Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Perhatikan grafik berikut:

Apabila diperhatikan dari kiri ke kanan maka ada bagian fungsi yang naik, dan ada juga bagian yang turun. Fungsi f naik di sebelah kiri titik A(x₁, f(x₁)) yang merupakan titik maksimum lokal dan turun di sebelah kanannya. Begitu juga fungsi f turun di sebelah kiri titik B(x₂, f(x₂)) yang merupakan titik minimum lokal dan naik di sebelah kanannya. Dari sini kita mengetahui sifat dari titik stasioner dan pojok tajam, sebelah kiri suatu titik maksimum lokal adalah fungsi naik dan sebelah kanannya adalah fungsi turun. Sedangkan sebelah kiri suatu titik minimum lokal adalah fungsi turun dan sebelah kanannya fungsi naik. 

Adapun pada grafik lompat, bisa jadi lompatan tidak merubah arah fungsi, contoh grafik berikut:

Pada grafik ini terjadi lompatan dan arahnya tetap turun.

Definisi fungsi naik dan fungsi turun

(i) Fungsi f dikatakan naik (increasing) pada interval S jika untuk setiap x₁, x₂ ∈ S dengan x₁ < x₂ berlaku f(x₁) < f(x₂)

(ii) Fungsi f dikatakan turun (decreasing) pada interval S jika untuk setiap x₁, x₂ ∈ S dengan x₁ < x₂ berlaku f(x₁) > f(x₂)

Diberikan fungsi f terdefinisikan dan kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b)

(i) Jika f'(x) > 0 untuk setiap x ∈ (a, b) maka f naik pada [a, b]

(ii) Jika f'(x) < 0 untuk setiap x ∈ (a, b) maka f turun pada [a, b]

Bukti:

(i) Ambil sebarang x₁, x₂ ∈ [a, b] dengan x₁ < x₂. Menurut teorema nilai rata-rata, terdapat x₀ ∈ (x₁, x₂) sehingga (f(x₂) - f(x₁))/(x₂ - x₁) = f'(x₀) > 0. Karena x₁ < x₂ yang mengakibatkan x₂ - x₁ > 0 maka f(x₂) - f(x₁) > 0, ingat bahwa (+)/(+) = (+). Jadi, f(x₂) > f(x₁) yang artinya naik pada [a, b]

(ii) Ambil sebarang x₁, x₂ ∈ [a, b] dengan x₁ < x₂. Menurut teorema nilai rata-rata, terdapat x₀ ∈ (x₁, x₂) sehingga (f(x₂) - f(x₁))/(x₂ - x₁) = f'(x₀) < 0. Karena x₁ < x₂ yang mengakibatkan x₂ - x₁ > 0 maka f(x₂) - f(x₁) < 0, ingat bahwa (-)/(+) = (-). Jadi, f(x₂) < f(x₁) yang artinya turun pada [a, b]

Contoh soal dan pembahasan

Diberikan fungsi f(x) = x³ – 6x² + 9x – 5, tentukan naik, turun dan stasioner!

f'(x) = 3x² – 12x + 9 = 3(x – 1)(x – 3)

Fungsi f naik pada x < 1 atau x > 3; turun pada 1 < x < 3; dan stasioner pada x = 1 atau x = 3

Pada x = 1 ekstrem maksimum, karena sebelah kirinya naik dan kanannya turun

Pada x = 3 ekstrem minimum, karena sebelah kirinya turun dan kanannya naik