Menghitung Determinan Matriks

Fungsi Determinan merupakan fungsi dari suatu variabel matriks dengan nilai real yang mengasosiasikan suatu bilangan real f (X) dengan suatu matriks bujursangkar X.

1. Permutasi

Permutasi dari himpunan bilangan bulat atau integer {1, 2, ..., n} adalah susunan integer-integer ini menurut suatu aturan tanpa adanya penghilangan atau pengulangan.

contoh: Untuk himpunan integer {1, 2, 3} terdapat 6 permutasi yang berbeda, yaitu:

{(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)}

Secara umum, himpunan {1, 2, ..., n} akan memiliki n(n - 1)(n - 2)...2.1 = n! permutasi yang berbeda.

2. Inversi (Pembalikan)

Misal permutasi umum dari himpunan {1, 2, ..., n} adalah (j₁, j₂, …, j_n). j₁ adalah integer pertama dari permutasi, j₂ adalah integer kedua dari permutasi dan seterusnya.

Inversi atau Pembalikan dikatakan terjadi dalam suatu permutasi (j₁, j₂, …, j_n) jika integer yang lebih besar mendahului integer yang lebih kecil.

Total inversi adalah banyaknya bilangan-bilangan integer yang lebih kecil dan yang mengikutinya dalam permutasi tersebut.

contoh:

Diberikan permutasi (5, 2, 4, 1, 3), total inversinya adalah 4 + 1 + 2 + 0 = 7

3. Permutasi Genap dan Permutasi Ganjil

Suatu permutasi dikatakan genap jika total banyaknya inversi adalah integer genap dan dikatakan ganjil jika total banyaknya inversi adalah integer ganjil.

contoh: Klasifikasi permutasi {1, 2, 3}

Permutasi	Banyak Inversi	Klasifikasi
(1, 2, 3)	0	Genap
(1, 3, 2)	1	Ganjil
(2, 1, 3)	1	Ganjil
(2, 3, 1)	2	Genap
(3, 1, 2)	2	Genap
(3, 2, 1)	3	Ganjil

4. Hasil Kali Elementer

Hasil Kali Elementer dari suatu matriks A, n × n yaitu hasil kali n entri dari A, yang tidak satupun berasal dari baris atau kolom yang sama.

Banyak hasil kali elementer matriks berukuran n × n sama dengan banyak permutasi n, yaitu n! = n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 2 × 1.

contoh: Matriks A berukuran 3 × 3 memiliki 6 hasil kali elementer:

a11a22a33	a12a21a33	a13a21a32
a11a23a32	a12a23a31	a13a22a31

untuk setiap hasil kali elementer, indeks baris dan indeks kolom berbeda

5. Hasil Kali Elementer Bertanda

Hasilkali Elementer Bertanda adalah hasilkali elementer a_1j1a_2j2…a_njn dikalikan ±1. Tanda +1 digunakan jika (j₁, j₂, …, j_n) adalah permutasi genap sedangkan tanda -1 digunakan jika (j₁, j₂, …, j_n) adalah permutasi ganjil.

contoh: Hasil kali elementer matriks A berukuran 3 × 3

HE	Permutasi	Genap/Ganjil	HE Bertanda
a11a22a33	(1, 2, 3)	Genap	+a11a22a33
a11a23a32	(1, 3, 2)	Ganjil	-a11a23a32
a12a21a33	(2, 1, 3)	Ganjil	-a12a21a33
a12a23a31	(2, 3, 1)	Genap	+a12a23a31
a13a21a32	(3, 1, 2)	Genap	+a13a21a32
a13a22a31	(3, 2, 1)	Ganjil	-a13a22a31

6. Determinan

Misal A matriks bujursangkar. Determinan dari matriks A dinotasikan det(A) adalah jumlah dari semua hasilkali elementer bertanda dari matriks A.

Determinan matriks 2 × 2 = a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁

Determinan matriks 3 × 3 = a₁₁a₂₂a₃₃ – a₁₁a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ – a₁₃a₂₂a₃₁

Coba bayangkan suatu matriks berukuran lebih besar, kita ingin menghitung determinannya harus melakukan banyak perkalian, tentunya kurang efisien, tapi tenang, kita bisa melakukan OBE untuk menghitung determinan matriks.

