di titik x = (x₁, ..., xₙ) dengan perubahan vektor h = (h₁, ..., hₙ) = (dx₁, ..., dxₙ) dinyatakan sebagai fungsi linear dari h:

Fungsi f dikatakan terdiferensialkan (differentiable) di x jika terdapat bilangan A₁, ..., Aₙ sedemikian rupa sehingga:

Jika kondisi ini terpenuhi, maka konstanta Aᵢ tersebut tidak lain adalah turunan parsial pertama dari f, yaitu Aᵢ = ∂f/∂xᵢ.

C. Generalisasi untuk Fungsi Vektor (f: ℝⁿ → ℝᵐ)

Untuk kasus umum f: ℝⁿ → ℝᵐ, nilai mutlak pada pembilang diganti dengan norm (‖.‖) karena luaran fungsi berupa vektor di ℝᵐ.

• Definisi Diferensial

Kita mencari sebuah transformasi linear T ∈ ℒ(ℝⁿ, ℝᵐ) yang bergantung pada x, sedemikian rupa sehingga T(h) (atau ditulis Th) menjadi pendekatan linear yang sangat baik untuk selisih f(x + h) – f(x). Syarat presisinya adalah:

Vektor Th inilah yang disebut sebagai diferensial dari f di titik x dengan inkremen h, dinotasikan dengan df(x, h) = Th. Transformasi linear T ini bersifat unik dan dalam representasi matriksnya (Matriks Jacobi), elemen-elemennya terdiri dari turunan parsial dari fungsi-fungsi komponen f.

• Definisi Derivatif

Karena T bergantung pada titik x, kita dapat menulis T sebagai Tₓ. Fungsi yang memetakan setiap titik x ke transformasi linear Tₓ inilah yang disebut sebagai derivatif (turunan) dari f, dinotasikan dengan f'. Jadi:

f'(x) = Tₓ

Dengan definisi ini, dapat dikatakan bahwa f'(x) merupakan derivatif dari f di x jika dan hanya jika f'(x) ∈ ℒ(ℝⁿ, ℝᵐ) sehingga

Hubungan antara diferensial dan derivatifnya dapat dituliskan dalam notasi bebas koordinat:

df(x, h) = f'(x)h atau  df(x, dx) = f'(x) dx

D. Teorema Kontinuitas

Jika fungsi f terdiferensialkan di titik a, maka f pasti kontinu di titik a.

E. Aturan Rantai

Misalkan f memetakan himpunan terbuka U ⊂ ℝⁿ ke ℝᵐ dan g memetakan himpunan terbuka V ⊂ ℝᵐ ke ℝᵖ. Jika f terdiferensialkan di x₀ dan g terdiferensialkan di y₀ = f(x₀), maka fungsi komposisi (g ∘ f) terdiferensialkan di x₀, dan turunan komposisinya adalah komposisi dari masing-masing turunannya:

(g ∘ f)'(x₀) = g'(y₀) ∘ f'(x₀)

2. Fungsi Komponen dan Diferensiabilitas

A. Fungsi Komponen

Setiap fungsi vektor f: ℝⁿ → ℝᵐ dapat dipecah menjadi m buah fungsi komponen bernilai real, yaitu:

f(x) = (f⁽¹⁾(x), f⁽²⁾(x), ..., f⁽ᵐ⁾(x))

B. Hubungan Diferensiabilitas

Fungsi f dikatakan terdiferensialkan di titik a jika dan hanya jika setiap fungsi komponennya (f⁽¹⁾, f⁽²⁾, ..., f⁽ᵐ⁾) terdiferensialkan di titik a. Ketika f terdiferensialkan di a, representasi matriks standar dari f'(a) ∈ ℒ(ℝⁿ, ℝᵐ) adalah Matriks Jacobian berukuran m × n:

dengan semua turunan parsial di atas dievaluasi di titik a.

C. Syarat Cukup untuk Diferensiabilitas

Ingat kembali bahwa hanya dengan mengetahui turunan parsial itu ada di titik a, belum cukup untuk menjamin fungsi tersebut terdiferensialkan di a.

Syarat cukupnya adalah jika semua turunan parsial pada Matriks Jacobian tidak hanya ada di titik a, tetapi juga ada dan kontinu di seluruh lingkungan sekitar titik a, maka fungsi f dijamin terdiferensialkan di titik a. Ini adalah alat uji praktis yang paling sering digunakan.

D. Kasus Khusus untuk Fungsi Parameter / Kurva di Ruang ℝᵐ

Kasus ini merupakan kasus khusus untuk f: ℝ → ℝᵐ

• Vektor x berubah menjadi variabel real tunggal x.

• Matriks Jacobian hanya memiliki 1 kolom dan m baris.

