Jajargenjang

Jajargenjang adalah segiempat dengan sisi yang berhadapan sejajar.

1. Sifat-Sifat Jajargenjang

Dari definisi diperoleh sifat: Sudut yang berdekatan bersuplemen, karena dalam sepihak.

Perhatikan gambar berikut:

Diberikan jajargenjang ABCD, dengan AB//DC, ditarik diagonal dari titik A ke C, terbagilah jajargenjang ABCD menjadi 2 buah segitiga ABC dan ADC.

(i) |AC| = |AC| karena berhimpit

(ii) ∠BAC = ∠DCA karena dalam berseberangan

(iii) ∠ADC = ∠ABC karena dalam berseberangan

∴ ∆ABC ≅ ∆ADC, jika cara yang sama diterapkan pada ADB dan CDB akan didapati ADB ≅ ∆CDB, dari kekongruenannya diperoleh:

(i) |AB| = |CD| dan |AD| = |BC|, sisi yang berhadapan sama panjang

(ii) ∠ADC = ∠ABC dan ∠BAD = ∠BCD, sudut yang berhadapan sama besar

Perhatikan segitiga AOB dan COD

(i) ∠OAB = ∠OCD karena dalam berseberangan

(ii) ∠OBA = ∠ODC karena dalam berseberangan

(iii) |AB| = |CD|, karena ∆ABC ≅ ∆ADC

∴ ∆AOB ≅ ∆COD, dari kekongruenannya diperoleh |AO| = |CO| dan |BO| = |DO|, kedua diagonal jajargenjang saling membagi menjadi 2 bagian sama panjang.

Oleh karena itu, berikut ini sifat-sifat jajargenjang:

a. Sisi yang berhadapan sama panjang

b. Sudut yang berhadapan sama besar

c. Sudut yang berdekatan saling bersuplemen

d. Diagonalnya saling berpotongan dan membagi dua sama panjang

2. Luas Jajargenjang

Perhatikan gambar berikut:

Diberikan jajargenjang ABCD dengan titik E pada sisi AB dan titik F pada sisi CD sedemikian hingga DE ⊥ AB dan BF ⊥ CD, yang berarti ∠AED dan ∠CFB keduanya siku-siku.

(i) ∠EAD = ∠FCB karena sudut yang berhadapan pada jajargenjang

(ii) |AD| = |BC| karena sisi yang berhadapan pada jajargenjang

(iii) ∠EDA = ∠FBC karena sisa sudut segitiga

∴ ∆AOB ≅ ∆COD, karena keduanya segitiga siku-siku dan kongruen kita dapat memotong segitiga BFC dan menempelkannya pada AED dengan AD dan BC berhimpit dan jadilah persegi panjang dengan panjangnya adalah alas jajargenjang dan lebarnya adalah tinggi jajargenjang, jadi:

Luas jajargenjang adalah alas kali tinggi.

Pada gambar diatas AB sebagai alas dan DE sebagai tinggi.

3. Keliling Jajargenjang

Dikarenakan sisi yang berhadapan sama panjang, untuk menghitung kelilingnya adalah 2 kali jumlah sisi yang berdekatan.

4. Mengidentifikasi Jajargenjang

Beberapa keadaan pada segiempat, dapat dikenali bahwa segiempat tersebut merupakan jajargenjang. Terdapat beberapa keadaan sebagai berikut:

a. Jika segiempat memiliki sisi-sisi yang berhadapan sama panjang maka segiempat tersebut adalah jajargenjang.

Bukti:

Diketahui segiempat ABCD dengan AB = CD dan AD = BC. Dengan menarik diagonal AC, segiempat ABCD terbagi menjadi segitiga ABC dan ADC

(i) Diketahui AB = CD

(ii) Diketahui AD = BC

(iii) AC = AC karena berhimpit

Oleh karena itu, segitiga ABC dan ADC kongruen (S-S-S). Dari kekongruenannya diperoleh kesamaan:

∠BAC = ∠DCA, oleh karena itu AB//CD

∠DAC = ∠BCA, oleh karena itu AD//BC

∴ Jadi, segiempat ABCD merupakan jajargenjang

b. Jika segiempat memiliki sepasang sisi yang berhadapan sama dan sejajar maka segiempat tersebut adalah jajargenjang.

Bukti:

Diketahui segiempat ABCD dengan AB = CD dan AB//CD. Tarik diagonal AC, segiempat ABCD terbagi menjadi segitiga ABC dan ADC

(i) Diketahui AB = CD

(ii) ∠BAC = ∠DCA karena dalam berseberangan

(iii) AC = AC karena berhimpit

Oleh karena itu ABC dan ADC kongruen (S-A-S), dari kekongruenannya diperoleh:
∠BCA = ∠DAC, oleh karena itu AD//BC

∴ Jadi, segiempat ABCD merupakan jajargenjang

c. Jika segiempat memiliki sudut-sudut yang berhadapan sama besar maka segiempat tersebut adalah jajargenjang.

Bukti:

Diketahui segiempat ABCD dengan ∠A = ∠C dan ∠B = ∠D. Dikarenakan jumlah sudut segiempat sama dengan 360°, setengah jumlah sudutnya adalah 180°. Dan dikarenakan sudut yang berhadapan sama besar, sudut yang berdekatan bersuplemen.
∠A + ∠B = ∠A + ∠D = ∠B + ∠C = ∠C + ∠D = 180°.

Bersuplemennya sudut yang berdekatan, itu artinya dalam sepihak, sehingga sisi-sisi yang berhadapan sejajar.

∴ Jadi, segiempat ABCD merupakan jajargenjang

d. Jika segiempat diagonal-diagonalnya saling berpotongan dan membagi dua sama panjang maka segiempat tersebut adalah jajar genjang.

Bukti:

Diketahui segiempat ABCD kedua diagonalnya berpotongan di O, dengan AO = CO dan BO = DO.

Perhatikan segitiga AOB dan COD

(i) Diketahui AO = CO

(ii) Diketahui BO = DO

(iii) ∠AOB = ∠COD karena bertolak belakang

Oleh karena itu, segitiga AOB dan COD kongruen, dari kekongruenannya diperoleh:

∠ABO = ∠CDO, oleh karena itu AB//CD

Perhatikan segitiga AOD dan BOC

(i) Diketahui AO = CO

(ii) Diketahui BO = DO

(iii) ∠AOD = ∠BOC karena bertolak belakang

Oleh karena itu, segitiga AOD dan BOC kongruen, dari kekongruenannya diperoleh:

∠ADO = ∠CBO, oleh karena itu AD//BC

∴ Jadi, segiempat ABCD merupakan jajargenjang ∵ AB//CD dan AD//BC