7. Aturan Penting Determinan

a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(A) = 0

Mengapa demikian? karena setiap hasil kali elementernya nol.

b) det(A) = det(A^T)

Transpose matriks tidak mengubah determinan, karena hanya menukar urutan tanpa mengubah HE bertanda.

c) Jika A adalah matriks segitiga n × n (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal), maka det(A) adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utama matriks tersebut, yaitu det(A) = a₁₁a₂₂…a_nn .

Mengapa demikian? karena hasil kali elementer matriks segitiga selain diagonal utamanya nol.

8. Menghitung Determinan dengan Reduksi Baris

Determinan matriks bujursangkar dapat dihitung dengan mereduksi baris menjadi bentuk eselon baris. Metode ini penting karena kita tidak perlu melakukan perhitungan panjang sebagaimana jika digunakan definisi determinan secara langsung.

Dengan terbentuknya matriks segitiga, determinan sama dengan hasil kali elemen diagonal utama.

Aturan determinan matriks hasil OBE:

a) Jika B diperoleh dengan menukarkan dua baris (atau kolom) pada A, maka det(B) = -det(A)

b) Jika B diperoleh dengan menambahkan kelipatan satu baris (atau kolom) ke baris (atau kolom) yang lainnya pada A, maka det(B) = det(A)

c) Jika B diperoleh dengan mengalikan satu baris atau kolom pada A dengan suatu skalar k, maka det(B) = k.det(A), dengan kata lain det(A) = det(B)/k

d) Matriks elementer E yang diperoleh dengan menukarkan dua baris (atau kolom) pada matriks identitas I, maka det(E) = -1

e) Matriks elementer E yang diperoleh dengan menambahkan kelipatan satu baris (atau kolom) ke baris (atau kolom) yang lainnya pada matriks identitas I, maka det(E) = 1

f) Matriks elementer E yang diperoleh dengan mengalikan satu baris (atau kolom) pada matriks identitas I dengan suatu skalar k, maka det(E) = k

contoh:

Diberikan matriks A sebagai berikut:

	2	1	3	1
	1	0	1	1
	0	2	1	2
	0	1	2	3

Tentukan determinan matriks A dengan OBE!

R₂ = 2R₂ – R₁ menjadi:

	2	1	3	1
	0	-1	-1	1
	0	2	1	0
	0	1	2	3

R₃ = R₃ + 2R₂, R₄ = R₄ + R₂ menjadi:

	2	1	3	1
	0	-1	-1	1
	0	0	-1	2
	0	0	1	4

R₄ = R₄ + R₃ menjadi:

	2	1	3	1
	0	-1	-1	1
	0	0	-1	2
	0	0	0	6

Determinan dari matriks A adalah:

½ × 2 × (-1) × (-1) × 6 = 6

Mengapa ada ½? karena terdapat OBE yang mengalikan sautu baris dengan 2

9. Determinan Nol

Jika A matriks bujursangkar dan memenuhi salah satu kondisi berikut, maka det(A) = 0

a) Terdapat satu baris (atau kolom) yang seluruh entrinya adalah nol

b) Terdapat dua baris (atau kolom) yang entri-entrinya identik

c) Terdapat baris (atau kolom) yang merupakan kelipatan dari baris (kolom) lain

10. Sifat-Sifat Determinan

a) det(A) = det(A^T)

Determinan suatu matriks sama dengan determinan transpose nya

b) det(A.B) = det(A).det(B)

Dapat diperumum menjadi det(A.B.C) = det(A).det(B).det(C) dan seterusnya. Determinan perkalian matriks sama dengan hasil kali determinan setiap matriks yang dikalikan.

c) |Aⁿ| = |A|ⁿ, determinan perpangkatan matriks sama dengan perpangkatan determinan

d) det(A^-1) = 1/det(A)

Hasil kali determinan matriks dengan determinan inversnya sama dengan 1

e) det(k × A_m×m) = k^m × det(A)