• Elemennya berupa turunan biasa (bukan parsial) terhadap x dari masing-masing fungsi komponen. Jika ditulis sebagai vektor kolom, bentuknya menjadi (A₁, A₂, ..., Aₘ)ᵀ.

E. Kasus Khusus untuk Fungsi Skalar dari Banyak Variabel f: ℝⁿ → ℝ

• Fungsi f menghasilkan nilai skalar tunggal.

• Matriks Jacobian memiliki 1 baris dan n kolom, yang direpresentasikan oleh operator Gradient

grad f(x) = (∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, ..., ∂f/∂xₙ)

• Diferensial fungsinya dapat dituliskan sebagai

• Ketika f'(x) dikenakan pada vektor perubahan h, operasinya setara dengan perkalian titik (dot product) antara vektor gradien dengan vektor h:

f'(x)h = (grad f(x)) · h 

3. Turunan Berarah

A. Definisi Turunan Berarah

Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada himpunan terbuka di ℝⁿ, dan x adalah titik di dalam himpunan tersebut. Jika u adalah sebuah vektor satuan (‖u‖ = 1) di ℝⁿ, maka turunan berarah dari f di titik x pada arah u dinotasikan dengan Dᵤf(x) dan didefinisikan sebagai nilai limit (jika limitnya ada):

B. Hubungan dengan Turunan Parsial
Turunan parsial terhadap xᵢ sebenarnya merupakan kasus khusus dari turunan berarah, di mana arah u digantikan oleh vektor basis standar eᵢ. Jadi, D_eif(x) = ∂f/∂xᵢ.

C. Menghitung Turunan Berarah dengan Gradien

Menghitung turunan berarah langsung menggunakan definisi limit sering kali rumit. Teorema berikut memberikan metode praktis yang sangat efisien jika fungsi f diketahui terdiferensialkan.

Jika f terdiferensialkan di x, maka turunan berarah Dᵤf(x) ada untuk setiap vektor satuan u, dan nilainya dapat dihitung melalui perkalian titik (dot product) antara gradien f dengan vektor u:

Dᵤf(x) = grad f(x) · u 

D. Geometri Turunan Berarah

Secara geometris, jika θ adalah sudut antara vektor grad f(x) dan vektor satuan u, maka rumus perkalian titik di atas dapat ditulis menjadi:

Dᵤf(x) = ‖grad f(x)‖ ‖u‖ cos θ = ‖grad f(x)‖ cos θ

E. Karakteristik Utama Berdasarkan Nilai cos θ

Karena nilai –1 ≤ cos θ ≤ 1, kita dapat menyimpulkan tiga karakteristik utama mengenai laju perubahan fungsi di suatu titik x:

1. Laju Pertumbuhan Maksimum (Maksimum Naik):

Terjadi ketika cos θ = 1 (artinya θ = 0°, yang berarti arah u searah dengan grad f(x)).

Nilai maksimum dari Dᵤf(x) adalah ‖grad f(x)‖.

Kesimpulan: Vektor gradien grad f(x) menunjuk ke arah di mana fungsi f mengalami pertambahan (kenaikan) nilai paling cepat.

2. Laju Penurunan Maksimum (Maksimum Turun):

Terjadi ketika cos θ = –1 (artinya θ = 180°, yang berarti arah u berlawanan arah dengan grad f(x)).

Nilai minimum dari Dᵤf(x) adalah –‖grad f(x)‖.

Kesimpulan: Vektor –grad f(x) menunjuk ke arah di mana fungsi f mengalami penurunan nilai paling cepat.

3. Laju Perubahan Nol (Konstan):

Terjadi ketika cos θ = 0 (artinya θ = 90°, yang berarti arah u tegak lurus / ortogonal terhadap grad f(x)).

Nilai Dᵤf(x) = 0.

Kesimpulan: Jika kita bergerak tegak lurus dengan arah gradien, nilai fungsi tidak bertambah maupun berkurang (bergerak di sepanjang kurva/permukaan ketinggian yang sama).

F. Perluasan Konsep untuk Vektor u Sebarang (Bukan Vektor Satuan)

Jika arah yang diberikan dinyatakan oleh vektor v sebarang yang bukan vektor satuan (v ≠ 0), yang tentunya taknol. Kita harus mengubah v menjadi vektor satuan terlebih dahulu dengan membaginya dengan normnya sendiri, yaitu u = v/‖v‖. Maka rumus turunannya menjadi:

Dᵥf(x) = Dᵤf(x) = grad f(x) · u = grad f(x) · v / ‖v‖

Sifat kelinieran juga berlaku di sini, di mana untuk konstanta c > 0:

D_cvf(x) = Dᵥf(x)

G. Garis Normal dan Bidang Singgung pada Kurva Ketinggian

Konsep ortogonalitas gradien ini melahirkan aplikasi penting pada kurva ketinggian (level curves) f(x, y) = C atau permukaan ketinggian (level surfaces) f(x, y, z) = C.

• Kurva Ketinggian (ℝ²)

Vektor grad f(x₀, y₀) selalu tegak lurus terhadap garis singgung kurva f(x, y) = C di titik (x₀, y₀). Oleh karena itu, gradien bertindak sebagai vektor normal dari garis singgung tersebut. Persamaan garis singgungnya adalah:

(∂f/∂x)(x – x₀) + (∂f/∂y)(y – y₀) = 0

• Permukaan Ketinggian (ℝ³)

Vektor grad f(x₀, y₀, z₀) selalu tegak lurus terhadap bidang singgung permukaan f(x, y, z) = C di titik (x₀, y₀, z₀). Persamaan bidang singgungnya dinyatakan oleh perkalian titik:

grad f(x₀) · (x – x₀) = 0

atau jika dijabarkan:

(∂f/∂x)(x – x₀) + (∂f/∂y)(y – y₀) + (∂f/∂z)(z – z₀) = 0

4. Turunan Berarah untuk Fungsi Vektor

A. Definisi Berdasarkan Limit

Misalkan f: U → ℝᵐ adalah fungsi vektor yang terdefinisi pada himpunan terbuka U ⊂ ℝⁿ. Jika x adalah titik di dalam U dan u adalah sebuah vektor satuan (‖u‖ = 1) di ℝⁿ, maka turunan berarah dari f di titik x pada arah u didefinisikan sebagai:

Karena f(x + tu) dan f(x) adalah vektor di ℝᵐ, maka hasil pengurangan dan limitnya juga menghasilkan sebuah vektor di ℝᵐ.

B. Hubungan dengan Fungsi Komponen

Jika fungsi vektor f dipecah menjadi fungsi-fungsi komponennya, yaitu:
f(x) = (f⁽¹⁾(x), f⁽²⁾(x), ..., f⁽ᵐ⁾(x))

Maka, menghitung turunan berarah dari fungsi vektor f setara dengan menghitung turunan berarah dari masing-masing fungsi komponen skalar-nya secara terpisah. Jadi, hasil Dᵤf(x) adalah vektor yang komponennya merupakan turunan berarah dari tiap fungsi komponen:

Dᵤf(x) = (Dᵤf⁽¹⁾(x), Dᵤf⁽²⁾(x), ..., Dᵤf⁽ᵐ⁾(x))

C. Penggunaan Matriks Jacobian

Jika fungsi vektor f diketahui terdiferensialkan di titik x, kita tidak perlu menggunakan limit di atas. Kita bisa memanfaatkan Matriks Jacobian (f'(x)) berukuran m × n untuk menghitung turunan berarahnya secara langsung melalui perkalian matriks:

Dᵤf(x) = f'(x)u 

Dimana u bertindak sebagai vektor kolom (n × 1).

Jika dikalikan, baris ke-i dari hasil matriks tersebut tidak lain adalah:

D. Perbedaan Interpretasi Geometris

• Pada fungsi skalar (m = 1), turunan berarah menghasilkan angka yang menyatakan laju kenaikan/penurunan grafik permukaan pada arah tertentu. Kita bisa mencari arah kemiringan maksimum menggunakan vektor gradien.

• Pada fungsi vektor (m > 1), interpretasi "arah kenaikan maksimum" menjadi kabur karena luarannya berupa vektor (memiliki banyak komponen perubahan). Kita tidak bisa lagi sekadar melihat arah mana yang menghasilkan nilai "cos θ = 1" karena tidak ada konsep operator tunggal gradien yang berlaku sebagai vektor untuk seluruh fungsi f (gradiennya kini berbentuk matriks pecahan tiap komponen). Luaran vektor Dᵤf(x) ini secara geometris memetakan bagaimana vektor kecepatan di domain ditransformasikan menjadi vektor kecepatan di kodomain.

Contoh Soal

1. Misalkan fungsi f: ℝ² → ℝ³ memetakan titik (x, y) ke sebuah vektor di ℝ³ dengan fungsi komponen sebagai berikut:

f(x, y) = (x² – y², sin(xy), 5x + 4y³)

Komponen-komponen f adalah f₁ = x² – y², f₂ = sin(xy), f₃ = 5x + 4y³

Turunan dari f adalah:

2. Misalkan f: ℝ² → ℝ³ didefinisikan oleh f(x, y) = (x²y, x + y²). Kita ingin mencari turunan berarah di titik (1, 2) pada arah vektor v = (3, 4).

Turunan dari f adalah:

Masukkan f'(1, 2)

Perhatikan bahwa v = (3, 4) bukanlah vektor satuan, ubah ke vektor satuan:

u = v/‖v‖ = (3, 4)/√(3² + 4²) = (⅗, ⅘)

Kalikan dengan vektor satuan u 

Hasil akhirnya adalah sebuah vektor (16/5, 19/5) di ℝ².